haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

13第十三章 排列组合与概率【高中数学精品讲义系列】

13第十三章  排列组合与概率【高中数学精品讲义系列】

第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的 方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 2. 乘法原理: 做一件事, 完成它需要分 n 个步骤, 第 1 步有 m1 种不同的方法, 第 2 步有 m2 种不同的方法, ……, 第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列个数,叫做从 n 个不同 m m 表示, An =n(n-1)…(n-m+1)= An 元素中取出 m 个元素的排列数,用 n! ,其中 m,n∈N,m≤n, (n ? m)! 注:一般地 0 n =1,0!=1, An =n!。 An 4.N 个不同元素的圆周排列数为 Ann n =(n-1)!。 5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个不同元 素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 C n 表示: m Cn ? m n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! ? . m! m!(n ? m)! m 6 .组合数的基本性质: ( 1 ) Cn n n k ?1 k n ?m m m n?1 ; ( 2 ) Cn?1 ? Cn ? Cn ; ( 3 ) C n ?1 ? C n ; (4) ? Cn k 0 1 n k ?1 k m n?k (5) (6) Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? Cn ? 2n ; Ckk ? Ckk?1 ? ? ? Ckk?m ? Ckk? Cn Ck ? Cn m?1 ; ?m 。 k ?0 7.定理 1:不定方程 x1+x2+…+xn=r 的正整数解的个数为 Cr ?1 。 [证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A,不定方程 x1+x2+…+xn=r 的正整数解 构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为 单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,…,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中球的个数,i=1,2,…,n,便得到 A 的一个装 法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 n ?1 个,将球分 n 份,共有 Cr ?1 种。故定理得证。 推论 1 推论 2 m n ?1 不定方程 x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数为 Cn? r ?1 . 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组合,其组合数 r 为 C n ? m?1 . 8.二项式定理:若 n∈N+,则(a+b) = Cn a n 0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ?Cn b .其 中第 r+1 项 Tr+1= Cn a r n ?r r 叫二项式系数。 b r , Cn 9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 p(A)≤1. 10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结果有 m 种,那么 事件 A 的概率为 p(A)= m n 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件 A 发生的概率,记作 p(A),0≤ m . n 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1,A2,…,An 彼 此互斥,那么 A1,A2,…,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立事件为 定义知 p(A)+p( A 。由 A )=1. 13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做 相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。 即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试 验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件 恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= C n ?p (1-p) . k n-k k 17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机变量, 例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值 可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地, 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,…,xi,…,ξ 取每一个值 xi(i=1

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com