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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案6 函数的奇偶性与周期性

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案6 函数的奇偶性与周期性


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学案 6

函数的奇偶性与周期性

导学目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会 做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.

自主梳理 1.函数奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有______________,则称 f(x)为奇函数;如果 对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有____________,则称 f(x)为偶函数. 2.奇偶函数的性质 (1)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=____; f(x)为偶函数?f(x)=f(-x)=f(|x|)?f(x)-f(-x)=____. (2)f(x) 是偶函数 ? f(x) 的图象关于 ____ 轴对称; f(x) 是奇函数 ? f(x) 的图象关于 _____ ___ 对称. (3) 奇 函数 在对 称的 单调区 间内 有相 同的 单调 性 ; 偶函 数在 对称 的单 调区 间内 有 ________的单调性. 3.函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= ________,则称 f(x)为________函数,其中 T 称作 f(x)的周期.若 T 存在一个最小的正数, 则称它为 f(x)的________________. T T (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作 f(x+ )=f(x- ). 2 2 ②如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是 y=f(x)的周期,即 f(x+kT)= f(x). 1 ③若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f?x? 1 f(x+a)=- (a 是常数且 a≠0),则 f(x)是以______为一个周期的周期函数. f?x? 自我检测 1. 已知函数 f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数, 则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2011· 茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区 间 [ - 7 , - 3] 上 是 ( ) A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 1 3 . 函 数 y = x - 的 图 象 x ( ) A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 4.(2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+ 2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1), 则 f(-2 012)+f(2 011)的值为 ( )
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A.-2

C.1 D.2 ?x+1??x+a? 5.(2011· 开封模拟)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x

B.-1

探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性. 1-x 1 1 (1)f(x)=(x+1) ;(2)f(x)=x( x + ); 1+x 2 -1 2
2 ? ?x +x, x<0, (3)f(x)=log2(x+ x +1);(4)f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ? 2

变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x2-x3; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等 1 式 f[x(x- )]<0 的解集. 2

变式迁移 2 (2011· 承德模拟)已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+ f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为________. 探究点三 函数性质的综合应用 例 3 (2009· 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1 +x2+x3+x4=________. 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是 减函数,则 f(x)( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

转化与化归思想的应用 例 (12 分)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2) =f(x1)+f(x2).
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(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范 围. 【答题模板】 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0.[2 分] (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0.[4 分] 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6 分] (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[7 分] ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即 f((3x+1)(2x-6))≤f(64)[8 分] ∵f(x)为偶函数, ∴f(|(3x+1)(2x-6|)≤f(64).[10 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)的定义域为 D. ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64.[11 分] 7 1 1 解上式,得 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}.[12 分] 3 3 3 【突破思维障碍】 在(3)中,通过变换已知条件,能变形出 f(g(x))≤f(a)的形式,但思维障碍在于 f(x)在(0, +∞)上是增函数,g(x)是否大于 0 不可而知,这样就无法脱掉“f”,若能结合(2)中 f(x)是偶函 数的结论,则有 f(g(x))=f(|g(x)|),又若能注意到 f(x)的定义域为{x|x≠0},这才能有|g(x)|>0, 从而得出 0<|g(x)|≤a,解之得 x 的范围. 【易错点剖析】 在(3)中,由 f(|(3x+1)· (2x-6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中,如果思维不缜密,不能及时回 顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0},易出现 0≤|(3x+1)(2x-6)|≤64,导致结果错误. 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:①定义域在数轴上关于原 点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;②f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定 义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时 f?-x? 需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f( - x)= ± f(x)? f(- x)± f(x)=0? = f?x? ± 1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也真.利用这一性 质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性. 1 4.关于函数周期性常用的结论:对于函数 f(x),若有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f?x? 1 f(x+a)=- (a 为常数且 a≠0),则 f(x)的一个周期为 2a f?x?

(满分:75 分)
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一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (2011· 吉林模拟)已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 那么 a+b 的值为 ( ) 1 1 A.- B. 3 3 1 1 C. D.- 2 2 2.(2010· 银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数 f(x)为偶函数,且 f?x? f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若 f(-3)=0,则 <0 的解集为 ( ) x A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞) 1 3. (2011· 鞍山月考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f(x+2)=- , 当 1≤x≤2 f?x? 时, f(x)=x-2, 则 f(6.5)等于 ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 4.(2010· 山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f( - 1) 等 于 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 5.设函数 f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则 f(-1)与 f(2) 大 小 关 系 是 ( ) A.f(-1)>f(2) B.f(-1)<f(2) C.f(-1)=f(2) D.无法确定 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) x-1,x>0, ? ? 6.(2010· 辽宁部分重点中学 5 月联考)若函数 f(x)=?a, x=0, ? ?x+b,x<0 是奇函数,则 a+b

=________. 7. (2011· 咸阳月考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若 f(x)满足 f(x+3)=f(x), 且 f(1)>1, 2m-3 f(2)= ,则 m 的取值范围是________. m+1 8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(2)=2, 则 f(2 010)的值为________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 汕头模拟)已知 f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且 f(x)在[0,3]上是 x 的 一次式,在[3,6]上是 x 的二次式,且当 3≤x≤6 时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求 f(x)的表达式.

10.(12 分)设函数 f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)
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(1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域.

a 11.(14 分)(2011· 舟山调研)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.

答案 自主梳理 1.f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测 1.B [因为 f(x)为偶函数,所以奇次项系数为 0,即 m-2=0,m=2.] 2.A [奇函数的图象关于原点对称,对称区间上有相同的单调性.] 3.A [由 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.] 4.C [f(-2 012)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.] 5.-1 解析 ∵f(-1)=0,∴f(1)=2(a+1)=0, ∴a=-1.代入检验 f(x)=

x2 ?1 是奇函数,故 a=-1. x

课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法. (1)定义法:用函数奇偶性的定义判断.(先看定义域是否关于原点对称). (2)图象法:f(x)的图象关于原点对称,则 f(x)为奇函数;f(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(x) 为偶函数. (3)基本函数法:把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、差、积、商的形式,通过 g(x)与 h(x)的 奇偶性判定出 f(x)的奇偶性. 解 (1)定义域要求

1? x ≥0 且 x≠-1, 1? x

∴-1<x≤1,∴f(x)定义域不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

1 ? ) 2 ?1 2 x 2 1 2x 1 ? ) x ( ? ) =-x ( = x x 2 1? 2 2 ?1 2 1 1 ? ) =f(x). = x( x 2 ?1 2
∵f(-x)=-x (
?x

1

∴f(x)是偶函数. (3)函数定义域为 R.
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∵f(-x)=log2(-x+ x +1) 1 =log2 =-log2(x+ x2+1) x+ x2+1 =-f(x), ∴f(x)是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x). ∴对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有 f(-x)=-f(x). 故 f(x)为奇函数. 变式迁移 1 解 (1)由于 f(-1)=2, f(1)=0, f(-1)≠f(1), f(-1)≠-f(1), 从而函数 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,∴f(x) 既是奇函数又是偶函数. ?4-x2≥0 ? (3)由? 得,f(x)定义域为[-2,0)∪(0,2]. ?|x+3|≠3 ? ∴定义域关于原点对称, 4-x2 4-x2 又 f(x)= ,f(-x)=- x x ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 例 2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式.解题的关键是利用 函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”. 在关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反. 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2 1 x?x- ?>0 2 1 则 即 0<x(x- )<1, 2 1 x?x- ?<1 2

2

? ? ?

1+ 17 1- 17 1 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4

?x?x-2?<0 1 若 f[x(x- )]<0=f(-1),则? 2 1 ?x?x-2?<-1
1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1+ 17 1- 17 1 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 2 变式迁移 2 (-2, ) 3
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1

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解析 易知 f(x)在 R 上为单调递增函数,且 f(x)为奇函数,故 f(mx-2)+f(x)<0,等价于 f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应用 mx-2<-x,即 mx+x-2<0 对所有 m∈[-2,2]恒成立, 令 h(m)=mx+x-2, ? ?h?-2?<0 2 此时,只需? 即可,解得 x∈(-2, ). 3 ?h?2?<0 ? 例 3 解题导引 解决此类抽象函数问题,根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性 质,画出函数的一部分简图,使抽象问题变得直观、形象,有利于问题的解决. -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x).因此,函 数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为 周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数, 如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

变式迁移 3 B [∵f(x)=f(2-x),∴f(x+1)=f(1-x). ∴x=1 为函数 f(x)的一条对称轴.

又 f(x+2)=f[2-(x+2)] =f(-x)=f(x), ∴2 是函数 f(x)的一个周期. 根据已知条件画出函数简图的一部分,如右图: 由图象可以看出,在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.] 课后练习区 1 ? ?a-1=-2a ?a=3 ? 1.B [依题意得? ,∴? , ?b=0 ? ? ?b=0 1 ∴a+b= .] 3 2.D

f?x? [由已知条件, 可得函数 f(x)的图象大致为右图, 故 <0 的解集为(-3,0)∪(3, +∞). ] x 1 3.D [由 f(x+2)=- , f?x? 1 得 f(x+4)=- =f(x),那么 f(x)的周期是 4,得 f(6.5)=f(2.5).因为 f(x)是偶函数, f?x+2? 则 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,
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∴f(1.5)=-0.5.由上知:f(6.5)=-0.5.] 4.D [因为奇函数 f(x)在 x=0 有定义,所以 f(0)=20+2×0+b=b+1=0,b=-1. ∴f(x)=2x+2x-1,f(1)=3, 从而 f(-1)=-f(1)=-3.] 5.A [由 y=f(x+1)是偶函数,得到 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,∴f(-1)=f(3). 又 f(x)在[1,+∞)上为单调增函数, ∴f(3)>f(2),即 f(-1)>f(2).] 6.1 解析 ∵f(x)是奇函数,且 x∈R,∴f(0)=0,即 a=0.又 f(-1)=-f(1),∴b-1=-(1 -1)=0,即 b=1,因此 a+b=1. 2 7.-1<m< 3 解析 ∵f(x+3)=f(x),∴f(2)=f(-1+3)=f(-1). ∵f(x)为奇函数,且 f(1)>1, 2m-3 ∴f(-1)=-f(1)<-1,∴ <-1. m+1 2 解得:-1<m< . 3 8.2 解析 由 g(x)=f(x-1),得 g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)为 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴f(-x-1)=-f(x-1), 即 f(x-1)=-f(-x-1), 用 x+1 替换 x,得 f(x)=-f(-x-2). 又 f(x)是 R 上的偶函数,∴f(x)=-f(x+2). ∴f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期为 4. ∴f(2 010)=f(4×502+2)=f(2)=2. 9.解 由题意,当 3≤x≤6 时,设 f(x)=a(x-5)2+3, ∵f(6)=2,∴2=a(6-5)2+3.∴a=-1. ∴f(x)=-(x-5)2+3(3≤x≤6).………………………………………………………… (3 分) ∴f(3)=-(3-5)2+3=-1. 又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. ∴一次函数图象过(0,0),(3,-1)两点. 1 ∴f(x)=- x(0≤x≤3). …………………………………………………………………(6 分) 3 当-3≤x≤0 时,-x∈[0,3], 1 1 ∴f(-x)=- (-x)= x. 3 3 1 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=- x. 3 1 ∴f(x)=- x(-3≤x≤3). ………………………………………………………………(9 分) 3 当-6≤x≤-3 时,3≤-x≤6, ∴f(-x)=-(-x-5)2+3=-(x+5)2+3. 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=(x+5)2-3. ∴ f(x) =

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?x+5? -3, -6≤x≤-3, ? ? 1 ?-3x -3<x<3,…………………………………………………………?12分? ?-?x-5? +3, 3≤x≤6. ?
2

2

10.解 (1)f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即 f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数.………………………………………………………(2 分) (2)当 x≥0 时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 2 ? ??x-1? -2, x≥0, ? 即 f(x)= 2 ??x+1? -2, x<0. ? 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如下图.

……………………………………(6 分) (3)由(2)中函数图象可知,函数 f(x)的单调区间为[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3]. f(x)在区间[-3,-1]和[0,1]上为减函数,在[-1,0],[1,3]上为增函数.……………(8 分) (4)当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1)2-2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2; 故函数 f(x)的值域为[-2,2].…………………………………………………………… (12 分) 11.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴f(x)为偶函数. …………………………………………………………………………(2 分) a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R), x 若 x=± 1 时,则 f(-1)+f(1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f(1),又 f(-1)≠f(1) ∴函数 f(x)既不是奇函数, 也不是偶函数. ……………………………………………(6 分) 综上所述,当 a=0 时,f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数.………………………………………………………(7 分) (2)设 2≤x1<x2, a a 2 f(x1)-f(x2)=x2 1+ -x2- x1 x2 x1-x2 = [x x (x +x )-a],……………………………………………………………… (10 x1x2 1 2 1 2 分) 要使 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须使 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0, x1x2>4, 即 a<x1x2(x1+x2)恒成立. ………………………………………(12 分) 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a 的取值范围为(-∞,16].…………………………………………………………(14 分)

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