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高一数学必修1创新应用演练教师用书:第一部分 第2章 2.1 2.1.3 第二课时 (苏教版)

高一数学必修1创新应用演练教师用书:第一部分 第2章 2.1 2.1.3 第二课时 (苏教版)

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一、填空题 1.已知函数 f(x)=-x2-x,x∈[-2,1],则函数 f(x)的最大值为______,最小值为 ________. 1 1 解析:f(x)=-(x+ )2+ 在[-2,1]上的图象如图所示.由图象知, 2 4 1 1 f(x)max=f(-2)=4, f(x)min=f(-2)=f(1)=-2. 1 答案:4 -2

2.若函数 f(x)=(p-2)x2+(p-1)x+2 是偶函数,则函数 f(x)的单调递减区间是 ________. 解析:∵函数 f(x)为偶函数,∴p-1=0 即 p=1. ∴f(x)=-x2+2.∴f(x)的单调递减区间为[0,+∞). 答案:[0,+∞) k- 2 3.函数 f(x)= (k>2)在区间[1,3]上有最大值 3,则 k=__________. x 解析:∵k>2,∴f(x)在[1,3]上单调递减,∴x=1 时,f(x)max=f(1)=k-2,令 k-2=3 得 k=5 符合 k>2. 答案:5 4.函数 f(x)满足:f(x+1)=x(x+3),x∈R,则 f(x)的最小值为__________. 解析:令 x+1=t,则 x=t-1, ∴f(t)=(t-1)(t+2)=t2+t-2, 1 9 即 f(x)=x2+x-2=(x+2)2-4. 1 9 ∴f(x)在 x=-2时取最小值-4. 9 答案:- 4 5.函数 f(x)=|x-2|-2 在区间[0,3]上有最小值__________,最大值__________. 解析:f(x)={x-4,x∈[2,3], -x,x∈[0,2]. 图象如图.

由图可知,x=2 时,f(x)min=-2;x=0 时,f(x)max=f(0)=0. 答案:-2 0
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6.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3 和最小值 2,则 m 的取值 范围是__________. 解析:∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2, ∴f(0)=f(2)=3. 又∵m>0,∴m∈[1,2]. 答案:[1,2] 二、解答题 7.求函数 y=x2-2ax-1 在[0,2]上的最值. 解:由已知得 y=(x-a)2-1-a2, (1)当 a<0 时,[0,2]是函数的递增区间,见图(1). 故函数在 x=0 时,取得最小值-1,在 x=2 时取得最大值 3-4a. (2)当 0≤a≤1 时,结合函数图象(见图(2))知, 函数在 x=a 时取得最小值-a2-1. 在 x=2 时取得最大值 3-4a.

(3)当 1<a≤2 时,结合图象(见图(3))知, 函数在 x=a 时取得最小值-a2-1, 在 x=0 时取得最大值-1. (4)当 a>2 时,[0,2]是函数的递减区间,见图(4). 函数在 x=0 时取得最大值-1, 在 x=2 时取得最小值 3-4a.

?-1,a>1, 综合上述 ymax=? ?3-4a,a<1,

ymin

?-1,a<0, =?-a -1,0<a≤2, ?3-4a,a>2.
2

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8.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥 上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车 流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,

?200a+b=0, 再由已知得? ? 20a+b=60,

?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 .
故函数 v(x)的表达式为 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ? ?3?200-x?,20≤x≤200. (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?,20≤x≤200. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 10 000 当 20≤x≤200 时, f(x)=3x(200-x)=-3(x-100)2+ 3 , 当且仅当 x=100 时, f(x)max = 10 000 . 3 10 000 3 ≈3 333,即当车流密度为

1

综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值

100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时. x 9.已知函数 f(x)= . x-1 (1)用函数单调性定义证明 f(x)= x 在(1,+∞)上是单调减函数. x-1

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x (2)求函数 f(x)= 在区间[3,4]上的最大值与最小值. x- 1 解:(1)证明:设 x1,x2 为区间(1,+∞)上的任意两个实数,且 1<x1<x2, x2-x1 x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 因为 1<x1<x2,所以 x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). x 故函数 f(x)= 在(1,+∞)上为单调递减函数. x-1 x (2)由(1)可知,函数 f(x)= 在[3,4]上为单调递减函数. x-1 所以在 x=3 时,函数 f(x)= x 3 取得最大值2, x-1

x 4 在 x=4 时,函数 f(x)= 取得最小值3. x-1

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