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2017届高考数学一轮复习 必考部分 第九篇 统计与统计案例 第3节 变量的相关性与统计案例应用能力提升 文

2017届高考数学一轮复习 必考部分 第九篇 统计与统计案例 第3节 变量的相关性与统计案例应用能力提升 文


第3节

变量的相关性与统计案例

【选题明细表】 知识点、方法 变量的相关性 回归直线方程及其应用 独立性检验的方法及其应用 题号 1,2,3 4,5,6,9,11,12,13,15 7,8,10,14

基础对点练(时间:30 分钟) 1.下列关系属于线性负相关的是( C ) (A)父母的身高与子女身高的关系 (B)某农作物产量与施肥量的关系 (C)汽车的质量与汽车每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程 (D)一个家庭的收入与支出 解析:上述四项中,只有 C 项,汽车的质量越大,汽车每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程越短是 负相关关系. 2.(2015 河南开封二模)在一次独立性检验中,得出 2×2 列联表如表: y1 x1 x2 合计 200 180 380 y2 800 m 800+m 合计 1 000 180+m 1 180+m

最后发现,两个分类变量 X 和 Y 没有任何关系,则 m 的可能值是( B ) (A)200 (B)720 (C)100 (D)180 3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 互不相等)的散点图中,若所 有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x-1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 ( D ) (A)-1 (B)0 (C) (D)1

4.设有一个回归直线方程为 y=2.5-3x,则变量 x 增加一个单位时( C ) (A)y 平均增加 3 个单位 (B)y 平均增加 2.5 个单位 (C)y 平均减少 3 个单位 (D)y 平均减少 2.5 个单位 解析:回归系数是负的,负相关.故变量 x 增加一个单位时 y 平均减少 3 个单位. 5.已知 x 与 y 之间的一组数据如表: x y 0 1 1 3 2 5 3 7

则 y 与 x 的线性回归直线:y=bx+a 必过点( D ) (A)(2,2) (B)(1.5,0) (C)(1,2) (D)(1.5,4)
1

解析:回归直线过样本点的中心( , ),

=

=1.5,

=

=4.

6.(2015 湖北省高三一轮检测)某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析,得 到如下数据: 记忆能力 x 识图能力 y 4 3 6 5 8 6 10 8

由表中数据,求得线性回归方程为 y= x+a,若某儿童的记忆能力为 12 时,则他的识图能力为 ( B ) (A)9.2 (B)9.5 (C)9.8 (D)10 解析:由表中数据得 =7, =5.5,

由( , )在直线 y= x+a 上,得 a=- ,

即线性回归方程为 y= x- .

所以当 x=12 时,y= ×12- =9.5, 即他的识图能力为 9.5. 7.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选修该课的学生的一些情况,具体数据如表所 示: 非统计专业 男 女 13 7
2

统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关,根据表中数据,得χ = ≈4.844.因为χ >3.841,所以判定主修统计专业与性别有关,那么这种判断 出错的可能性为 . 解析:根据临界值表可知这种判断出错的可能性为 5%. 答案:5% 8.(2015 福建龙岩市高三 5 月质检)为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关 系,现随机抽取 50 名学生,得到 2×2 列联表: 喜欢 不喜欢 总计
2
2

男 女 总计 则有 解析:χ =
2

15 5 20

10 20 30

25 25 50

以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”. ≈8.333>6.635,

故有 99%以上的把握认为喜欢足球与性别有关. 答案:99% 9.(2015 河北唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验 数据: 天数 t(天) 繁殖个数 y(千个) 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 7 6

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测 t=8 时,细菌繁殖个数. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 b= ,

a= -b . 解:(1)由表中数据计算得, =5, =4,

(ti- )(yi- )=8.5,

(ti- ) =10,

2

b=

=0.85,

a= -b =-0.25. 所以,回归方程为 y=0.85t-0.25. (2)将 t=8 代入(1)的回归方程中得 y=0.85×8-0.25=6.55(千个). 故预测 t=8 时,细菌繁殖个数为 6.55 千个. 能力提升练(时间:15 分钟) 10.(2015 河北石家庄二模)通过随机询问 200 名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,计 2 算得到统计量χ ≈4.892,参照附表,得到的正确结论是( C ) 附表: P(χ ≥k0) k0
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024
3

(A)有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” (B)有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” (C)在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” (D)在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 解析:4.892>3.841,故在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有 关”. 11.(2015 河南开封高三 5 月冲刺)已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 m 1 3 2 5.5 D ) 3 7

已求得关于 y 与 x 的线性回归方程为 y=2.1x+0.85,则 m 的值为( (A)1 (B)0.85 (C)0.7 (D)0.5 解析:样本点的中心为( , ), =1.5, 由回归直线方程 =2.1×1.5+0.85=4,

所以

=4,

解得 m=0.5. 12.(2015 福建漳州八校 3 月联考)已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下: x y 0 2.2 1 4.3 2 4.5 3 4.8 4 6.7

且回归方程是 y=0.95x+a,则当 x=6 时,y 的预测值为( B ) (A)8.4 (B)8.3 (C)8.2 (D)8.1 解析:样本点的中心为(2,4.5),所以 a=4.5-2×0.95=2.6,所以 x=6 时,y 的预测值为 0.95×6+2.6=8.3. 13.(2015 安徽安庆三模)调查某移动公司的三名推销员,其工作年限与年推销金额数据如表 所示. 推销员编号 工作年限 x(年) 年推销金额 y(万元) 1 3 2 2 5 3 3 10 4

由表中数据算出线性回归方程 y=bx+a 中的 b= .若该公司第四名推销员的工作年限为 6 年, 则估计他的年推销金额为 解析: =6, =3, 万元.

代入 y=bx+a 得 a= ,

所以 y= ×6+ =3(万元). 答案:3
4

14.(2015 新疆乌鲁木齐二模)某工厂在去年下半年对生产工艺进行了改造(每半年为一个生 产周期),从去年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为 50 的样本,用茎叶图表示,如 图所示.已知每个生产周期内与其中位数误差在±5 范围内(含±5)的产品为优质品,与中位 数误差在±15 范围内(含±15)的产品为合格品(不包括优质品),与中位数误差超过±15 的 产品为次品。企业生产一件优质品可获利润 10 元,生产一件合格品可获利润 5 元,生产一件 次品要亏损 5 元.

(1)试完成这个样本的 50 件产品的利润的频率分布表: 利润(元) 10 5 -5 (2)是否有 95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. 附: P(χ ≥k0) k0 χ = 解:(1)上半年的数据为 43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76, 83,84,87,88,91,93 其“中位数”为 65,优质品有 6 个,合格品有 10 个,次品有 9 个.下半年 的数据为 43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,72, 73,77,79,81,88,92 其“中位数”为 65,优质品有 9 个,合格品有 11 个,次品有 5 个.则这个样本的 50 件产品的利润的频率分布表为 利润(元) 10 5 -5 (2)由题意得 上半年 优质品 非优质品 合计 χ =
2 2 2

频数

频率

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

频数 15 21 14 下半年 9 16 25

频率 0.3 0.42 0.28 合计 15 35 50

6 19 25 ≈0.857,

由于 0.857<3.841,所以没有 95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. 15.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8
5

y

30

40

60

50

70

若广告费支出 x 与销售额 y 的回归直线方程为 y=6.5x+a(a∈R). (1)试预测当广告费支出为 12 万元时,销售额是多少? (2)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值 不超过 5 的概率. 解:(1) = =5,

=

=50,

因为点(5,50)在回归直线上, 代入回归直线方程求得 a=17.5, 所求回归直线方程为 y=6.5x+17.5. 当广告费支出为 12 万元时, 销售额 y=6.5×12+17.5=95.5(万元). (2)实际值和预测值对应表为 x y y 2 30 30.5 4 40 43.5 5 60 50 6 50 56.5 8 70 69.5

在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事 件:(30,40),(30,60),(30,50),(30,70),(40,60),(40,50),(40,70),(60,50),(60,70),(50, 70)共 10 个, 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5 的有(60,50), 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 P=1- = . 精彩 5 分钟 1.(2015 山西名校联盟考前检测)根据如下样本数据, x y 3 4.0 4 a+b-4 5 -0.5 6 0.5 7 -2.0

得到的回归方程为 y=bx+a. 若样本点的中心为(5,0.9),则 x 每减少 1 个单位,y 就( A ) (A)增加 1.4 个单位 (B)减少 1.4 个单位 (C)增加 1.2 个单位 (D)减少 1.2 个单位 解题关键:由回归直线经过样本点的中心,列关于 a,b 的方程. 解析:依题意, =0.9,故 a+b=6.5. ①

又样本点的中心为(5,0.9),故 0.9=5b+a. ② 联立①②,解得 b=-1.4,a=7.9, 则 y=-1.4x+7.9. 可知当 x 每减少 1 个单位时,y 就增加 1.4 个单位.
6

2.一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测 量,得到数据(单位均为 cm)如表: 脚长 身高 20 141 21 146 22 154 23 160 24 169 25 176 26 181 27 188 28 197 29 203

作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据: (xi- )(yi- )=577.5, (xi- ) =82.5;某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每
2

个脚印长为 26.5 cm,则估计案发嫌疑人的身高为 cm. 解题关键:由公式计算 b,再由回归直线经过样本点的中心计算 a. 解析:回归直线的斜率 b= = =7,

=24.5, =171.5,a= -b =0, 即回归方程为 y=7x, 当 x=26.5,y=185.5(cm). 答案:185.5

7



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