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2014年理科高考导数汇编(详细答案版)

2014年理科高考导数汇编(详细答案版)


2014 年理科高考导数汇编

试题分析:当 x=0 时,原式恒成立; 当 x ? (0,1] 时,原式等价于 a ? (

x ? 4x ? 3 x
2 3

2

)max 恒成立; ) min 恒成立; f ( x) ? x ? 4x ? 3 x
3 2

1. 如图, 在边长为 e( e 为自然对数的底数) 的正方形中随机撒一粒黄豆, 则他落到阴影部分的概率为______.

y
e

当 x ?[?2,0) 时,原式等价于 a ? (
y=ex

x ? 4x ? 3 x
3


y=lnx

f ( x) ?

x ? 4x ? 3 x
3

2

, x ? [?2,0) (0,1] ,

?

1 O 1
e

1 4 3 1 ? 2? 3 ,令 t? ,即 x x x x

x

1 1 3 2 2 y ? ?3t ? 4t ? t , ? y ' ? ?9t ? 8t ? 1 , 可知 (?1, ) 为 y 的增区间, (??, ?1),( , ??) 为 y 的减区间, 9 9
所以当 x ? (0,1] 时,即 t ? [1, ??) 时,t=1 时 ymax

? ?6 ,即 f (x) m 6 ? a ?? 6 ;当 x ?[?2,0) 时, a x ??

【答案】

2 e2



【解析】 试 题 分 析 : 由 对 数 函 数 与 指 数 函 数 的 对 称 性 , 可 得 两 块 阴 影 部 分 的 面 积 相 同 .

1 1 t ? (??, ? ) 时 , y 在 (??, ?1) 上 递 减 , 在 ( ?1, ? ] 上 递 增 , 所 以 t=-1 时 ymin ? ?2 , 即 2 2

S ? 2? (e ? e )dx ? 2(ex ? e ) ? 2 .所以落到阴影部分的概率为 P ?
x x 0 1 0

1

2 . e2

;综上,可知 a 的取值范围是 [?6, ?2] ,故选 C. f ( x)m i n? ? 2 ? a ? ? 2 考点:不等式恒成立问题.
2 x 4.已知函数 f ? x ? ? x ? e ?

考点:1.几何概型.2.定积分. 2.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. ? 2, ??? 【答案】C 【解析】 B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1?

1 ( x ? 0) 与 g ?x? ? x 2 ? ln(x ? a) 图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范 2

围是( A. (??,



1 ) e

B. (??, e )

C. (?

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e
1 2 ? ? ? x0 ? ? ln ? ? x0 ? a ? 2

【答案】B
2
2 【解析】 试题分析: 由题可得存在 x0 ? ? ??,0? 满足 f ? x0 ? ? g ? ?x0 ? ? x0 ? e 0 ? x

3 3 试题分析:当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ,函数 f ( x ) 有两个零点 和? ,不满足题意,舍去;当 a ? 0 3 3
2 2 x ? (0, ) 时,f ' ( x) ? 0 ; 时,f ' ( x) ? 3ax2 ? 6 x , 令 f ' (x 得x ? 0或x ? . x ? (??,0) 时,f ' ( x) ? 0 ; ) 0 ? , a a 2 x ? ( , ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,且 f (0) ?0 ,此时在 x ? (??,0) 必有零点,故不满足题意,舍去;当 a ? 0 时, a 2 2 x ? (??, ) 时, f ' ( x) ? 0 ;x ? ( , 0) 时, f ' ( x) ? 0 ;x ? (0, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , 且 f( 要使得 f ( x ) 0 ) 0 ? , a a 2 2 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 ,则 a ? ?2 ,选 C. a
考点:1、函数的零点;2、利用导数求函数的极值;3、利用导数判断函数的单调性.
3 2 3.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

1 1 ? 0 , 令 h ? x ? ? e x ? ln ? ? x ? a ? ? , 因为函数 y ? ex 和 y ? ? ln ? ?x ? a ? 在定义域 2 2 1 x 内都是单调递增的,所以函数 h ? x ? ? e ? ln ? ? x ? a ? ? 在定义域内是单调递增的 ,又因为 x 趋近于 ?? 时, 2 ? e x0 ? ln ? ? x0 ? a ? ?
函数 h ? x ? ? 0 且 h ? x ? ? 0 在 ? ??,0? 上有解(即函数 h ? x ? 有零点),
0 所以 h ? 0 ? ? e ? ln ? 0 ? a ? ?

1 ? 0 ? ln a ? ln e ? a ? e ,故选 B. 2

考点:指对数函数 方程 单调性



A. [?5, ?3] 【答案】C 【解析】

B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3] 5.已知函数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的 导 函 数 f '(x ) 为 偶 函 数 , 且 曲 线 y ? f ( x) 在 点

(0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .
第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页

(1)确定 a , b 的值; (2)若 c (3)若

综上,若 f ? x ? 有极值,则 c 的取值范围为 ? 4, ??? . 考点:1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用;2、分类讨论的思想. 6.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3| x ? a | (a ? 0) ,若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值记为 g (a) . (1)求 g (a) ; (2)证明:当 x ? [?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 .

? 3 ,判断 f ( x) 的单调性;

f ( x) 有极值,求 c 的取值范围.

【答案】 (1) a ? 1, b ? 1 ; (2)增函数; (3) ? 4, ??? . 【解析】 试题分析: (1)由

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) ? f ? ? x ? ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c

?a 3 ,0 ? a ? 1 【答案】 (1) g (a) ? ? ; (2)详见解析. ?? 2 ? 3a, a ? 1
【解析】 试题分析: (1)因为 ? 1 ? x ? 1 ,对实数 a 分类讨论,① 0 ? a ? 1 ,② a ? 1 ,分别用导数法求函数 f ( x) 单 调区间,从而确定 g (a) 的值,再用分段函数表示 g (a) ; (2)构造函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,对实数 a 分类讨 论, ① 0 ? a ? 1, ②a ?1, 分别用导数法求函数 h( x) 单调区间, 从而确定 h( x) 的最大值, 即可证明当 x ? [?1,1] 时恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 成立. (1)因为 ? 1 ? x ? 1 , ①当 0 ? a ? 1 时,
3 2 若 x ? [?1, a] ,则 f ( x) ? x ? 3x ? 3a , f ?( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1, a) 上是减函数; 3 2 若 x ? [a,1] ,则 f ( x) ? x ? 3x ? 3a , f ?( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 (a,1) 上是增函数;

因为 f ? ? x ? 是偶函数,所以 f ? ? ? x ? ? f ? ? x ? ,又曲线 y ?

f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c ,所

以有 f ? ? 0? ? 4 ? c ,利用以上两条件列方程组可解 a , b 的值; (2)由(1) , f ? ? x ? ? 2e ? 2e
x ?x

? c ,当 c ? 3 时,利用 f ? ? x ? 的符号判断 f ( x) 的单调性;

(3)要使函数

f ( x) 有极值,必须 f ? ? x ? 有零点,由于 2e x ? 2e? x ? 4 ,所以可以对 c 的取值分类讨论,得
2x

到时满足条件的 c 的取值范围. 解: (1)对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? 2ae

? 2be?2 x ? c ,由 f ? ? x ? 为偶函数,知 f ? ? ? x ? ? f ? ? x ? ,

2x ?2 x ? 0 ,因 e2 x ? e?2 x ? 0 ,所以 a ? b 即 2 ?a ? b? e ? e

?

?

又 f ? ? 0? ? 2a ? 2b ? c ,故 a ? 1, b ? 1 . (2)当 c ? 3 时, f ? x ? ? e ? e
2x ?2 x

? 3x ,那么

所以, g (a) ? f (a) ? a .
3 2 3 ②当 a ? 1 ,则 x ? a , f ( x) ? x ? 3x ? 3a , f ?( x) ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 ( ?1,1) 上是减函数,

f ? ? x ? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 3 ? 2 2e2 x ? e?2 x ? 3 ? 1 ? 0


所以 g (a) ? f (1) ? ?2 ? 3a , 综上所述, g (a) ? ?

f ( x) 在 R 上为增函数.

2x ?2 x 2x ?2 x 2x ?2 x (3)由(1)知 f ? ? x ? ? 2e ? 2e ? c ,而 2e ? 2e ? 2 2e ? e ? 4 ,当 x ? 0 时等号成立.

?a 3 ,0 ? a ? 1 . ?? 2 ? 3a, a ? 1

下面分三种情况进行讨论. 当 c ? 4 时,对任意 x ? R, f ? ? x ? ? 2e
2x

? 2e

?2 x

? c ? 0 ,此时 f ? x ? 无极值; ? 4 ? 0 ,此时 f ? x ? 无极值;

(2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , ①当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? a ,
3

当 c ? 4 时,对任意 x ? 0, f ? ? x ? ? 2e 当 c ? 4 时,令 e
2x

2x

? 2e

?2 x

若 x ?[a,1] , h( x) ? x ? 3x ? 3 得 h?( x) ? 3x ? 3 ,所以 h( x) 在 (a,1) 上是增函数,所以 h( x) 在 [a,1] 上的最
3 2

? t ,注意到方程 2t ?

c ? c 2 ? 16 2 ? c ? 0 有两根, t1,2 ? ? 0, t 4

大值是 h(1) ? 4 ? 3a ? a ,且 0 ? a ? 1 ,所以 h( x) ? 4 ,
3

即 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1 ?

1 1 ln t1 或 x2 ? ln t2 . 2 2

故 f ( x) ? g ( a ) ? 4 . 若 x ? [?1, a] , h( x) ? x ? 3x ? 3a ? a ,则 h?( x) ? 3x ? 3 ,所以 h( x) 在 (?1, a) 上是减函数,
3 3 2

当 x1 ? x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 ;又当 x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 从而 f ? x ? 在 x ? x2 处取得极小值.

第3页 共6页



第4页 共6页

所以 h( x) 在 [?1, a] 上的最大值是 h(?1) ? 2 ? 3a ? a 3 , 令 t (a) ? 2 ? 3a ? a3 ,则 t ?(a) ? 3 ? 3a 2 ? 0 , 所以 t ( a ) 在 (0,1) 上是增函数,所以 t (a) ? t (1) ? 4 即 h( ?1) ? 4 , 故 f ( x) ? g ( a ) ? 4 , ②当 a ? 1 时, g (a) ? ?2 ? 3a ,所以 h( x) ? x3 ? 3x ? 2 ,得 h?( x) ? 3x 2 ? 3 , 此时 h( x) 在 ( ?1,1) 上是减函数,因此 h( x) 在 [ ?1,1] 上的最大值是 h( ?1) ? 4 , 故 f ( x) ? g ( a ) ? 4 , 综上所述,当 x ? [?1,1] 时恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 . 考点:函数最大(最小)值的概念,利用导数研究函数的单调性.

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第6页 共6页



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