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西北工业大学计算方法作业集答案及试题

西北工业大学计算方法作业集答案及试题


参考答案 第一章
* 1 x1 =1.7; * x2 =1.73;
* x3 =1.732 。

2.

i
1

xi*
* x1

ε ( xi* )
1 × 10 0 2
1 × 10 ?5 2 1 × 10 ?1 2 1 × 10 ? 2 2 1 × 10 ?5 2

ε r ( xi* )
0.1397 × 10 ?3 或
0.1666×10
-3

有效数字 的位数 四位

2

* x2

0.1051 × 10 ?2 或
0.125×10
-2

三位

3

* x3

0.3497 × 10 ?3 或
0.5×10
-3

四位

4

* x4

0.1691 × 10 ?3 或
0.25×10
-3

四位

5

* x5

0.8548 × 10 ?6 或
0.1×10
-6

六位

* * * 3. (1) er ( x1 + x2 + x3 ) ≤ 0.00050; * * * (2) er ( x1 x 2 x3 ) ≤ 0.50517; * * (3) er ( x 2 / x4 ) ≤ 0.50002。

4.设 6 有 n 位有效数字,由 6 ≈2.4494……,知 6 的第一位有效数字 a1 =2。 令ε r (x ) =
*

1 1 1 × 10 ?( n ?1) = × 10 ?( n?1) ≤ × 10 ?3 2a1 2× 2 2

即至少取四位有效数字, 故满足精度要求可取 6 ≈2.449。 可求得满足上述不等式的最小正整数 n =4, 5.

x * ( x > 0 )的相对误差约是 x * 的相对误差的 1/2 倍; * * n (2) ( x ) 的相对误差约是 x 的相对误差的 n 倍。 1 * * 1 * 1 * b sin c *e(a * ) a sin c *e(b* ) a b cos c *e(c * ) * 2 2 2 6. 根据 er ( S ) ≤ + + 1 * * 1 * * 1 * * a b sin c * a b sin c * a b sin c * 2 2 2 * * * e(a ) e(b ) e(c ) = + * + a* b tgc *
答:(1)

2 则有 er ( S ) < er ( a * ) + er (b * ) + er (c * )
*

注意当 0 < c <
*

π

时, tgc * > c * > 0 ,即 (tgc * )

?1

< (c * ) 。

?1

7.设 y0 = 由

1 * * 2 , y0 = 1.41 , y0 ? y0 ≤ × 10 ? 2 = δ 2 * ?1 * ?1 y1 ? y1 = 10 y0 ? y0 ≤ 10 δ ,
1

* * y2 ? y2 = 10 ?1 y1 ? y1 ≤ 10 ?2 δ

* * y10 ? y10 = 10 ?1 y 9 ? y 9 ≤ 10 ?10 δ

M

即当 y0 有初始误差 δ 时, y10 的绝对误差的绝对值将减小 10 8. 变形后的表达式为: (1) ln( x ?

?10

倍。而 10

?10

δ << 1 ,故计算过程稳定。

x 2 ? 1) = ? ln( x + x 2 ? 1) 1 (2) arctg ( x + 1) ? arctgx = arctg 1 + x( x + 1)
(3)



N +1

N

ln xdx = ( N + 1) ln( N + 1) ? N ln N ? 1 = ln( N + 1) ?
= ( N + 1) ln(1 +

1 1 1 + ? + LL 2 2 N 3N 4N 3

1 1 ) + N ln N ? 1 = N ln(1 + ) + ln( N + 1) ? 1 N N 1 ? cos x sin x x (4) = = tg 1 + cos x 2 sin x 第二章 1? 3 1 1.绝对误差限 2 × 10 , 对分 8 次 n 隔根区间 xn f ( x n ) 的符号 1 2.0 ? [1.5,2.5] 2 2.25 ? [2.0,2.5] 3 2.375 ? [2.25,2.5] 4 2.3125 ? [2.25,2.375] 5 2.28125 ? [2.25,2.3125] 6 2.296875 ? [2.28125,2.3125] 7 2.3046875 ? [2.296875,2.3125] 8 2.30078125 [2.296875,2.3046875] 满足精度要求的根近似值为 2.30。 2. (1) 隔根区间[0, 0.8]; 2 ? xn?1) n = 1,2,L。 (2) 等价变形 x = ln(2 ? x ) ; 迭代公式 xn = ln(
(3) 收敛性论证:用收敛性定理论证。 (4) 迭代计算:

n

xn

x n ? x n ?1

0 0.4 1 0.4700 2 0.4253 3 0.4541 4 0.4356 5 0.4475 6 0.4399 7 0.4448 8 0.4416 9 0.4436 10 0.4423 11 0.4432 满足要求的近似根为 0.443。 3. (1) x = 10
2 x ?7



(2) x = (lg x + 7) / 2 ; (3) x = 3 x + 1 ;
2

4. f ′( x) = 3 x + 4 x + 1
2

牛顿迭代公式为: x n +1 = x n ?

f ( xn ) = LL f ′( x n )

列表计算 n 0 1 2 3 根的近似值为 0.4656。 第三章 1. x1=2,x2=1,x3=1/2

xn
0.4 0.47013 0.46559 0.46557

x n ? x n ?1
0.07 0.005 0.00002

? ?0 ? ?1 2. A = ? 0 ? ?? 1 ? ? ?1 0 ? 3. L = 2 1 ? ? ?3 ? 5

1 1 ? 3 3 ? 1 2? ? ? 3 3? 2 1? ? ? 3 3? 0? ?1 2 3 ? ? ? 0? , U = ? ?0 1 ? 4 ? ? 1? ? ?0 0 ? 24? ?

y1 =14, y2 = ?10, y3 = ?72 x1 =1, x2 =2, x3 =3 4. x1≈-4.00, x2≈3.00, x3≈2.00 5. B 的特征值为:0,0,0,ρ(B)=0<1 (E-B1)-1B2 的特征值为:0,2,2,ρ[(E-B1)-1B2]=2>1. (5) 6. x =(0.4999, 1.0004, -0.4997)T 7.∣a∣>2 第四章 1.

k
0 1 2 3 4 5 6
(7) λ1 ≈ 3.5615

u k = A u k ?1
(1 , 1 , 1 )T (4 , 2 , 4 )T ( 14 , 8 , 14 ) T ( 50 , 28 , 50 ) T ( 178 , 100 , 178 ) T ( 634 , 356 , 634 ) T ( 2258 , 1268 , 2258 ) T , 2258 ) T 第五章

(k ) λ1 =

(u k )1 (u k ?1 )1

4.0000 3.5000 3.5714 3.5600 3.5618 3.5615 3.5615 ,( c ≠ 0 )

相应近似特征向量为 c = ( 2258 , 1268

1. 取 x0 =100、 x1 =121 用线性插值时, 115 ≈10.7143; 取 x0 =100、 x1 =121、 x 2 =144 用二次插值时, 115 ≈10.7228。 2.选取插值节点为: x0 =1.4、 x1 =1.5、 x 2 =1.6, f (1.54) ≈1.9447。
3

3.利用 f [ x 0 , x1 , L x p ] =

∑ω′
j =0

p

f (x j )
n +1

(x j )

,并注意

当 p ≤ n 时,对 j = 0,1, L , p , f ( x j ) = 0 ,故有 而 p = n + 1 时, f ( x n +1 ) = ω ′( x n +1 ) ,故有 4. L3 ( x) = N 3 ( x) =

f [ x0 , x1 , L , x p ] = 0

p≤n

f [ x0 , x1 , L , x p ] = 1

p = n +1,

1 3 ( x ? 13 x 2 + 69 x ? 92) 5
* *

5. (1)用反插值法得根的近似值 α =0.3376; (2)用牛顿迭代法得根的近似值 α =0.337667。

(ξ ) ( x ? x k ?1 )( x ? x k )( x ? x k +1 ) ≤ 10 ?3 可求得 h ≤0.2498(或 h ≤0.2289)。 3! 1 3 2 7. (1) H 3 ( x ) = ?2 x + 8 x ? 9 x + 5 ξ ∈ (1, 2) R3 ( x) = f ( 4) (ξ )( x ? 1) 2 ( x ? 2) 2 4! 1 3 2 (2) H 3 ( x ) = 2 x ? 9 x + 15 x ? 6 R3 ( x) = f ( 4) (ξ )( x ? 1)( x ? 2) 2 ( x ? 3) ξ ∈ (1, 3) 4!
6. 令 max

f

( 3)

x k ?1 ≤ x ≤ x k +1

第六章 1.

2.

3.

? 30 3 ? ? x1 ? ? 73 ? ? x1 ≈ 2.3888 , x 2 ≈ 0.4456 ?? ? ? 3 49 ? ? ? ? =? ? ? ? ? x 2 ? ? 29 ? ? 5327 ? ? a ? ? 271.4 ? ? 5 ? ? 正规方程组为 ? 5327 7277699 ? ? ?? ? ? ? ?=? ? ? ? b ? ? 369321.5 ? a ≈ 0.9726 , b ≈ 0.0500 y = 0.9726 + 0.0500 x 2 取对数 ln I = ln I 0 ? at
正规方程组为

相应的正规方程组为

? 3.5 ? ? ln I 0 ? ? 1.9890 ? ? 7 ? ? ? ? ? 3.5 2.03 ? ? ?? ? ? ? =? ? ? ? a ? ? ? 0.1858 ? ln I 0 = 1.72825 , a ≈ 2.8882
4.正规方程组为

I 0 ≈ 5.6308

I = 5.6308e ?2.8882t

3.1781 ? ? 4 ? ? 3.1781 3.6092 ? ? ? ?

? a ? ? 14.4 ? ? ? ? ? a ≈ 2.4864 ?b? ?=? ? ? ?12.9607 ?



b ≈ 1.4016 y = 2.4864 + 1.4016 ln x

第七章 1. 解:运用梯形公式:

1 dx ≈ [e 0 + e1 ] = 1.8591409 0 2 1 1 ξ 误差: R[ f ] = ? e (1 ? 0) 3 ≤ e = 0.2265235 12 12

∫e

1

x

运用辛浦生公式:

1 0 x 1 ∫0 e dx ≈ 6 [e + 4e 2 + e ] = 1.7188612 1 ξ 1 误差: R[ f ] = ? e ≤ e = 0.00094385 2880 2880
1

1

2. 解:(1)左矩形公式 将 f(x)在 a 处展开,得 f ( x) = f ( a ) + f ′(ξ )( x ? a ),

ξ ∈ [ a, x ]
4

两边在[a,b]上积分,得



b

a

f ( x)dx = ∫ f (a)dx + ∫ f ′(ξ )( x ? a)dx = (b ? a) f (a) + ∫ f ′(ξ )( x ? a)dx
a a

b

b

b

由于(x-a)在[a,b]上不变号,故有 η ∈ [ a, b] ,使 从而有



b

a

f ( x)dx = (b ? a) f (a) + f ′(η ) ∫ ( x ? a)dx
a

a b



b

a

f ( x)dx = (b ? a ) f (a ) +

1 f ′(η )(b ? a ) 2 2

η ∈ [ a, b]
1 f ′(η )(b ? a ) 2 2

(2)右矩形公式 将 f(x)在 b 处展开,并积分,得 (3)中矩形公式 将 f(x)在 a + b 处展开,得
2



b

a

f ( x)dx = (b ? a ) f (b) ?

η ∈ [ a, b]

f ( x) = f (

a+b a+b a+b 1 a+b 2 ) , ) + f ′( )( x ? ) + f ′′(ξ )( x ? 2 2 2 2 2

ξ ∈ [ a, b]

两边在[a,b]上积分,得

a+b a+b b a+b 1 b a+b 2 ) + f ′( )∫ ( x ? )dx + ∫ f ′′(ξ )( x ? ) dx a 2 2 a 2 2 a 2 b a+b 1 a+b 2 a+b 1 = (b ? a ) f ( ) + f ′′(η ) ∫ ( x ? ) dx = (b ? a ) f ( )+ f ′′(η )(b ? a ) 3 ,η ∈ [a, b] a 2 2 2 2 24



b

f ( x)dx = (b ? a ) f (

3. 解:(1)求积公式中含有三个待定参数 A-1、A0、A1,故令求积公式对 f(x)=1、x、x2 准确成立,即
? ? A ? 1 + A 0 + A1 = 2 h ? 解得 ? ? ? h ( A ? 1 ? A1 ) = 0 ? 3 ? h 2 ( A ? 1 + A1 ) = 2 h ? 3 ?

A-1=A1=h/3,

A0=4h/3

显然所求的求积公式(事实上为辛浦生公式)至少具有两次代数精确度。又有

h h ( ? h) 3 + h 3 ?h 3 3 h h h 4 4 4 ∫?hx dx ≠ 3 (?h) + 3 h h h 4h h f ( 0) + f ( h ) 故 ∫ f ( x) dx ≈ f ( ?h) + ?h 3 3 3



h

x 3 dx =

具有三次代数精确度。

(2)求积公式中含有两个待定参数 x1、x2,当 f(x)=1 时,有



1 f ( x)dx ≡ [ f (?1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x 2 )] ?1 3
1

故令求积公式对 x、x2 准确成立,即:

?2 x1 + 3 x 2 = 1 ?0.68990 ?? 0.12660 解得, x 2 = ? x1 = ? ? 2 2 ?? 0.28990 ?0.52660 ?2 x1 + 3 x2 = 1 1 1 3 3 3 ∫?1x dx ≠ 3 [?1 + 2 x1 + 3x 2 ] 显然 1 1 故 ∫ f ( x)dx ≈ [ f (?1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x 2 )] ?1 3
当求积节点取 x1=0.68990,x2=-0.12660 或 x1=-0.28990,x2=0.52660 时,求积公式具有两次代数精确度。
5

(3)求积公式中含有一个待定参数α,当 f(x)=1、x 时,有

h dx ≡ [1 + 1] + 0 0 2 h h 2 ∫0 xdx ≡ 2 [0 + h] + αh [1 ? 1]



h

故令求积公式对 f(x)=x2 成立,即: 得
h
3



h

0

x 2 dx =

h [ 0 + h 2 ] + αh 2 [ 2 × 0 ? 2 h ] 2

α=1/12。

显然:

h h2 3 2 ∫0 x dx = 2 [0 + h ] + 12 [0 ? 3h ] h h h2 4 4 x dx ≠ [ 0 + h ] + [0 ? 4 h 3 ] ∫0 2 12 h h h2 故 ∫ f ( x) dx ≈ [ f (0) + f ( h)] + [ f ′(0) ? f ′(h)] 具有三次代数精确度。 0 2 12
4. 解:函数值表格 x f(x) 1 0 7/6 0.15415 8/6 0.28768 9/6 0.40547 10/6 0.51083 11/6 0.60614 2 0.69315

T6=1/2×1/6[0+2×(0.15415+0.28768+0.40547+0.51083+0.60614)+0.69315]≈0.38514

b ? a 4 ( 4) 1 h f (η) = ? f (4) (η), 4 2880 2880N 5. 解: 6 Q f ( x) = ln x,∴ f (4) ( x) = ? 4 ,∴ f (4) (η) ≤ 6. x RN [ f ] = ?
令 RN [ f ] ≤

S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]≈0.38629

1≤η ≤ 2

1 × 10 ? 4 ,得 N≥2.54.取 N=3,则至少要取 2N+1=7 个节点处的函数值。 2

6. 解:按照事后误差估计公式

I ≈ T2 n +

h 1 1 (T 2 n ? T n ), T 2 n = T n + n 3 2 2 1 ( S 2 n ? S n ), 15 Sn =



n ?1

f (x

k =0

k+

1 2

)

和 I ≈ S 2n +

4 1 T2 n ? Tn 3 3

计算列表如下: k 等分 2k

T2k
0.92073549 0.93979328 0.94451352 0.94569086

1 T k ? T 2 k ?1 3 2

S 2 k ?1
0.94614588

1 S k ?1 ? S 2 k ? 2 15 2

0 1 2 3

1 2 4 8

0.00157341 0.00039245<10-3
-3

0.94608693 0.94608331

0.00000393<10-5 0.00000024

因此,由梯形公式得 I≈T8=0.94569086,精确到 10 ;由辛浦生公式得到 I≈S2=0.94608693,精确到 10-5。 若取 I≈S4=0.94608331,则精确到 10-6。 精确到 10-3 的结果为 I≈0.946.
6

7. 解:采用极坐标系,令 x=2cosθ,y=sinθ,则椭圆的周长为

l = 4∫
由于

π

2 0

′ + yθ ′ dθ = 4 ∫ 2 1 + 3 sin 2 θ dθ = 4 I xθ
2 2 0

π

π
2

<



π

2 0

1 + 3 sin 2 θ dθ < 2 ×

π
2

= π ,因此 I 有一个整数,故要求结果有四位有效数字,需截断误

差≤1/2×10-3。列表计算如下: k 0 1 2 3 4 等分 2k 1 2 4 8 16

T2 k

S 2 k ?1
2.441163 2.422830 2.422115 2.422112

C 2k ?2

R2 k ?3

2.356194 2.419921 2.422103 2.422112 2.422112 2.421608 2.422067 2.422112 2.422074 2.422113

故取 I=2.422113,周长为 l =4I=9.688。 8.(1):取 h=0.1,三点公式取 x 0 = 1.9, x1 = 2.0, x 2 = 2.1 ,得

1 [ f (2.1) ? f (1.9)] = 22.2288 2 × 0 .1 1 f ′′(2.0) ≈ [ f (1.9) ? 2 f (2.0) + f (2.1)] = 29.5932 0 .1 2 (2):取 h=0.2, 三点公式取 x 0 = 1.8, x1 = 2.0, x 2 = 2.2 ,得 1 [ f (2.2) ? f (1.8)] = 22.4142 f ′(2.0) ≈ 2 × 0 .2 1 f ′′(2.0) ≈ [ f (1.8) ? 2 f (2.0) + f ( 2.2)] = 29.7043 0 .2 2 注:精确解为 f ′(2.0) = 22.167168, f ′′(2.0) = 29.556224 。 f ′(2.0) ≈
第八章 1. 计算结果为:

xn
0 .1 0 .2 0 .3

yn
0.000 000 000 0.011 000 000 0.033 900 000

| y( xn ) ? y n | 0.516 258196 × 10 ?2 0.102 692 469 × 10 ?1 0.152 817 793 × 10 ?1
欧拉预-校法 y n

2. 计算结果如下: xn 梯形法 y n 0.1 0.2 0.3

| yn ? y( xn ) | .548 934 878 × 10 ?3
.898558403 × 10 ?3 .110 314 620 × 10 ?2

| yn ? y( xn ) | .126 924 692 × 10 ?2 .207 995 396 × 10 ?2 .255 636 391 × 10 ?2

1.618181 818 1.269 421 488 0.947 708 490

1.620 000 000 1.272 400 000 0.951 368 000

3. 计算结果如下:

7

xn
0.1 0.2 0.3

(8.32)的 y n

| y n ? y( x n ) | .325163 928 × 10 ?3 .588 493 844 × 10 ?3 .798 808 637 × 10 ?3

(8.34)的 y n

| y n ? y( x n ) | .163 928 081 × 10 ?6 .296 656 536 × 10 ?6 .402 638 920 × 10 ?6

0.710 0.438 050 0.182 435 250

0.709 675 000 0.437 461803 0.181 636 844

4.计算结果如下:

xn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

四阶 R-K 解 y n

(8.37)的 y n

| y n ? y( x n ) | .819 640 404 × 10 ?7 .148 328 268 × 10 ?6 .201319 460 × 10 ?6

1.004 837 500 1.018 730 901 1.040 878 422 1.070 323 099 1.106 535 643

.305 293 597 × 10 ?5 .498 343 648 × 10 ?5

6. 对 f ( x, y ( x)) 在 xn + 2 , x n +1 , xn 处进行 Lagrange 插值,得插值多项式 P2 ( x) , 然后在区间 [ x n +1 , x n + 2 ] 上积分,即可得到所要结果。 9 3 1 7 1 7. α = , β 0 = , β 1 = ? , Rn , h = h y ′′′( x n ) + O (h 4 ) 。 24 2 4 4

8

计算方法 2006-2007 学年第一学期试题

1 填空 1). 近似数 x * = 1.253 关于真值 x = 1.249 有____位有效数字; 2). 设有插值公式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) ,则 ∑ Ak =______;
?1
k =1 k =1 * x1 3) 设近似数 x1 = 0.0235 , x = 2.5160 都是有效数,则相对误差 er ( * ) ≤ ____; x2 * * 2 1 n n

4) 求方程 x = cos x 的根的牛顿迭代格式为______; ? x1 + x 2 = 1 ?2 x1 + 2 x 2 = 2 ? ? 5) 矛盾方程组 ? x1 ? x 2 = 1 与 ? x1 ? x 2 = 1 得最小二乘解是否相同______。 ? x + 2 x = ?1 ? x + 2 x = ?1 2 2 ? 1 ? 1

2 用迭代法(方法不限)求方程 xe x = 1 在区间(0,1)内根的近似值,要求先论证收敛性, 误差小于 10 ?2 时迭代结束。 3 用最小二乘法 y = ax 2 + be x 中的常数 a 和 b ,使该函数曲线拟合与下面四个点
(1,-0.72)(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) (结果保留到小数点后第四位)
4.用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

5.设要给出 f ( x ) = cos x 的如下函数表

?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?

0 1 2 1

2 0 4 0

0 ?? x1 ? ? 5 ? ?? ? ? ? 1 ?? x 2 ? ? 3 ? = 3 ?? x3 ? ?17 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?? x 4 ? ? 7 ? x0 x0 + h f ( x 0 + h)
?3

xi f ( xi )

x0 ? h f ( x 0 ? h)

f ( x0 )

用二次插值多项式求 f ( x ) 得近似值,问步长不超过多少时,误差小于 10 6. 设有微分方程初值问题

? y′ = -2 y ? 4 x, 0 < x ≤ 0.2 ? ? y (0) = 2
(1) 写出欧拉预估-校正法的计算格式;

(2) 取步长 h=0.1,用欧拉预估-校正法求该初值问题的数值解(计算结果保留 4 位小数)。 1 dx 7. 设有积分 I = ∫ 01+ x (1) 取 11 个等距节点(包括端点 0 和 1),列出被积函数在这些节点上的函数值(小数点侯 保留 4 位); (2) 用复化 Simpson 公式求该积分的近似值,并由截断误差公式估计误差大小(小数点侯保 留 4 位)。
9

8. 对方程组 ? 1 2 -2 ?? x1 ? ? 4 ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 ?? x 2 ? = ? 1 ? ? 2 2 1 ?? x ? ? 3 ? ?? 3 ? ? ? ?

(1) 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛?为什么? (2) 取初始向量 x = (0,0,0) T ,用雅可比迭代法求近似解 x ( k +1) ,使
xi( k +1) ? xi( k ) < 10 ?3 (i = 1,2,3)

9. 设 f(x)在区间[a,b]上有二阶连续导数,且 f(a)=f(b)=0,试证明 1 f ( x) ≤ (b ? a) 2 max f ′′( x) max 8 a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b 参考答案: 1: (1)3 (2) 2 (3) 0.002525 或 0.0021475 x ? cos x k x k sin x k + cos x k (4) x k +1 = x k ? k = , k = 0,1,2,... 1 + sin x k 1 + sin x k 2. 方程的等价形式为 x = e ? x ,迭代格式为 x k +1 = e ? xk 。 1 收敛性证明;当 x ∈ (0,1) 时, 0 < ≤ e ? x ≤ e 0 = 1 e ?x 0 φ ' ( x) = e < e = 1 所以依据全局性收敛定理,可知迭代格式收敛 取迭代初值为 x0 = 0.5 ,迭代结果如下 n xn
0 1 2 3 4 5 6 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486

(5) 否

x n ? x n ?1
0.01065 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 0.00631

3. xn
x
2 n

1 1 2.71828

1.5 2.25 4.48169

2.0 4.0 7.38906

2.5 6.25 12.18249

e xn

矛盾方程组为

2.71828 ? ? 1 ?? 0.72? ?2.25 4.48169 ? a ? ? ? ? ? ? = ? 0.02 ? ? ? 4.0 7.38906 ? ? ?b ? ? 0.61 ? ? ? ? ? ?6.25 12.18249? ? 0.32 ?

对应的正则方程组为

10

? 61.125 118.4989 ? ?a ? ? 3.765 ? ?118.4989 230.4859? ?b ? = ?6.538196? ? ?? ? ? ?
解得

a = 2.0019, b = ?1.0009

所以拟和曲线方程为 y = 2.0019 x 2 ? 1.0009e x 4. 由矩阵 Doolittle 分解的紧凑记录形式有

?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?
回代求解得

0 1 2 1

2 0 4 0

0 1 3 3

5? ? 3? 17 ? ? 7? ?



?1 ? ?0 ?1 ? ?0 ?

0 1 2 1

2 0 2 0

0 1 1 2

5? ? 3? 6? ? 4? ?

4 1 = 2 , x 3 = (6 ? 1 ? x 4 ) = 2 2 2 3 ? 0 x3 ? 1x 4 5 ? 0 x 2 ? 2 x3 ? 0 x 4 x2 = = 1 , x1 = =1 1 1 方程组的解向量为 x = (1, 1, 2, 2) T . x4 =

5. 令 max

x k ?1 ≤ x ≤ x k +1

f (3) (ξ ) ( x ? x k ?1 )( x ? x k )( x ? x k +1 ) ≤ 10 ?3 3!

可求得 h ≤0.2498(或 h ≤0.2289)

(0) (0) 6. y1 = 1.6, y1 = 1.62, y 2 = 1.256, y 2 = 1.2724

7. 0.6932

R( f ) ≤ 1.3333 × 10-5
? 0 ?2 2 ? ? ? B J = ? ? 1 0 ? 1? ?-2 ? 2 0 ? ? ?

8. (1)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为

谱半径 ρ (B J ) = 0 < 1 .此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛.

?2? ?2? ? 8 ? ? 4? ? ? ( 2 ) ? ? ( 3) ? ? ( 4 ) ? ? (2) x = ? 1 ?, x = ? ? 6 ?, x = ? 0 ?, x = ? 0 ? ? ? 1? ? ? 1? ?? 7? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? 9. 以 x0 = a, x1 = b 为插值节点,做 Lagrange 插值: 1 1 f ( x) = L1 ( x) + f ′′(ξ )( x ? a )( x ? b) = f ′′(ξ )( x ? a )( x ? b) 2! 2! 其中 ξ ( x) ∈ [a, b] 。 1 f ( x) ≤ max f ′′(ξ )( x ? a )( x ? b) max a ≤ x ≤b 2! 故 a ≤ x ≤b 1 1 ≤ max f ′′( x) max ( x ? a )( x ? b) ≤ (b ? a ) 2 max f ′′( x) 2 a ≤ x ≤b 8 a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b
(1)

11

计算方法 2006-2007 学年第二学期试题 1 填空 1). 近似数 x * = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__位有效数字。 2) 适当选择求积节点和系数,则求积公式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( x k ) 的代数精确度最高可以达
?1
k =1

1

n

到______次. * * * * = 0.0235 , x 2 = 2.5160 都是四舍五入得到的,则相对误差 er ( x1 x 2 ) 的相对 3) 设近似数 x1 误差限______ 4) 近似值 y * = 5 x * 的相对误差为 er ( x * ) 的____ 倍。 5) 拟合三点 A(0,1), B(1,3),C(2,2)的平行于 y 轴的直线方程为_____. 2. 用迭代法求方程 x 2 + 2 xe x + e 2 x = 0 在(-1,0)内的重根的近似值 x n +1 。要求 1)说明所用 的方法为什么收敛;2)误差小于 10 ?4 时迭代结束。 3.用最小二乘法确定 y = ax 2 + b ln x 中的 a 和 b ,使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后 4 位) 4 设函数有二阶连续导数,在一些点上的值如下 xi 1.0 1.1 1.2 f ( xi ) 0.01 0.11 0.24 写出中心差分表示的二阶三点微分公式,并由此计算 f '' (1.1) 。

5 已知五阶连续可导函数 y = f ( x) 的如下数据 xi 0 f ( xi ) f ' ( xi ) f ' ' ( xi ) 0 0 0

1 1 1

试求满足插值条件的四次多项式 p ( x). 6 设有如下的常微分方程初值问题 ? dy x ? = ,1 < x ≤ 1.4 ? dx y ? y (1) = 1 ? 1)写出每步用欧拉法预估,用梯形法进行一次校正的计算格式。 2)取步长 0.2 用上述格式求解。 7 设有积分 I = ∫ e x dx
2

0.6

0

12

1)取 7 个等距节点(包括端点),列出被积函数在这些点出的值(保留到小数点后 4 位) 2)用复化 simpson 公式求该积分的近似值。 8 用 LU 分解法求解线性代数方程组 ?1 1 2 3 ?? x1 ? ? 3 ? ? ?? ? ? ? ? 0 2 1 2 ?? x 2 ? ? 1 ? ?1 ? 1 2 2 ?? x ? = ? 3 ? ? ?? 3 ? ? ? ? 2 2 5 9 ?? x ? ? 7 ? ? ?? 4 ? ? ? 2 9 当常数 c 取合适的值时,两条抛物线 y = x + x + c 与 y = 2 x 就在某点相切,试取出试点 x0 = 0.3 ,用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于 10 ?4 时迭代结束。 参考答案: 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 0.002525 或 0.0021475 (4)1/5 (5) x=1 2 解:将方程变形为 ( x + e x ) 2 = 0 即求 x + e x = 0 在(-1,0)内的根的近似值 x n +1
x n + e xn 1 + e xn 收敛性证明: 非局部收敛定理 结果 x 4 = ?0.56714 。

牛顿迭代格式为

x n +1 = x n ?

3 用最小二乘法,正则方程组为 ? 61.125a + 9.41165b = 65.86 解得 a=1.0072, b=0.4563 ? ?9.41165a + 1.48446 = 10.1586 4.解 推导中心差分格式
f '' ( x1 ) =
1 ( f ( x0 + f ( x 2 ) ? 2 f ( x1 )) h2

得到 f '' (1.1) = 3
5 解 p( x). = ?2 x 4 + 3x 3

f (5) (ξ ) 3 截断误差 R( x) = x ( x ? 1) 2 5! 6 y (1.2) = 1.2; y (1.4) = 1.4 7 8 9 0.6805 (1 0 1 0) 解 两条曲线求导
y' = 2 x + 1 和 y' = x
?

1 2

切点横坐标一定满足 2 x + 1 = x 2 将等式变形为 f ( x) = 4 x 3 + 4 x 2 + x ? 1
13

?

1

牛顿迭代法 结果为 0.34781 计算方法 2007-2008 学年第一学期试题
1 填空(15 分) * * * * = 9.2270 , x2 = 0.8009 都是四舍五入得到的,则相对误差 er ( x1 x2 ) ≤ ______ 1) 设近似数 x1 2)拟合三点 A(3,1), B(1,3),C(2,2)的平行于 y 轴的直线方程为_ 3) 近似数 x* = 0.0351 关于真值 x = 0.0349 有_
1 n ?1 k =1 ?1

____.

_为有效数字.

4) 插值型求积公式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 至少有______次代数精确度. 5) Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度. 2. (10 分)已知曲线 y = x3 + 2.89 与 y = 2.4 x 2 + 0.51x 在点(1.6,6.9)附近相切,试用牛顿迭

代法求切点横坐标的近似值 xn +1 ,当 xn +1 ? xn ≤ 10 ?5 误差小于 10 ?4 时停止迭代。
3.(10 分)用最小二乘法确定 y = ax 2 + b ln x 中的常数 a 和 b ,使得该函数曲线拟合于下面

四个点 (1,2.01), (2,7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后 4 位)
? 2 3 2? ? ? 4.(10 分) 用乘幂法求矩阵 A = ?10 3 4 ? 的按模最大的特征值 λ1 的第 k 次近似值 λ1( k ) 及相应 ? 3 6 1? ? ? (k ) 的特征向量 x1 。要求取初始向量 u0 = (1, 2,1)T ,且 λ1( k ) ? λ1( k ?1) ≤ 0.1 。 5.(10 分)设有方程组 ? a 1 3 ? ? x1 ? ? b1 ? ? 1 a 2 ? ? x ? = ?b ? ? ? ? 2? ? 2? ? ? ? 3 2 a ? ?? ? x3 ? ? ? ? b3 ? ?

(a ≠ 0)

(1) 写出与 Jacobi 迭代法对应的 Gauss-Seidel 方法的迭代格式; (2) Jacobi 方法的迭代矩阵为: (3) 当参数 a 满足什么条件时,Jacobi 方法对任意的初始向量都收敛。
6.(10 分)已知四阶连续可导函数 y = f ( x) 的如下数据: xi 1 2 f ( xi ) f ' ( xi ) 0 5 1 10 ' ' 试求满足插值条件 p ( xi ) = f ( xi ), p ( xi ) = f ( xi ) 的三次插值多项式 p ( x) ,并写出截断误差
R( x) = f ( x) ? p ( x) 的导数型表达式(不必证明)。

14

7.(15 分)设有积分 I = ∫ x 3e x dx
1

2

1)取 7 个等距节点(包括端点 1 和 2),列出被积函数在这些节点上的函数值表(小数点后 至少保留 4 位); 2)用复化 simpson 公式求该积分的近似值,并由截断误差公式估计误差大小。 8.(10 分) 给定初值问题 y2 = 0, y (1) = 1, 1 < x ≤ 1.4 x a) 写出欧拉(Euler)预估-校正的计算格式; b) 取步长 h = 0.2 ,求 y (1.4) 的近似值。 y' ? 9.(10 分) 用迭代法的思想证明: lim 2 + 2 + L + 2 = 2
k →∞

(等号左边有 k 个 2)。
2

参考答案: 1: (1)6.78×10-5, (2) x=2 (3) 2 (4)n-2 (5) 3
2. 切线斜率相等: 3 x = 4.8 x + 0.51 , 3 x ? 4.8 x-0.51 = 0
2 2 3x n ? 4.8 x n-0.51 牛顿迭代格式: x n +1 = x n ? 6 x n ? 4.8 取 x0 = 1.6 ,得 x1 = 1.70625, x 2 = 1.70002, x3 = 1.70000, x 4 = 1.70000

?a = 2.01 ?4a + b ln 2 = 7.3 ? 3. 矛盾方程组: ? ?9a + b ln 3 = 16.9 ? ?16a + b ln 4 = 30.8 34.84081?? a ? ? 672.91 ? ? 354 ? 正则方程组: ? ? 34.84081 3.60921 ? ?? ? ? ?=? ? ? ? ?? b ? ? 66.04713 ?
a ≈ 1.9997, b ≈ ?1.0042
4. 取初始向量 V
(0)

= (1 2 1) ,用乘幂法公式进行计算,且取 λ
T

(k ) 1

V1( k +1) = ( k ) ,得 V1

λ1 ≈ 11.0 , x ≈ V ( 4 ) = (13516,27032,20226) T
5.(1)迭代格式为

? ( k +1) 1 (k ) (k ) = b1 ? x 2 ? 3x3 ? x1 a ? ? ( k +1) 1 (k ) = b2 ? x1( k +1) ? 2 x3 ? x2 a ? ? ( k +1) 1 ( k +1) = b3 + 3 x1( k +1) ? 2 x 2 ? x3 a ?

( (

)

(

)

)
15

(2)Jacobi 迭代法的迭代矩阵为

? ? 0 ? 1 BJ = ?? ? a ? 3 ? ? a

?

1 a

0 ?

λ
(3)

λI ? B J =

1 a 3 ? a

2 a 1 3 a a 2 ? 2 4 ? λ = ? λ + 2 ?λ a ? a ? 2 λ a

3? ? ? a? 2 ? ? a? ? 0 ? ?

谱半径 ρ (B J ) =

2 .由 ρ (B J ) < 1 得 a a >2

此时 Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛.

f ( 4 ) (ξ ) 6. p ( x) = x ? 2 x + 1, R ( x) = f ( x) ? p ( x) = ( x ? 1) 2 ( x ? 2) 2 , ξ ( x) ∈ (1,2) 4! 7.20.2174 R( f ) ≤ 0.0048
3

8.(1)Euler 预-校法的计算格式为

? (0) ? y n +1 ? ? ?y ? n +1 ? y2 (2)将 h = 0.2 , f ( x , y ) = x ? (0) ? y n +1 ? ? ?y ? n +1 ? 代入 x0 = 1 , y 0 = 1 得

2 yn = y n + h f ( x n , y n )=y n + h xn

= yn +

2 (0) 2 ( yn h h ? yn (0) +1 ) ? ) f ( x n , y n ) + f ( x n+1 , y n y = + + +1 n 2 2? x n +1 ? xn

[

]

? ? ? ?

代入,则

= y n + 0.2

2 yn xn

2 (0) 2 ? yn ? ( yn +1 ) ? = y n + 0.1? + ?x x n+1 ? ? n ?

[ 0] [0] ? y1 ? y2 = 1.2 = 1.4681 , ? ? ? y (1.2) ≈ y1 = 1.22 ? y (1.4) ≈ y 2 = 1.49798

9.证明

考虑迭代格式 x0 = 0, xk +1 = 2 + xk , k = 0,1, L ,则

x1 = 2 , x2 = 2 + 2 ,…, xk = 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2 (k 个 2)
设 ? ( x) = 2 + x ,则当 x∈[0,2]时,?(x)∈ [?(0),?(2)]= [ 2 ,2] ∈ [0,2];

16

1 1 ,则当 x∈[0,2]时, ? ′( x) ≤ ? ′(0) = < 1. 2 2+ x 2 2 所以,由迭代格式 x 0 = 0, x k +1 = 2 + x k 产生的序列收敛于方程 x = 2 + x 在[0,2]内的根α.
由 ? ′( x) = 设 lim x k = α ,则有 α = 2 + α ,即 α 2 = 2 + α .解之得 α = 2, α = ?1 .舍去不合题意的负根,有
k →∞

lim x k = 2 ,即 lim 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2 = 2
k →∞

k →∞

17



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