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西北工业大学 计算方法课件 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 西工大 nwpu

西北工业大学 计算方法课件 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算  西工大 nwpu


第八章 矩阵特征值与特征向量的计算
§8.0 问题描述 §8.1 乘幂法与反幂法 8.2 §8.2 雅可比方法

§4.0 问题描述
矩阵, 设A为n×n矩阵,所谓A的特征问题是求数λ和 非零向量x,使 Ax= λx 成立。 的一个特征值 特征值, 叫做与特 成立。数λ叫做A的一个特征值,非零向量x叫做与特 对应的特征向量。 征值λ对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组 =0有非零解的数 (A- λI)x=0有非零解的数λ和相应的非零向量x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式det(AλI)=0的零点而得到λ,然后通过求解退化的方程组 )=0的零点而得到 =0而得到 而得到非零向量 当矩阵阶数很高时, (A-λI)x=0而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时,这 种方法极为困难。 种方法极为困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值 以及特征向量比较有效的方法是迭代法和变换法。 以及特征向量比较有效的方法是迭代法和变换法。

一、乘幂法

§4.1 乘幂法与反幂法

通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法, 通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法, 它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量 按模最大的特征值和相应的特征向量。 它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量。

设实矩阵A 设实矩阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn,相应的特征向 , 线性无关。 的特征值按模排序为: 量 x1, x2 ,?, xn线性无关。设A的特征值按模排序为: λ1 > λ2 ≥?≥ λn (0) n 可以得到: 则对任一非零向量 U ∈ R,可以得到:
U
(0)

= a1x1 + a2 x2 +?+ an xn = ∑aj xj
j =1

n

根据特征值的定义 Axi = λi xi U(k +1) = AU(k ) , k = 0,1 2,? 可以构造一个向量序列, , 令 ,可以构造一个向量序列,
U
(1)

= AU

0 ()

= λ a x1 + λ2a2 x2 +?+ λnan xn = ∑λj aj xj 1 1
1 j=

n

U

(2)

= AU

() 1

= λ a x + λ a x +?+ λ a x = ∑λ2aj xj j
2 1 1 1 2 2 2 2 2 n n n

n

k ( U(k) = AU k?1)= λ1 a1x1 + λk a2 x2 +?+ λk an xn = ∑λkj aj xj 2 n

?

j =1

n

U(k ) = AkU(0)

λi <1(i ≥ 2) 若a1 ≠ 0, 由于 ,故k充分大时, λ1 k k U (k ) = λ1 (a1x1 + εk ) ≈ λ1 a1x1
U (k ) 是相应于 λ 的近似特征向量 1

λj k j=1 = λk (a1x1 + ∑( ) aj xj ) 1 j =2 λ 1
n

设 Ul(k )表示 U(k)的 l个 量 第 分 。 k λ1 a1 x1)(εk) ( l+ Ul(k) l = k?1 ≈ λ1, l =1,2,?, n (k ?1) λ1 a1 x1)(εk?1) ( l+ Ul l

综上可知, 综上可知,求矩阵主特征值及相应的特征向量的计 如下: 算步骤如下: Step1:任给n维初始向量U(0)≠0; 任给 Step2:按U(k)=AU(k-1)(k=1,2, )计算U(k); 按 =1,2,…) Step3:如果k从某个数后分量比 如果
(k ) l (k ?1) l

U ≈ c(常数), l =1,2,?, n U 则取λ1≈c,而U(k)就是与λ1对应的一个近似特
征向量。 征向量。 上述方法即乘幂法。

Remark1:具体计算时, 的选取很难保证一定有α Remark1:具体计算时,U(0)的选取很难保证一定有α1≠0。 但是,由于舍入误差的影响,只要迭代次数足够多, 但是,由于舍入误差的影响,只要迭代次数足够多, ′ ′ ′ U (m) = a1 x1 + a2 x2 +?+ a′ xn a1 ≠ 0 如 ,就会有 ,因而最 n Ul(k ) = 0 ,由于对任意l 后结论是成立的。 的情形, 后结论是成立的。对于 的情形 (k ) 均有上面的结论, 即可。 均有上面的结论,故只要取另外的l使 U即可0 ≠。 l Remark2:以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。 Remark2:以上讨论只是说明了乘幂法的基本原理。 当 λ1 太小或太大时,将会使U(k)分量的绝对值过小 太小或太大时, 分量的绝对值过小 或过大,以致运算无法继续进行。因此, 或过大,以致运算无法继续进行。因此,实际计算 步迭代进行一次规范化, 时,常常是每进行m步迭代进行一次规范化,如用

V (m) = U (m) / m (U (m)) ax 其中, 的绝对值最大的分量。 其中,max(U(m))表示向量U(m)的绝对值最大的分量。

继续迭代。 代替U(k)继续迭代。由于特征向量允许差一个非零常 数因子, 数因子,因而从V(k)往后继续迭代与从U(k)往后继续 迭代的收敛速度是相同的, 迭代的收敛速度是相同的,但规范化的做法有效防 止了溢出现象。 的选取,可以自由掌握, 止了溢出现象。至于m的选取,可以自由掌握,如取 m=1,5等等。 等等。 Remark3: 主特征值是重特征值, Remark3:若主特征值是重特征值,如 λ1 = λ2 =?= λr λ1 > λr+1 ≥?≥ λn 则有 从而
Ul(k ) Ul(k?1)

U(k ) = λk ∑ai xi + ∑ i) i xi) ( ( ka 1
i=1
n ? r ? ? λi ? ? ∑ai xi) ∑ai ? ?( i)? ( l+ ?λ ? x l ? i=1 ? i=r +1 ? 1 ? , = λ1 ? k ?1 ? k→ λ1, l =1 2,?, n →∞ r n ?λ ? ? a x) ( i l + ∑ai ? i ? ( i) x l? ∑i ? ? ? i=1 ? i=r +1 ? λ ? 1 ? ?

r

n

i=r +1 k

λ λ1

由此可得乘幂法的算法。但是应该注意到,在重特征 由此可得乘幂法的算法。但是应该注意到, 值的情形下,从不同的非零初始向量出发迭代, 值的情形下,从不同的非零初始向量出发迭代,可能 得到主特征值的几个线性无关的特征向量。 得到主特征值的几个线性无关的特征向量。 Remark4:由上述推导可知, Remark4:由上述推导可知,乘幂法收敛的快慢取 的大小, 决于比值 λ λ 的大小,该比值越小收敛越 2 1 快。 由此便提出了乘幂法的加速收敛方法, 由此便提出了乘幂法的加速收敛方法,如 Rayleigh商加速法 原点平移法等。 商加速法、 Rayleigh商加速法、原点平移法等。 Remark5: 共轭等情形, Remark5:对于λ1=-λ2,或λ1与λ2共轭等情形,也可 类似进行计算,具体可参阅相关教材。 类似进行计算,具体可参阅相关教材。

二、反幂法
计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量。 计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量。 设矩阵A非奇异, 代替A作幂的方法就成为反 设矩阵A非奇异,用 A?1代替A作幂的方法就成为反 ?1 幂法。 幂法。当A的特征值满足 λ ≥ λ2 ≥?≥ λn 时, A 1 1 1 1 ≤ ≤?≤ ,并且A对应于A-1的 的特征值满足 并且A对应于A 并且 相应的特征向量是相同的。 相应的特征向量是相同的。
?1

λ1

λ2

λn

对 A 用反幂法求解按模最大的特征值是 λ ,特 n 即是A的按模最小的特征值和特征向量。 征向量是 xn,即是A的按模最小的特征值和特征向量

1

反幂法的计算步骤如下: 反幂法的计算步骤如下: 计算步骤如下 Step1:任取 U (0) ≠ 0 ; 任取 Step2:计算U(k)=A-1U(k-1)(k=1,2, ); 计算 =1,2,…) Step3:如果k从某个数后分量比 如果

Ul(k) ≈ c(常数), l =1,2,?, n (k ?1) Ul 1 则取 n ≈ ,而U(k)就是与λn对应的一个近似特征 λ 向量。 c 向量

Remark1:实际计算时一般并不求A-1,而是将算法中的 实际计算时一般并不求 迭代公式U(k)=A-1U(k-1)改为解方程组AU(k)=U(k-1)。由于 每步所解方程组具有相同的系数矩阵A,故常常是先将 A进行三角分解,然后转化为每步只需用回代公式求解 进行三角分解, 两个三角方程组。这样可以减少计算工作量。 两个三角方程组。这样可以减少计算工作量。 Remark2: 若已知矩阵 的某个特征值 λ i 的相对分离 : 若已知矩阵A的某个特征值 较好的近似值 近似值p。不要求p的近似程度有多好 的近似程度有多好, 较好的近似值p。不要求p的近似程度有多好,只要求 1 ( A? ?1 时? ,则 便是pI ) 的主特征值。 的主特征值。 j≠i时i,p < λj ? p λ
λi ? p

这样一来, 这样一来,就可以使用反幂法求解矩阵的在某点附近 的特征值及其特征向量。 的特征值及其特征向量。

本课程到次全部结束, 本课程到次全部结束, 祝大家考试取得好成绩! 祝大家考试取得好成绩!



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