haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法试题 新人教A版选修45

高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法试题 新人教A版选修45

一 数学归纳法
课后篇巩固探究 1.用数学归纳法证明 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,在验证 n=1 成立时,左边所得的代数式为
()

A.1

B.1+3

C.1+2+3

D.1+2+3+4

解析当 n=1 时,左边有 2n+1=2×1+1=3,所以左边所得的代数式为 1+2+3.

答案 C

2.已知 n 是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当 n=k(k≥1,且为奇数)时命题为真,则还需证明 ()

A.当 n=k+1 时命题成立

B.当 n=k+2 时命题成立

C.当 n=2k+2 时命题成立

D.当 n=2(k+2)时命题成立

解析因为 n 是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立即可.又 k 的下一个奇数是 k+2,故选 B.

答案 B

3.用数学归纳法证明 12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12= n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( ) A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2

时,由 n=k(k≥1)的假设到证明

C.(k+1)2

D. (k+1)[2(k+1)2+1]

解析当 n=k(k≥1)时,左边为 12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,当 n=k+1 时,左边为 12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.

答案 B

4. A.6+6·7k

导学号 26394063 下列代数式(其中 k∈N+)能被 9 整除的是( ) B.2+7k-1

C.2(2+7k+1)

D.3(2+7k)

解析(1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除.

(2)假设当 k=n(n∈N+,n≥1)时命题成立, 即 3(2+7k)能被 9 整除.

当 k=n+1 时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36 也能被 9 整除.这就是说,当 k=n+1 时命题也成立.

由(1)(2)可知,3(2+7k)能被 9 整除对任何 k∈N+都成立.

答案 D

5.用数学归纳法证明 1-

+…+



.

+…+ ,第一步应验证的等式

解析当 n=1 时,等式的左边为 1- ,右边= ,所以左边=右边.

答案 1-

6.若凸 n(n≥4)边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数 f(n+1)



.

解析由题意知 f(n+1)-f(n)=n-1,

则 f(n+1)=f(n)+n-1.

答案 f(n)+n-1

7.若 s(n)=1+ +…+ (n∈N+),则 s(5)-s(4)=

.

解析依题意,s(5)=1+ +…+ ,

s(4)=1+

+…+

,

于是 s(5)-s(4)=

.

答案 8.已知 f(n)=(2n+7)×3n+9(n∈N+),用数学归纳法证明 f(n)能被 36 整除. 证明(1)当 n=1 时,f(1)=(2+7)×3+9=36,能被 36 整除,命题成立.
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)=(2k+7)×3k+9 能被 36 整除. 当 n=k+1 时,f(k+1)=[2(k+1)+7]×3k+1+9=(2k+7)×3k+1+2×3k+1+9 =(2k+7)×3k×3+2×3k+1+9=3[(2k+7)×3k+9]-27+2×3k+1+9 =3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1). 由于 3k-1-1 是 2 的倍数,则 18(3k-1-1)能被 36 整除, 即当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n,都有 f(n)=(2n+7)×3n+9 能被 36 整除.

9.

导学号 26394064 用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·

(n∈

N+).

证明(1)当 n=1 时,左边=12=1,右边=(-1)0×

=1,左边=右边,命题成立.

(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,即 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·

.

当 n=k+1 时, 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2

=(-1)k-1·

+(-1)k(k+1)2

=(-1)k(k+1)·

=(-1)k·

.

因此,当 n=k+1 时命题也成立, 根据(1)(2)可知,命题对于任何 n∈N+等式成立.

10.

导学号 26394065 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 +2an=4Sn.

(1)计算 a1,a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.

解(1)当 n=1 时, +2a1=4S1,即 +2a1=4a1,

整理,得

-2a1=0,

解得 a1=2(a1=0 舍去).

当 n=2 时,

+2a2=4S2,即

+2a2=4(2+a2),

整理,得

-2a2-8=0,

解得 a2=4(a2=-2 舍去).

当 n=3 时,

+2a3=4S3,即

+2a3=4(2+4+a3),

整理,得

-2a3-24=0,

解得 a3=6(a3=-4 舍去).

当 n=4 时,

+2a4=4S4,即

+2a4=4(2+4+6+a4),

整理,得

-2a4-48=0,

解得 a4=8(a4=-6 舍去). 由以上结果猜想数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)下面用数学归纳法证明{an}的通项公式为 an=2n. ①当 n=1 时,a1=2,由(1)知,猜想成立. ②假设当 n=k(k≥1)时猜想成立,即 ak=2k,

这时有

+2ak=4Sk,即 Sk=k2+k.

当 n=k+1 时,

+2ak+1=4Sk+1,



+2ak+1=4(Sk+ak+1),

所以

-2ak+1=4k2+4k,

解得 ak+1=2k+2(ak+1=-2k 舍去). 故当 n=k+1 时,猜想也成立.

由①②可知,猜想对任意 n∈N+都成立.


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com