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第二章 导数与微分 习题课2

第二章 导数与微分 习题课2


? x ? 2t ? t dy 例3 设 ? ,求 2 dx ? y ? 5t ? 4t t

t ?0

.

解 分析:

当t ? 0时, t 导数不存在,

dx dy ?当t ? 0时, , 不存在, dt dt
lim ?y ?x ? lim 5( ?t ) ? 4?t ?t
2

不能用公式求导.
?t[5 ? 4 sgn( ?t )] 2 ? sgn( ?t )

?x ? 0

?t ? 0

2 ?t ? ?t

? lim

?t ? 0

? 0.
故 dy dx
t ?0

? 0.

例4 设函数y ? f ( x )由方程 x y ?
所确定, 求 d y dx
2 2

y

x ( x ? 0, y ? 0)

.
1 y y? ?
1 y



两边取对数

1 x

ln y ?

ln x ,

即y ln y ? x ln x ,
,

? (1 ? ln y ) y? ? ln x ? 1,
1 y ?? ? x (1 ? ln y )
2
2

ln x ? 1 1 ? ln y

(ln y ? 1) ? (ln x ? 1)

? y?

?

y(ln y ? 1) ? x (ln x ? 1) xy(ln y ? 1)
3

2

例5

设f ( x ) ? x x ( x ? 2) , 求 f ?( x ).

解 先去掉绝对值
? x ( x ? 2), x ? 0 ? 2 f ( x ) ? ? ? x ( x ? 2),0 ? x ? 2, ? 2 ? x ( x ? 2), x ? 2
2

当x ? 0时,

f ?? (0) ? f ?? (0) ? 0,
2

f ?(0) ? 0;

当x ? 2或x ? 0时, 当0 ? x ? 2时,

f ?( x ) ? 3 x ? 4 x; f ?( x ) ? ?3 x ? 4 x;
2

当x ? 2时,
f ?? ( 2) ? lim ?
x?2

f ( x ) ? f ( 2) x?2 f ( x ) ? f ( 2) x?2

? lim ?
x?2

? x ( x ? 2)
2

x?2
x ( x ? 2)
2

? ?4.

f ?? ( 2) ? lim ?
x?2

? lim ?
x?2

x?2

? 4.

f ?? ( 2) ? f ?? ( 2),
2

? f ( x )在x ? 2处不可导.

? 3 x ? 4 x , x ? 2, 或x ? 0 ? f ?( x ) ? ?0, x ? 0, ? ? 3 x 2 ? 4 x ,0 ? x ? 2, ?

例6

设y ? x (sin x )

cos x

, 求 y ?.



y? ? y(ln y )? ? y(ln x ? cos x ln sin x )?
? x (sin x )
cos x

(

1 x

? sin x ? ln sin x ?

cos x sin x

2

)

例7

设y ?
2

4x ? 1
2

x ?1
2

,求 y
2

(n)

.

解 y?
1

4x ? 1 x ?1
2

?

4x ? 4 ? 3 x ?1
2
n

? 4?

3

2 x ?1

(

1

?
n

1 x ?1

)

?(

x ?1
(n)

)

(n)

?

( ?1) n! ( x ? 1)
n

n ?1

, (

1 x ?1
?

)

(n)

?

( ?1) n! ( x ? 1)
n ?1

,

?y

?

3 2

( ?1) n![

1 ( x ? 1)
n?1

1 ( x ? 1)
n ?1

].

一、选择题:

测验题


1、函数 f ( x ) 在点x 0 的导数 f ?( x 0 ) 定义为( (A)
f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 )
?x f ( x) ? f ( x0 )



(B) lim (C) lim

x ? x0



x ? x0

(D) lim

?x f ( x) ? f ( x0 )

; ;

x ? x0

x ? x0

2、若函数 y ? f ( x ) 在点x 0 处的导数 f ?( x 0 ) ? 0 ,则 曲线 y ? f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) )处的法线( (A)与 x 轴相平行; (B)与x 轴垂直; (C)与 y 轴相垂直; (D)与x 轴即不平行也不垂直: )

3、若函数 f ( x ) 在点x 0 不连续,则 f ( x ) 在 0 x (A)必不可导; (C)不一定可导; 4、如果 f ( x ) =(
2 2

(

)

(B)必定可导; (D)必无定义. ) ,那么 f ?( x ) ? 0 .

(A) arcsin 2 x ? arccos x ; (B) sec x ? tan x ; 2 2 sin x ? cos (1 ? x ) ; (C)
ax

(D) arctan x ? arc cot x .

?e , x ? 0 5、如果 f ( x ) ? ? 处处可导,那末( 2 ? b(1 ? x ), x ? 0 (A)a ? b ? 1 ; (B)a ? ?2, b ? ?1 ;
(C)a ? 1, b ? 0 ; (D)a ? 0, b ? 1 .



6、已知函数 f ( x ) 具有任意阶导数,且
f ?( x ) ? ? f ( x )? ,则当n 为大于 2 的正整数时,
2

f ( x ) 的 n 阶导数 f (A)n![ f ( x )]
n?1

(n)

( x ) 是(


n?1



(B) n[ f ( x )]



(C) [ f ( x )] ;

(D)n![ f ( x )] . t 7、若函数 x ? x (t ) , y ? y(t ) 对 可导且 x ?( t ) ? 0 ,又 )

2n

2n

dy x ? x (t ) 的反函数存在且可导,则 =( dx y ?( t ) y ?( t ) (A) ; (B)? ; x( t ) x ?( t ) y ?( t ) y( t ) (C) ; (D) . x ?( t ) x ?( t )

dy 8、若函数 f ( x ) 为可微函数,则 (
(A)与?x 无关; (B)为?x 的线性函数; (C)当 ?x ? 0 时为?x 的高阶无穷小; (D)与?x 为等价无穷小.



x x x 9、设函数 y ? f ( x ) 在点 处可导,当自变量 由 0 增 dy 加到 x 0 ? ?x 时,记?y 为 f ( x ) 的增量, 为 f ( x ) 的
0

微分, lim (A)-1; (C)1;

?y ? dy ?x

?x ? 0

等于( (B)0; (D)? .



10、设函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导,且 f ?( x 0 ) ? 0 , 则 lim (A)0; (C)1;
?y ? dy ?x
?x ? 0

等于( ). (B)-1; (D)? .

二、求下列函数的导数: 1、 y ? sin x ln x ;
2

2、 y ? a

cosh x

a ( ?0 ) ;
2

3、 y ? (1 ? x )
2

sec x



4、 y ? ln[cos(10 ? 3 x )];
x ? y
2 2

5、设y 为x 的函数是由方程ln 定的;

? arctan

y x



dy 2 x ? y ? y , u ? ( x 2 ? x ) 2 ,求 6、设 . du

3

三、证明 x ? e sin t , y ? e cos t 满足方程
t
t

( x ? y)

2

d y dx
2

2

? 2( x

dy

? y) .

dx ? g ( x ) ? cos x ,x ? 0 ? 四、已知 f ( x ) ? ? 其中g ( x ) 有二阶连 x ?a , x ? 0 ?

续导数,且 g ( 0) ? 1 , 1、确定 a 的值,使 f ( x ) 在x ? 0 点连续; 2、求 f ?( x ) 五、设 y ? x ln x , 求 f
(n)

(1) .

3 六、计算 9.02 的近似值 .

七、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时,同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过,此桥比船高 200 米,问 3 分钟后人与船相离之速率为多少?

测验题答案
一、1、D; 6、A; 2、B; 7、C;
2

3、A; 8、B; ;
x ;
2

4、D; 9、B;

5、D; 10、A;

二、1、cos x ln x ? 2、ln a sinh xa 3、(1 ? x )
2 sec x

2 sin x

cosh x

[tan x ln(1 ? x ) ?
2

2x 1? x
2

] sec x ;

4、6 x tan(10 ? 3 x ) ; 5、 6、 x? y x? y ; 1 3( 2 y ? 1)( 2 x ? 1) x ? x
2

.

四、1、a ? g ?( 0) ;

? x[ g ?( x ) ? sin x ] ? [ g ( x ) ? cos x ] ,x ? 0 2 ? ? x 2、 f ?( x ) ? ? . ? 1 ( g ??( 0) ? 1), x ? 0 ?2 ? (n) n? 2 (1) ? ( ?1) ( n ? 2)!. 五、 f
六、2.09. 20 ? 8.16 (公里/小时). 七、 6



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