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高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (25)

高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (25)

课时提升作业 二十五
圆的一般方程

(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知圆的方程是 x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是( A.2x-y+1=0 C.2x-y-1=0 B.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 )

【解析】 选 B.把 x2+y2-2x+6y+8=0 配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),代入各 选项,可知直线 2x+y+1=0 过圆心. 【补偿训练】若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心的坐标为( )

A.(1,-1) C.(-1,2)

B. D.

【解析】选 D.将圆的方程(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0 展开得 x2+x-2+y2+2y-8=0, +(y+1)2=

化为标准方程为

,所以圆心的坐标为 )

.

2.方程 x2+y2=a2(a∈R)表示的图形是 ( A.表示点(0,0) B.表示圆 C.a=0,表示点(0,0);a≠0,表示圆 D.不表示任何图形

【解题指南】分类讨论,可分为 a=0 和 a≠0 两种情况讨论.
-1-

【解析】选 C.由题意当 a=0 时,表示点(0,0);当 a≠0 时,符合圆的标准方程,表 示圆. 3.(2018·承德高一检测)圆 2x2+2y2-4ax+12ay+16a2=0(a<0)的周长等于 ( A.2 πa B.-2 D.πa πa )

C.2π a2

【解析】 选 B.由已知得,圆的标准方程为(x-a)2+(y+3a)2=2a2,因为 a<0,所以半径 r=a,所以圆的周长为-2 πa.

4.方程 x2+y2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C(2,3),半径为 3 的圆,则 a,b,c 的值依次 是 ( ) B.-2,6,4 D.2,-6,-4

A.2,6,4 C.2,-6,4

【解析】选 B.由题意可知-a=2, =3,解得 a=-2,b=6,所以 r= =3,解得 c=4.

5.(2018·惠州高一检测)若 Rt△ABC 的斜边的两端点 A,B 的坐标分别为(-3,0) 和(7,0),则直角顶点 C 的轨迹方程为 ( A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25 )

C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25 【解析】选 C.线段 AB 的中点为(2,0),因为△ABC 为直角三角形,C 为直角顶点,

所以 C 到点(2,0)的距离为 |AB|=5,所以点 C(x,y)满足 即(x-2)2+y2=25(y≠0). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
-2-

=5(y≠0),

6.已知点 E(1,0)在圆 x2+y2-4x+2y+5k=0 的外部,则 k 的取值范围是________. 【解析】方程表示圆的条件是(-4)2+22-4×5k>0,即 k<1;点 E 在圆的外部的条件 为 12+02-4×1+2×0+5k>0,解得 k> ,所以 k 的取值范围为 答案: 7.(2018·太原高一检测)已知圆 C:x2+y2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于 直线 l:x-y+2=0 的对称点都在圆 C 上,则 a=________. 【解析】 由题意可得圆 C 的圆心 直线方程得-1答案:-2 8. 已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上的两点,且|AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过 点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. 【 解 析 】 设 圆 心 M 为 (x,y), 由 |AB|=6 知 , 圆 M 的 半 径 r=3, 则 |MC|=3, 即 =3,所以(x-1)2+(y+1)2=9. 答案:(x-1)2+(y+1)2=9 【补偿训练】当动点 P 在圆 x2+y2=2 上运动时,它与定点 A(3,1)连线中点 Q 的轨 迹方程为______________. 【解析】设 Q(x,y),P(a,b),由中点坐标公式得 +2=0,解得 a=-2. 在直线 x-y+2=0 上,将 代入

.

所以 点 P(2x-3,2y-1)满足圆 x2+y2=2 的方程,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2,
-3-

化简得

+

= ,

即为点 Q 的轨迹方程.

答案:

+

=

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.自 A(4,0)引圆 x2+y2=4 的割线 ABC,求弦 BC 中点 P 的轨迹方程. 【解题指南】解答本题可先设出动点 P 的坐标(x,y),然后由圆的几何性质知 OP ⊥BC,再利用斜率之积为-1,求出 P(x,y)满足的方程.也可由圆的几何性质直接 得出动点 P 与定点 M(2,0)的距离恒等于定长 2,然后由圆的定义直接写出 P 点的 轨迹方程. 【解析】方法一:(直接法) 设 P(x,y),连接 OP,则 OP⊥BC,

当 x≠0 时,kOP·kAP=-1,即 · 即 x2+y2-4x=0.①

=-1,

当 x=0 时 ,P 点 坐 标 (0,0) 是 方 程 ① 的 解 , 所 以 BC 中 点 P 的 轨 迹 方 程 为 x2+y2-4x=0(在已知圆内的部分). 方法二:(定义法)

由方法一知 OP⊥AP,取 OA 中点 M,则 M(2,0),直角三角形 OPA 中,|MP|= |OA|=2, 由圆的定义知,P 的轨迹方程是(x-2)2+y2=4(在已知圆内的部分). 【拓展延伸】直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点 M 的坐标(x,y).
-4-

(2)列出点 M 所满足的条件. (3)用坐标表示上述条件,列出方程 f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点. 10.已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示一个圆. (1)求实数 m 的取值范围. (2)求该圆的半径 r 的取值范围. (3)求圆心 C 的轨迹方程. 【解析】(1)要使方程表示圆,则 4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0, 即 4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-36>0, 整理得 7m2-6m-1<0,解得- <m<1. (2)r=

= 所以 0<r≤ .

=

.

(3)设圆心坐标为(x,y),则 消去 m 可得(x-3)2= (y+1). 因为- <m<1,所以 <x<4.
-5-

故圆心 C 的轨迹方程为(x-3)2

= (y+1)

.

(20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.由方程 x2+y2+x+(m-1)y+ m2=0 所确定的圆中,最大面积是 ( A. C.3π π B. π D.不存在

)

【解析】选 B.所给圆的半径为 r= 所以当 m=-1 时,

=

.

半径 r 取最大值

,此时最大面积是 π.

2.若圆 x2+y2-4x+2y+m=0 与 y 轴交于 A,B 两点,且∠ACB=90°(其中 C 为已知圆的 圆心),则实数 m 等于 A.1 B.-3 ( ) C.0 D.2

【解析】选 B.设 A(0,y1),B(0,y2),在圆方程中令 x=0 得 y2+2y+m=0,y1,y2 即为该 方程的两根,由根与系数的关系及判别式得

又由∠ACB=90°,C(2,-1),知 kAC·kBC=-1,

-6-



·

=-1,

即 y1y2+(y1+y2)+1=-4, 代入上面的结果得 m-2+1=-4, 所以 m=-3,符合 m<1 的条件.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2018·衡水高一检测 )已知点 A(1,-2),B(4,0),P(a,1),N(a+1,1), 当四边形 PABN 的周长最小时,过 A,P,N 三点的圆的圆心坐标为________. 【解析】因为 AB,PN 的长为定值, 所以只需求|PA|+|BN|的最小值. 因为 |PA|+|BN|= + , 其几何意义为动

点(a,0)到两定点(1,3)和(3,-1)的距离之和,所以当这三点共线,即 a= 时,其和 取得最小值.此时,线段 PN 的中垂线 x=3,与线段 PA 的中垂线 y+ =点为 答案: 4.若实数 x,y 满足 x2+y2+4x-2y-4=0,则 的最大值是________. ,即所求圆的圆心坐标为 . 的交

【解析】实数 x,y 满足方程 x2+y2+4x-2y-4=0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上 的动点. = ,表示动点(x,y)到原点(0,0)的距离.对方

程进行配方,得(x+2)2+(y-1)2=9,它表示以 C(-2,1)为圆心,3 为半径的圆,而原点 在圆内.连接 CO 交圆于点 M,N,由圆的几何性质可知,MO 的长即为所求的最大
-7-

值,MO=MC+CO=3+

.

答案:3+ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2018·杭州高一检测)等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5), 求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 【解析】设另一端点 C 的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB|. 由两点间距离公式,得 = 整理得(x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点 A(4,2)为圆心,以 为半径的圆,如图所示, ,

又因为 A,B,C 为三角形的三个顶点,所以 A,B,C 三点不 共线.即点 B,C 不能重合且 B,C 不能为圆 A 的一直径的 两个端点. 因为 B,C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5). 又因为 B,C 不能为一直径的两个端点,

所以

≠4,且

≠2,

即点 C 不能为(5,-1).
-8-

故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)),它的轨迹是以 点 A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.

【补偿训练】已知定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作 ?MONP,求点 P 的轨迹方程.

【解析】 如图,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为 坐标为( , ).

,线段 MN 的中点

因为平行四边形的对角线互相平分,

故 = 则有

, =

, 即 N(x+3,y-4).

又点 N 在圆 x2+y2=4 上, 故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此,点 P 的轨迹为圆,其轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,

但应除去两点



.

6.已知圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0,及点 Q(-2,3). (1)P(a,a+1)在圆上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率.
-9-

(2)若 M 为圆 C 上任一点,求|MQ|的最大值和最小值. 【解析】(1)因为点 P(a,a+1)在圆上, 所以 a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, 所以 a=4,P 点坐标为(4,5), 所以|PQ|= kPQ= = . =2 ,

(2)因为圆心 C 坐标为(2,7), 所以|QC|= 圆的半径是 2 所以|MQ|max=4 |MQ|min=4 -2 ,点 Q 在圆外, +2 =2 =6 . , =4 ,

【拓展延伸】数形结合思想求最值: (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (2)研究图形的形状、位置关系、性质等.

- 10 -


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