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简单曲线的极坐标方程-_图文

简单曲线的极坐标方程-_图文

1.3简单曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系
(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ;
(2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点 都在曲线C上。
则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

探究:
如图,半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(?,?)满足 的条件?

O C(a,0)

x

例1、已知圆O的半径为r,建立怎 样的坐标系,可以使圆的极坐标 方程更简单?

题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为2;
?=2
(2)圆心在C(a,0),半径为a;
?=2acos ?
(3)圆心在(a,?/2),半径为a;
?=2asin ?
(4)圆?2心+ 在?0C2 -(2??0,??00 )c,os半( ?径- ?为0r)=。r2

练习2 极坐标方程分别是ρ=cosθ和 ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2

练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为
半径的圆的方程是 C
A.??2cos??????4??? B.??2sin??????4???
C.??2cos???1? D.??2sin???1?

直线的极坐标方程

怎样求曲线的极坐标方程?
答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程f(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授

?

例题1:求过极点,倾角为 的极坐标方程。

4

的射线 M

分析:

如图,所求的射线

?

上任一点的极角都

﹚4

是 ? / 4,其

o

x

极径可以取任意的非负数。故所求

直线的极坐标方程为 ? ? ? (? ? 0)
4

思考:

1、求过极点,倾角为5 ? 的射线的极

坐标方程。

4

易得 ? ? 5 ? (? ? 0)

4
2、求过极点,倾角为 坐标方程。

?

4

的直线的极

? ? ? 或? ? 5?

4

4

和前面的直角坐标系里直线方程

的表示形式比较起来,极坐标系里的

直线表示起来很不方便,要用两条射 线组合而成。原因在哪?
??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为

? ? ? (? ? R)
4



? ? 5 ? (? ? R)
4

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直

于极轴的直线L的极坐标方程。

解:如图,设点M(?,? )

M

为直线L上除点A外的任

?

意一点,连接OM 在 Rt?MOA中有

﹚? o Ax

O M cos? M O A?O A
即 ?cos? ?a
可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图;
2、设点M(?,? )是直线上任意一点;
3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? , ? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0 ) ,直 l

线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直l

线 的极坐标方程。

解:如图,设点M(?,? ) ?

M

为直线 l 上异于的点
连接OM,在?MOA 中有

o

? ﹚? p

x

sin(????)?sin(?a??) 即 显然A点也满
?sin (???)?asin ? 足上方程。

例题3设点P的极坐标为( ?1 ,? 1 ) ,直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线l
的极坐标方程。 M
?
?1 P o ﹚? 1 ﹚? x

解:如图,设点 M(?,? ) 为直线上除
点P外的任意一点,连接OM
则 O M??,? xO M??由点P的极坐标知
OP ? ?1 ?xOP??1
设直线L与极轴交于点A。则在?MOP
?? ??? ? ?? ? ?? 由得? 正s O in 弦M (P 定? ? 理)? ? 1 ss in ,in ? [?(O ??(? P ? ? M ?1 1 ))? ]显也?s然是in? (? 点它?( 1?P的?)? 的解坐1 。) 标

1.小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程
2.直线的几种极坐标方程 1) 过极点 2) 过某个定点,且垂直于极轴 3) 过某个定点,且与极轴成一定
的角度


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