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2011量子力学期末考试题目

2011量子力学期末考试题目


第一章
⒈玻尔的量子化条件,索末菲的量子化条件。 ⒉黑体:能吸收射到其上的全部辐射的物体,这种物体就称为绝对黑体,简称黑体。 ⒎普朗克量子假说: 表述 1:对于一定频率ν的辐射,物体只能以 hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述 2:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以量子的方式进行,每个量子的能量为:ε=h ν。 表述 3:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以能量ε的整数倍来实现,即ε,2ε,3ε,…。 ⒏光电效应:光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点: ①存在临界频率ν0 :只有当光的频率大于一定值 v0 时,才有光电子发射出来。若光频 率小于该值时,则不论光强度多大,照射时间多长,都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关, 与光的强度无关。 光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说: 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量 E= hν的微粒形式出现, 而且以这种形式在空 间以光速 C 传播,这种粒子叫做光量子,或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理: 当光射到金属表面上时,能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收,电子把这能量的一部 分用来克服金属表面对它的吸引,另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点: ①存在临界频率 v0:由上式明显看出,当 hν- W0 ≤0 时,即ν≤ν0 = W0 / h 时,电 子不能脱出金属表面,从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率: 上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关, 而与 光的强度无关。 ⒔康普顿效应:高频率的 X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律: ①散射光中,除了原来 X 光的波长λ外,增加了一个新的波长为λ'的 X 光,且λ' >λ; ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数 h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质,这种性质称为光的波粒二象性

⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。
? ? E = hν = hω ?v v h v ? ? P = n = hk λ ? ? h v 2π v ?h = 2π , k = λ n ?

⒚光谱线:光经过一系列光学透镜及棱镜后,会在底片上留下若干条线,每个线条就是一条 光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。 ⒛线状光谱:原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。 21.标识线状光谱:对于确定的原子,在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的,也就 是说,可以表征原子特征的线状光谱。 22.戴维逊-革末实验证明了什么?

第二章
⒈量子力学中,原子的轨道半径的含义。 ⒉波函数的物理意义:某时刻 t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻 t 该地点(x,y,z) 附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。 按照这种解释, 描写 粒子的波是几率波。 ⒊波函数的特性:波函数乘上一个常数后,并不改变在空间各点找到粒子的几率,即不改变 波函数所描写的状态。 ⒋波函数的归一化条件


∫ Ψ( x, y, z, t ) dτ = 1

2

(2.1 - 7)

⒌态叠加原理:若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1,Ψ2,…Ψn,则这些可能状态的任 意线性组合,也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说,当体系处于态Ψ时,体系部分 地处于态Ψ1,Ψ2,…Ψn 中。 ⒍波函数的标准条件:单值性,有限性和连续性,波函数归一化。 ⒎定态:微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数:描述定态的波函数 称为定态波函数。 。 ⒐定态的性质: ⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。 ⑵粒子几率流密度不随时间 改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。 ⒑本征方程、本征值和本征波函数:在量子力学中,若一个算符作用在一个波函数上,等于 一个常数乘以该波函数, 则称此方程为该算符的本征方程。 常数 fn 为该算符的第 n 个本征值。 波函数ψn 为 fn 相应的本征波函数。

⒒束缚态:在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态:体系能量最低的态。 ⒓宇称:在一维问题中,凡波函数ψ(x)为 x 的偶函数的态称为偶(正)宇称态;凡波函数ψ(x) 为 x 的奇函数的态称为奇(负)宇称态。 ⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x2)/2, ω是常数,这种粒子构成的体系称为线 性谐振子。 线性谐振子的能级为: En = hω(n + 1 ), 2

n = 0,1,2,3,? ? ?

⒕透射系数:透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数:反射波几率流密度与 入射波几率流密度之比。 ⒖隧道效应:粒子在能量 E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。 ⒗求证:在薛定谔方程中
? 2 ? ih ? ψ (r, t ) = ?? h ?2 + V (r )? ψ (r, t ) ?t 2? ? ?

只有当势能 V(r)为实函数时,连续性方程 ? w(r, t ) + ? ? J = 0 才能成立。
?t

⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动,其能量本征值和本征波函数分别为 En, ψn,n=1,2,3,4、…。求证:
+∞ ?∞

∫ ψ m ( x ) ψ n ( x )dx = 0,

m ≠ n

⒙对一维运动的粒子,设 Ψ1(x)和 Ψ2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量 E 的解,求证:

ψ 1( x ) ψ 2 ( x ) ? ψ 2 ( x ) ψ 1( x ) = 常数 ′ ′
⒚一粒子在一维势场
? x<?a ?∞, 2 ? U ( x) = ?0, ? a ≤ x ≤ a 2 2 ? x>a ?∞, 2 ?

中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
? ⒛体系处于ψ(x,t)态,几率密度ρ(x,t)=?几率流密度 j(x,t)=? 证明: ρ = ? ?J 证明: ?t ?x

21.设粒子波函数为ψ(r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。 22.量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?
答: 量子力学的波函数是一种概率波,没有直接可测的物理意义,它的模方表示概率,才有 可测的意义;经典的波场代表一种物理场,有直接可测的物理意义。

23.什么是量子力学中的定态?它有什么特征? 24.设 C( p, t ) 为归一化的动量表象下的波函数,写出 C ( p, t ) dp 的物理意义。 25.设质量为μ粒子处于如下势垒中
?U ? U ( x) = ? 0 ?0 ? x > x0 x ≤ x0 (1)
2

若 U0>0,E>0,求在 x=x0 处的反射系数和透射系数。 26.设质量为μ粒子沿 x 轴正方向射向如下势垒
? ?V U ( x) = ? 0 ?0 ? x > x0 x < x0

若 V0>0,E>0,求在 x=x0 处的反射系数和透射系数。 27.一个粒子的波函数为
? x ?A a , ? (b ? x) ? ψ ( x) = ? A , (b ? a) ? ?0, ? ? 0 ≤ x ≤ a,

a ≤ x ≤ b,
其他, 其他,

A, a, b都是常数。 都是常数。

求:①归一化常数 A;②画出ψ (x) 与 x 关系图,并求粒子出现最大几率的点。③在 0 ≤ x ≤ a 区间找到粒子的几率。在 b = a 和 b = 2a 时的几率。④ x 的平均值。
? ? 28. A2 = I , I 为单位矩阵,则算符 A 的本征值为__________。

29.自由粒子体系,__________守恒;中心力场中运动的粒子___________守恒。 30.力学量算符应满足的两个性质是 。厄密算符的本征函数具有 。

第三章
⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号, 量子力学中的算符是作用在波函数 上的运算符号。

? ? ? ? ? ⒉厄密算符的定义: 如果算符 F 满足下列等式 ∫ψ ?Fφ dx = ∫ Fψ φ dx , 则称 F 为厄密算符。
式中ψ和φ为任意波函数,x 代表所有的变量,积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论:量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 ⒊厄密算符的性质: 厄密算符的本征值必是实数。 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函 数相互正交。 ⒋简并:对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。

( )

简并度:对应于同一个本征值的本征函数的数目。 ⒌氢原子的电离态:氢原子中的电子脱离原子的束缚,成为自由电子的状态。 电离能:电离态与基态能量之差 ⒍氢原子中在半径 r 到 r+dr 的球壳内找到电子的概率是: Wnl (r )dr = R2 (r )r 2dr  nl 在方向(θ,φ)附近立体角 d 内的概率是: wlm (θ , ? )d = Ylm (θ , ? ) d  
? ⒎两函数 ψ1 和 ψ2 正交的条件是:∫ ψ 1 ψ 2dτ = 0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的,
2

则称函数 ψ1 和 ψ2 相互正交。 ⒏正交归一系:满足正交条件的归一化本征函数φk 或φl。
? ⒐厄密算符本征波函数的完全性:如果φn(r)是厄密算符 F 的正交归一本征波函数,λn 是本

征值,则任一波函数ψ(r)可以按φn(r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。
? ⒑算符与力学量的关系:当体系处于算符 F 的本征态φ时,力学量 F 有确定值,这个值就是 ? 算符 F 在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值,而有一系列的可能值,

这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。
? ? ? ? ? ? ⒒算符对易关系: [A , B ] ≡ A B ? B A



? ? ? ? 可对易算符:如果 [A , B ] = 0 ,则称算符 A 与 B 是可对易的; ? ? ? ? 不对易算符:如果 [A , B ] ≠ 0 ,则称算符 A 与 B 是不对易的。

⒓两力学量同时有确定值的条件:
? ? 定理 1:如果两个算符 F 和 G 有一组共同本征函数φn,而且φn 组成完全系,则算符

对易。
? ? 定理 2:如果两个算符 F 和 G 对易,则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。

⒔测不准关系:当两个算符不对易时,它们不能同时有确定值,

2 ( ? F) 2 ? ( ? G) 2 ≥ k 4

⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是:
? ? d F = ? F + 1 ?F , H ? = 0 ? dt ?t ih ? ? ?

量子力学中的能量守恒定律形式是:

? ? ? dH = 1 ?H , H ? = 0 ? dt ih ? ? ?

⒖空间反演:把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如 r→-r)的运算。 宇称算符:表示空间反演运算的算符。 宇称守恒:体系状态的宇称不随时间改变。 ⒗一维谐振子处在基态 ψ( x) = (1) 势能的平均值 U (2) 动能的平均值 T


α ? e π

α2x2 i ? ωt 2 2

,求:

1 = ?ω2 x 2 ; 2

=

p2 ; 2?

(3) 动量的几率分布函数。



0

x 2 ne? α

2

x2

dx =

(2 n ? 1)! π 2 n +1 α 2 n +1

⒘证明下列关系式:
??,p ? = ihδ ? ν? ?ν ? ? ? ,
?? ? ? ? ? ??Lx , L y ? = ihLz ? ?? ?? ? ? ? ? ??L y , Lz ? = ihLx ? ? ? ?? ? ? ? ? ??Lz , Lx ? = ihLy ? ? ?
? ?2 ? ?L , L? ? = 0, ? ? (? = x, y, z)

? ? ?L L ? = 0 (? = x, y, z) ? ?, ? ? , ? ?

综合写成: 综合写成:

? ? ? L × L = ihL

? ?L ? ? = 0, (? = x, y, z) ? ?, ? ? ? ? ? ?L , z? = ihx;      , y? = ?ihx ?L ? y ? ? z ? ? ? ? ?
? ? ?L p ? = 0, ? ?, ? ? ? ? (? = x, y, z)

? ? ?L , y? = ihz; ?L , x? = ?ihz ? x ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ?L , x? = ihy;      , z? = ?ihy  ?L ? z ? ? x ? ? ? ? ?
? ? ?L , p ? = ihp ; ? z ? x y? ? ? ? ? ?L , p ? = ?ihp ? z ? y x? ? ?

? ? ? ?L , p ? = ihp ; ?L ? ?      , p ? = ?ihp ? x x ? y z? ? z y? ? ? ? ?

? ? ? ?L , p ? = ihp ; ?L ? ?      , p ? = ?ihp   ? y y ? z x? ? x z? ? ? ? ?

⒙量子力学中的力学量用什么算符表示?为什么?力学量算符在自身表象中的矩阵是什么 形式? ⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成 有 。 ; 力学量的取值范围就是该算符的所

⒛厄密算符有什么性质?①试证明厄密算符的本征值必是实数。 ②试证明厄密算符的属于不 同本征值的两个本征函数相互正交。 21. 证明算符关系:

? x, p2 f ( x)? = 2ihp f ( x), ? ? x x ? ? ? ?

? x, p f ( x) p ? = ih? f ( x) p + p f ( x) ?, ? ? ? ? ? ? x x? x x ? ? ? ? ?

? ? ? ? p × L + L × p = 2ihp

? ? ? 22. 试证明算符 Lx = ypz ? zp y 是厄密算符。

? ? 23. 写出角动量分量 Lx 和 Ly 之间的对易关系。
? 24. f (x) 是 x 的可微函数,证明: ? px , f ( x)? = ?ih ? ? ? ? ?f ( x) ?x

?? ? ? ? ? 25. A, B 各为厄密算符,试证明: AB 也是厄密算符的条件是 A与 B 对易。

26. 粒子在宽度为 a 的非对称一维无限深势阱中,其本征能量和本征波函数为:
2 2 En = π h 2 n2, n = 1,2,3,? ? ? 2?a

ψ n( x) = 2 sin( nπ x) (0 < x < a)
a a

当体系处于状态 ψ ( x) = Ax(a ? x ) 时(A 是归一化常数) ,证明:
∞ ∞ 4 2 ① ∑ 16 = π ;② ∑ 14 = π 96 960 n n n =1,3,5??? 1,3,5,???

27. 氢原子处在基态ψ (r,θ , ? ) = 1 e? a0 ,求:
πa0

r

(1) r 的平均值; (2) 势能 ? e 的平均值
r
2

(3) 动量的几率分布函数。 28. 一维运动粒子的状态是
ψ ( x) = ?
? ?Axe? λx ?0 ? x≥0 x < 0 其中λ > 0

求: (1) 粒子动量的几率分布函数; (2)粒子的平均动量。
∞ (利用公式 ∫0 x me?αxdx = m! 1 ) α m+

29. 设氢原子处在状态
ψ (r ,θ , ? ) =
5 3

R21(r )Y10(θ , ? ) ? 1 R31(r )Y11(θ , ? ) + 2

3 3

R21(r )Y1?1(θ , ? )

试求氢原子能量、角动量平方及角动量 z 分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力 学量的平均值。 30. 量子力学中,体系的任意态 ψ (x) 可用一组力学量完全集的共同本征态 ψ n(x) 展开:

ψ ( x) = ∑ cnψ n( x) ,写出展开式系数 cn 的表达式。
n

31. 设粒子的波函数为

? b sin bx, x < 2π ? ? 2π b ψ(x)= ? 2π ?0, x≥ ? b ?

A.给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅; B.求出几率最大的动量值。 32. 力学量算符在自身表象中的表示是一个 中的表示通过一个
? ?λ 33. 设一力学量为 F = ? ?? ?

矩阵;同一个力学量算符在不同表象

矩阵相联系。

?? ? ? ,求 F 的本征值和本征函数。 λ? ?

r ?2 ? ? 34. 电 子 在 均 匀 电 场 E = ε , 0, 0 中 运 动 , 哈 密 顿 量 为 H = P ? e ε x , 试 判 断 2?
? ? ? Lx , Ly , Lz 各量中哪些是守恒量,为什么?

(

)

第四章
⒈基底: e1, e2, e3 为线性无关的三个向量, 设 空间内任何向量 v 必是 e1, e2, e3 的线性组合, 则 e1, e2, e3 称为空间的基底。正交规范基底:若基底的向量互相垂直,且每一向量的长度 等于 1,这样的基底叫做正交规范基底。 ⒉希耳伯特空间:如果把本征波函数Φm 看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有 时称为态矢量或态矢的原因),则波函数的集合{φm}构成的一个线性空间。 ⒊表象:量子力学中,态和力学量的具体表示方式。
? ? ? ? ⒋设已知在 L2 和 Lz 的共同表象中,算符 Lx 和 L y 的矩阵分别为
?0 h 2? ? Lx = ?1 2 ? 0 ? 1 0 1 ?0 i 0? ? h 2? ? 1 ?; Ly = ?i 0 2 ? 0? 0 i ? ? 0? ? i? 0? ?

求它们的本征值和归一化的本征函数。

第五章
( ( ⒈ 微扰论:由En0)求出En,由ψ n0)求出ψ n的近似求解方法。

⒉斯塔克效应:在外电场中,原子光谱产生分裂的现象。 ⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 ⒋周期微扰产生跃迁的条件是: ω = ±ω mk 或 ε m = ε k ± h ω ,说明只有当外界微扰含

有频率 ω mk 时,体系才能从 Φ k 态跃迁到 Φ m 态,这时体系吸收或发射的能量是 h ω mk , 这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。 ⒌光的吸收现象: 在光的照射下, 原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的 现象。 ⒍原子的受激辐射(跃迁)现象:在光的照射下,原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出 光的现象。 ⒎原子的自发辐射(跃迁)现象:在无光照射时,处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的 现象。 ⒏自发发射系数 Amk :表示原子在单位时间内,由 εm 能级自发跃迁到 εk 能级,并发射出 能量为 h ω mk 的光子的几率。 ⒐ 受 激 发 射 系 数 Bmk : 作 用 于 原 子 的 光 波 在 ω → ω + d ω 频 率 范 围 内 的 能 量 密 度 是

I (ω )d ω ,则在单位时间内,原子由 εm 能级受激跃迁到能级 εk 、并发射出能量为 hω mk 的
光子的几率是 Bmk I (ω mk ) 。 ⒑吸收系数 Bkm :原子由低能级 εk 跃迁到高能级 εm 、并吸收能量为 hωmk 的光子的几率是

Bkm I (ωmk ) 。
⒒给出跃迁的黄金规则公式,简单说明式中各个因子的含义。 ⒓在 H0 表象中,若哈密顿算符的矩阵形式为:
? E0 0 ? 1 ? 0 H = ?0 E2 ? ? ?a b? ? a ? ? b ? 0? E3 ? ?

0 其中 E10 < E2 < E30 。利用微扰理论求能量至二级近似。

⒔设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E01 及 E02,现在受到微扰的作用。微扰矩阵元为

H12 = H 21 = a, H11 = H 22 = b ; a, b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 ′ ′ ′ ′
⒕质量为μ的粒子处于势能
?0, 0≤ x≤a ? V(x)= ? ?∞, 其他 ?

? 中。假设它又经受微扰 H ′ = λx 2 ,试求基态与第一激发态能量的一级修正。

⒖一粒子在 (0,2a) 的一维无限深势阱中运动,若微扰为
? ?? b, ? H′ = ? ?+ b, ? 0≤ x≤a a ≤ x ≤ 2a

求近似到一级修正的粒子能量。 ⒗一维无限深势阱中的粒子受到微扰 H ′( x ) = kx (k为常数 ) 的作用,求能量的一级修正。
? ? ⒘已知在 H 0 表象中,体系的哈密顿 H 为
? E (0 ) ? 1 ? H = ?0 ? ?0 ? 0
( E 20)

0

0 ? ?a ? ? 0 ? + ?0 ? ( E 30) ? ? a ? ?

0 0 0

a? ? 0? 2a ? ?

( ( ( 其中 a,b 为小量,a 为实数, E10) ≠ E 20) ≠ E 30) ,求近似到二级修正的能量值。

⒙一粒子在一维无限深势阱中运动,若微扰为
? a ?0, 0 ≤ x ≤ 2 ? V ( x) = ?? b, a ≤ x ≤ a 2 ? ?∞, x < 0, x > a ?

b 为小量,求近似到一级修正的粒子能量。 ⒚微扰理论适用的条件和情况。

第七章
⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。 ⒉塞曼效应:在外磁场中,每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。 简单(正常)塞曼效应:无外磁场时的一条光谱线,在磁场中将分裂为三条光谱线。 产生的条件是:当外磁场足够大时,自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。 复杂(反常)塞曼效应:无外磁场时的一条光谱线,在磁场中将分裂为更多条光谱线。 产生的条件是:在弱外磁场中,必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。 ⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量 S:

S = s(s + 1)h , s = s1 + s2,s1 ? s2 = 1 0 ,
所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。 ⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量 L:

L = l(l + 1)h, l = l1 + l2, l1 + l2 ? 1, l1 + l2 ? 2, ? ??, l1 ? l2

对于两个电子,就有几个可能的轨道总角动量。 ⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量 J1:
J1 = l1 + s1, l1 ? s1,s1 = 1 2

每个电子只有两个 J1 值。 ⒍LS 耦合总角动量 J:

J=

j( j + 1)h, j = l + s, l + s ? 1, l + s ? 2, ? ??, l ? s

⒎jj 耦合总角动量 J:

J=

j( j + 1)h, j = j1 + j2 , j1 + j2 ? 1, j1 + j2 ? 2, ? ??, j1 ? j2

⒏价电子:原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。 ⒐内层电子:原子中除价电子外的剩余电子。 ⒑原子实:原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。 ⒒电子组态:价电子所处的各种状态。 ⒓原子态:原子中电子体系的状态。 ⒔原子态符号:用来描述原子状态的符号。 ⒕原子态符号规则:用轨道总量子数 l、自旋总量子数 s 和总角动量量子数 j 表示 ①轨道总量子数 l=0,1,2,·· ·,对应的原子态符号为 S,P,D,F,H,I,K,L,··; · ②原子态符号左上角的数码表示重数,大小为 2s +1,表示能级的个数。 ③原子态符号右下角是 j 值 ,表示能级对应的 j 值 。 形式为: 2s +1S j ,
2s +1

Pj , 2s +1D j ,

2s +1

F j ,? ? ?

⒖光谱的精细结构: 用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线, 会发现每一条光谱线并 不是简单的一条线,而是由二条或三条线组成的结构,这种结构称为光谱的精细结构。 ⒗原子态能级的排序(洪特定则): (1)从同一电子组态形成的、具有相同 L 值的能级中,那重数最高的,即 S 值最大的能级 位置最低; (2)从同一电子组态形成的、具有不同 L 值的能级中,那具有最大 L 值的位置最低。 ⒘辐射跃迁的普用选择定则: 1、选择定则:原子光谱表明,原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间, 这些条件称为选择定则。

2、原子的宇称:如果原子中各电子的 l 量子数相加,得到偶数,则原子处于偶宇称状 态;如果是奇数,则原子处于奇宇称状态。 3、普遍的选择定则:跃迁只能发生在不同宇称的状态间,偶宇称到奇宇称,或奇宇称 到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条,然后按照耦合类型再有以下定则。 ⒙LS 耦合选择定则: ① ?S = 0 ,要求单一态电子只能跃迁到单一态,三重态电子只能跃迁到三重态。 ② ?l = 0, ± 1 ,当 ?l = 0 时,要考虑宇称奇偶性改变的要求。 ③ ?j = 0, ± 1 , j = 0 至 j = 0 的跃迁是禁止的。
jj 耦合选择定则: ① ?j1 ?j2 = 0, ± 1 ② ?j

( )

= 0, ± 1 , j = 0 至 j = 0 的跃迁是禁止的。

⒚全同粒子:质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。 ⒛全同粒子的特性:全同粒子具有不可区分性,只有当全同粒子的波函数完全不重叠时,才 是可以区分的。 21.全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 22.对称波函数:设 qi 表示第 i 个粒子的坐标和自旋,Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。 如果两粒子互换后波函数不变,则 Φ 是 q 的对称波函数。 23.反对称波函数:设 qi 表示第 i 个粒子的坐标和自旋,Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。 如果两粒子互换后波函数变号,则Φ是 q 的反对称波函数。 24.对称性守恒原理:描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的,它们的对 称性不随时间改变。 如果体系在某一时刻处于对称(反对称)的状态, 则它将永远处于对称(反 对称)的状态上。 25.费密子:自旋为 h 或 h 奇数倍的全同粒子。费密子的特点:组成体系的波函数是反对称 2 2 的,服从费密—狄拉克统计。 26.玻色子:自旋为零、 h 或 h 整数倍的全同粒子。玻色子的特点:组成体系的波函数是对称 的,服从玻色—爱因斯坦统计。 27.交换简并:由全同粒子相互交换而产生的简并。 28.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。

29.交换能的出现,是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。 30.交换能 J 与交换密度有关,其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大, 交换能就越大。 31.LS 耦合引起的精细结构分析。如 n=3 能级中,有一个 p 电子和 d 电子所引起的能级差别 (原子态)。 32. 对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时,能级的简并度,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合,能级的简并度。 33. 反常塞曼效应的特点,引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂;光谱线偶数条;分裂 能级间距与能级有关;由于电子具有自旋。) 34. 什么是简单塞曼效应?写出与其相应的哈密顿量。 35. 在简单塞曼效应中,没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条? 36. 写出 Pauli 矩阵和它们的对易关系。 37. 写出两个电子的对称自旋波函数和反对称自旋波函数。 38. 对于全同粒子体系,由于任意交换两个粒子,体系的状态 态只能用 或 波函数表示。 ,所以体系的状

39. 什么是全同性原理和泡利不相容原理?二者是什么关系? 40. 什么是光谱的精细结构?产生精细结构的原因是什么?考虑精细结构后能级的简并度 是多少?
? ? ? ? ? ? 41. 若 S 是电子的自旋算符,求 S x S z S x S y S x = ?

42. 证明: σ xσ yσ z

=i

? 0 1? ? ? ? ? ? 及 S y = h ? 0 - i ? 的本征值和所属的本征函数。 43. 求 S x = h ? ? ? ? ? 2 ?1 0 ? 2 i 0 ? ?
2 44. 若σ ± = σ x ± iσ y , 求σ ±;



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