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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性

高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性


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第3讲
[考纲]

函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

知 识 梳 理
1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数. ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内 的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个 函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

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辨 析 感 悟
1.对奇偶函数的认识及应用 (1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.( ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) (3)(教材习题改编)如果函数 f(x), g(x)为定义域相同的偶函数, 则 F(x)=f(x)+g(x) 是偶函数.( ) (4)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.( )

1 (5)(2013· 山东卷改编)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(- x 1)=-2.( ) (6)(2014· 菏泽模拟改编)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,0) 上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是[-2,2].( ) 2.对函数周期性的理解 (7)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函 数.( ) (8)(2014· 枣庄一模改编)若 y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y= f′(x)既是周期函数又是奇函数.( )

[感悟· 提升] 1.两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原

点对称,若不对称,则该函数一定是非奇非偶函数,如(1); 二是若函数 f(x)是奇函数,则 f(0)不一定存在;若函数 f(x)的定义域包含 0,则必 有 f(0)=0,如(2). 2.三个结论 一是若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对

称;若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称,如(4); 二是若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是以 2a 为周期的函数;若对任

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宜宾市优学堂培训学校 1 意 x∈D 都有 f(x+a)=± (f(x)≠0),则 f(x)也是以 2a 为周期的函数,如(7); f?x? 三是若函数 f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y=f′(x)既是周期函数 又是偶函数,如(8)中因为 y=f(x)是周期函数,设其周期为 T,则有 f(x+T)=f(x), 两边求导,得 f′(x+T)(x+T)′=f′(x),即 f′(x+T)=f′(x),所以导函数是周 期函数, 又因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),两边求导,得 f′(-x)(-x)′ =-f′(-x)=-f′(x),即-f′(-x)=-f′(x),所以 f′(-x)=f′(x),所以导 函数是偶函数.

考点一

函数奇偶性的判断及应用

【例 1】 (1)判断下列函数的奇偶性: 1-x ①f(x)= x2-1+ 1-x2;②f(x)=ln . 1+x (2)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f(lg A.-1 B.0 C.1 D.2 1 )=( 2 ).

规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考 虑定义域; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判 断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数)) 是否成立.
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宜宾市优学堂培训学校 【训练 1】 (1)(2014· 武汉一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0 且 a≠1),若 g(2)=a,则 f(2)=( A.2 17 C. 4 15 B. 4 D.a2 ).

(2)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(- 1)=( ).

A.-3 B.-1 C.1 D.3

考点二

函数的单调性与奇偶性

【例 2】 (1)(2014· 山东实验中学诊断)下列函数中,在其定义域中,既是奇函数 又是减函数的是( 1 A.f(x)= x ).

B.f(x)= -x D.f(x)=-tan x

C.f(x)=2-x-2x

(2)(2013· 辽宁五校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间[0,+∞)上为 ?1? 增函数,且 f?3?=0,则不等式 f(log1x)>0 的解集为( ? ? 8 ?1 ? A.?2,2? ? ? B.(2,+∞) ).

1? ? ?1 ? C.?0,2?∪(2,+∞) D.?2,1?∪(2,+∞) ? ? ? ?

规律方法 对于求值或范围的问题, 一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调 性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若 f(x)为 偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|).

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宜宾市优学堂培训学校 【训练 2】 (2014· 北京 101 中学模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x> 0 时,f(x)=ex+a,若 f(x)在 R 上是单调函数,则实数 a 的最小值是( A.-2 B.-1 C.1 D.2 ).

考点三

函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用

【例 3】 (经典题)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) ).

规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周 期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【训练 3】 (2014· 黄冈中学适应性考试)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1) =-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是________.

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1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域关于原点 对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或 f(-x) =f(x)是定义域上的恒等式. 2. 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性, 有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x) =0? f?-x? =± 1(f(x)≠0). f?x?

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利 用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

营养餐
根据函数的奇偶性求参数值 【典例】 (2011· 辽宁卷)若函数 f(x)= 1 A.2 2 B.3 3 C.4 D.1 x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? ).

[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是:利用函数的奇偶性的定义 转化为 f(-x)=± f(x),从而建立方程,使问题获得解决,但是在解决选择题、填 空题时还显得较麻烦,为了使解题更快,可采用特值法.

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宜宾市优学堂培训学校 【自主体验】 1.(2014· 永康适应性考试)若函数 f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1 为偶函数,则实数 a 的值为( A.1 1 C.1 或-2 ). 1 B.-2 D.0 -2x+b 是奇函数, 2x+1+a

2.(2014· 山东省实验中学诊断)已知定义域为 R 的函数 f(x)= 则 a=________,b=________.

自助餐
基础巩固题组 一、选择题 1.(2013· 广东卷)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中, 奇函数的个数是( A.4 B.3 C.2 ). D.1 sin x 是奇函数,则 a 的值为( ?x+a?2 ).

2.(2013· 温州二模)若函数 f(x)= A.0 B.1 C.2 D.4

3.(2014· 哈尔滨三中模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于 1 ? 2? 直线 x=3对称,则 f?-3?=( ? ? A.0 B.1 C.-1 D.2 ).

4.(2014· 湛江一测)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R,都有 f(x+4) =f(x),若 f(-2)=2,则 f(2 014)等于( A.2 012 B.2 C.2 013 D.-2
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).

宜宾市优学堂培训学校 5.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( A.(1,3) B.(-1,1) ).

C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) 二、填空题 6.(2014· 温岭中学模拟)f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(1-x),则 f(3)= ________. 7.(2013· 青岛二模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x) ?5? 对任意 x∈R 成立,当 x∈(-1,0)时 f(x)=2x,则 f?2?=________. ? ? 8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则 实数 m 的取值范围是________.

三、解答题 9.f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1,求 f(x)的解析式.

10.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数,最小正周期为 2,且 f(1+x)=f(1-x),当 -1≤x≤0 时,f(x)=-x. (1)判定 f(x)的奇偶性; (2)试求出函数 f(x)在区间[-1,2]上的表达式.

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宜宾市优学堂培训学校 能力提升题组 一、选择题 1. (2013· 昆明模拟)已知偶函数 f(x)对?x∈R 都有 f(x-2)=-f(x), 且当 x∈[-1,0] 时 f(x)=2x,则 f(2 013)=( 1 A.1 B.-1 C.2 1 D.-2 ).

2.(2014· 郑州模拟)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)-f(x1)](x2 ? 1? -x1)>0 恒成立, 设 a=f?-2?, b=f(2), c=f(3), 则 a, b, c 的大小关系为( ? ? A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a 二、填空题 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), ?1? 已知当 x∈[0,1]时,f(x)=?2?1-x,则: ? ? ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ?1? ④当 x∈(3,4)时,f(x)=?2?x-3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 三、解答题 4.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7] 上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论. D.a<b<c ).

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