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【素材】第一章第五节 学会转化 掌握垂直

【素材】第一章第五节 学会转化 掌握垂直


学会转化 掌握垂直 高考中对垂直关系的考查一般会有证明线线垂直、线面垂直、面面垂直,证明的方 法是通过转化,下面通过 08 考题说明如何转化。 一、 线线垂直转化为线面垂直 一条直线垂直于一平面,则该直线垂直于该平面的任意一条直线。 例 1 (北京卷) 如图 1, 在三棱锥 P-ABC 中, AC=BC=2, ∠ACB=90°, AP=BP=AB, PC⊥AC。求证:PC⊥AB。 分析:欲证 PC⊥AB,需证 AB 与包含 PC 的平面垂直, 为此需根据题设条件取 AB 的中点 D。 证明:取 AB 中点 D,连结 PD,CD. ∵AP=BP,∴PD⊥AB. ∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面 PCD. ∵PC ? 平面 PCD.∴PC⊥AB. 二、 线面垂直转化为线线垂直 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线则该直线垂直该平面。 例 2 (福建卷)如图 2,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA =PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. 求证:PO⊥平面 ABCD; 分析:欲证 PO⊥平面 ABCD,需证明 PO 垂直于平面 ABCD 内的两条相交直线。 证明: 在△PAD 中 PA=PD, O 为 AD 中点, 所以 PO⊥AD. 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 三、 面面垂直要转化为线线垂直 一条直线垂直于一平面,则过该直线的平面垂直于已知平面,而求直线垂直于平面 还要转化为线线垂直。 B 图 C 2 A P C 图 1 A D B P O D 例 3 (湖南卷)如图 3 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. 求证:平面 PBE⊥平面 PAB。 分析:欲证平面 PBE⊥平面 PAB,需证 BE⊥平面 PAB,为此需证 BE⊥AB 且 PA ⊥BE。 证明:如图 3 所示,连结 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知, △BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD,又 AB ∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥BE.而 P PA ? AB=A,因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE ? 平面 PBE,所以平面 PBE⊥平面 PAB. A B D E C 图 3


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