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最新《指数函数和对数函数》单元测试模拟考核题(含参考答案)

最新《指数函数和对数函数》单元测试模拟考核题(含参考答案)

2019 年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数 (含答案)

学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________

题号 一



三 总分

得分

请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题

第 I 卷(选择题)

1.关于 x 的方程 (x2 ?1)2 ? x2 ?1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的

实根;

③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的

实根; 其中假.命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3(2006)

2.根据统计,一名工作组装第 4 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,C 为常数)。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A

件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是( )

(A)75,25 (B)75,16 (C)60,25

(D)60,16(2011 北京理)

3.函数 f (x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? b 对称。据此可推测,对任意的 2a
非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m? f (x)?2 ? nf (x) ? p ? 0 的解集都不可能是
A. ?1,2? B ?1,4? C ?1, 2,3, 4? D ?1,4,16,64?

4.若函数 f (x) 在 (0, ??) 是减函数,而 f (a x ) 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围是

A. (0,1) B. (0,1) (1, ??) C. (0, ??) D. (1, ??)

5.设 f (x) , g (x) 是定义在R上的函数, h(x) ? f (x) ? g(x) ,则“ f (x) , g (x) 均为偶函

数”是“ h(x) 为偶函数”的(

)(07全国Ⅰ)

A.充要条件

B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

B

6.已知函数

f ?x?为R上的减函数,则满足

f ????

1 x

???? ?

f

?1?
的实数 x 的取值范围是(



A. ??1,1?

B. ?0,1?

C. ??1,0?? ?0,1?

D. ?? ?,?1?? ?1,??? (07福建)
C.

第II卷(非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

7.

sin cos

35 35

? ?

? sin 25? ? cos 25?

?

。(

8.设方程 2ln x ? 7 ? 2x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x ? 2 ? x0 的最大整数解为 ▲ 。

9.设 f (x) ? ex ? e?x , g(x) ? ex ? e?x ,计算 f (1)g(3) ? g(1) f (3) ? g(4) ? _______,

2

2

f (3)g(2) ? g(3) f (2) ? g(5) ? ________,并由此概括出关于函数 f (x) 和 g(x) 的一个等

式,使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是 。

10 . 若 关 于 x 的 不 等 式 x2 ? 9 ? x2 ? 3x ? kx 在 [1,5] 上 恒 成 立 , 则 实 数 k 的 范 围





11.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(21)=0,则不等式 f(log2x)<

0 的解集为 ▲ .

12.某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为 168 元/套,以成本计算,一套盈利 20%,

而另一套亏损 20%,则此商贩盈利情况是

13.若 ?1 ? x ? 2,则函数 y ? (1)x?1 的值域为

;

2

14.已知函数

f

(x)

?

x2 x2

?1 ,则 ?1

f

(2) ?

f

(3) ?

f

(4) ?

f

(5) ?

f

(1) ? 2

f

(1) ? 3

f

1 ( )= 4

15. y ? 3 的值域为______________________ ; x

16.若 f (x) ? 3x ? log3 x ? 2 ,则 f ?1(30) ?

.

17.比较下列各组值的大小;

(1) 0.32 ,20.3 ;

2

2

2

(2) 4.15 ,3.8 5 ,1.9?5 .

18. y ? 3 ? log 4 (x ? 5) 的定义域为 ___________,值域为 ___________.在定义域上,

该函数单调递_______. 19.函数 y ? a x 和 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 的图象关于
20.函数 f ? x? ? 1? x ? x2 ? x3 的零点的个数是
23

对称. .

? ? 21







U

?

R,

A

?

? ?x ?

x 3

? ?

2 x

?

? 0?,
?

B

?

x x2 ? 3x ? 4 ? 0

,则

(CU A) ? B =



22 . 已 知函 数 f (x) ? a ?x ( a ? 0 且 a ? 1) , 且 f (?2) ? f (?3) , 则 a 的 取 值 范围 是
▲.
23.若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2 ,则 m ? . 24.已知 y ? loga (2 ? ax) 在[0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是_________________

25.函数 y ? ln(2 ? x) )的定义域是 ▲ 。
26.函数 y = ex + e?x(e 是自然对数的底数)的值域是 ▲ . 关键字:指数;对勾函数;求值域

27.方程 log2 (x ?1) ? log4 (3 ? x) 的解集为

y

28.函数 f(x)=1? 2 x?1 的值域为

.

29.已知函数

f

(x)

?

a

?

1 ,若 4x ?1

f

(x)

为奇函数,则 a

?

▲ ?1

. O

1

2

x

30.如图,三次函数 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的零点为 ?1,1, 2 ,则该(函第数11的题单图调)减区间为 ▲.

关键字:多项式函数;含多参;求单调区间

31. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行; 依此类推,则第 63 行从左至右的第 5 个数应是 2012.

1

2

3

6

5

4

7

8

9

10

15

14

13

12

11

提 示 : 由 每 行 的 行 号 数 和 这 一 行 的 数 字 的 个 数 相 同 可 求 出 第 63 行 最 左 边 的 数 是
63? (63 ?1) ? 2016 ,所以,从左至右的第 5 个数应是 2016-4=2012. 2

32.函数 f (x) ? 2x ? log 3 x ? 8 的零点有 个.

33.幂函数 f (x) 的图象经过点 (3, 3) ,则 f (x) 的解析式是 ▲

.

34.已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 (2, 1) ,则 f (1) ?



4

2

35.函数 y ? (1)3?2x?x2 的单调递增区间是 3

三、解答题
36.已知函数 f (x) ? ax ? x2 ? x ln a,a ? 1 (1)求证函数 f (x) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)函数 y ?| f (x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (3)对 ?x1, x2 ?[?1,1],| f (x1) ? f (x2 ) |? e ?1恒成立,求 a 的取值范围.

37.已知函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3. (1)求 f(-1)的值; (2)求函数 f(x)的表达式; (3)求证:方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解.
38.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米,/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v(x) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f (x) ? x v(x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)(2011 年高考湖北

卷理科 17)(本小题满分 12 分) 本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
39.某工厂去年新开发的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,固定 成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元的科技成本,并计划以后每年比上一年多投 入 100 万元,预计产量每年递增 10 万只,投入 n 次后,每只产品的固定成本为 g(n)=
nk+1(k 为常数,n∈Z 且 n≥0).若产品销售价 保持不变,第 n 次投入后的年纯利润为 f(n)万元(年纯利润=年收入-年固定成本-年科技成本). (1)求 k 的值,并求出 f(n)的表达式; (2)问从今年起,第几年纯利润最高?最高纯利润为多少万元?

40.如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮 O1 的半径为 2r ( r 为常数),小飞轮 O2

的半径为 r

, O1O2

?

4r

.在大飞轮的边缘上有两个点

A



B

,满足 ?BO1A

?

? 3

,在小飞

轮的边缘上有点 C .设大飞轮逆时针旋转一圈,传动开始时,点 B , C 在水平直线 O1O2 上.

(1)求点 A 到达最高点时 A , C 间的距离; (2)求点 B , C 在传动过程中高度差的最大值.

41.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进
行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用 p

(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km) 的关系为: p ? k (0 ? x ? 8) ,若距离为 1km 3x ? 5
时,测算宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已
知购置修路设备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元,设 f (x) 为建造宿舍与修路费
用之和.
(I)求 f (x) 的表达式;
(II)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f (x) 最小,并求最小值.

42.如图,湛江市市区有过市中心 O 南北走向的解放路,为了解决南徐新城的交通问题, 市政府决定修建两条公路,延伸从市中心 O 出发北偏西 60 方向的健康路至 B 点;在市中

心正南方解放路上选取 A 点,在 A, B 间修建徐新路。

(1)如果在 A 点看市中心 O 和点 B 视角的正弦值为 3 ,求在点 B 处看市中心 O 和点 A 视 5
角的余弦值;
(2)如果 ?AOB区域作为保护区,已知保护区的面积为 15 3km2 , A 点距市中心的距离 4
为 3km ,求南徐新路的长度;
(3)如果设计要求市中心 O 到南徐新路 AB 段的距离为 4km ,且南徐新路 AB 最短,请

你确定两点 A, B 的位置。


徐 新B




健康路 B
西 南徐新 路



O城 正东路 东 解
放 A 南城

43.若关于自变量 x 的函数 y ? log a (2 ? ax) [0,1] 上是减函数,求 a 的取值范围. 44.解下列关于 x 的方程

(1) 4x ? 1 64

(2) 2x ? 9

(3) log 2 x ? 3

(4) log x 8 ? 3

(5) log 5 x 2 ? 2

(6) log x (x 2 ? 2) ? 1

45.已知 f(x)=xlnx,g(x) = ?x2+ax?3。

⑴求函数 f(x)在[t,t+2](t?0)上的最小值;

⑵对 x∈(0,+∞),不等式 2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;

⑶证明对一切

x∈(0,+∞),都有

lnx

?

1 ex

?

2 ex

成立。

46.已知 函数 F(x)= -x3+ax2+b (a,b∈R)。(1)若设函数 y=F(x)的图象上任意两个不同的点的
连线的斜率小于 1,求证:|a|< 3 ;(2)若 x∈[0,1],设函数 y=F(x)的图象上任意一点
处的切线的斜率为 k,试讨论|k|≤1 成立的充要条件。
47.设函数 f (x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f (x) ? 2 ;
(II)若关于 x 的不等 f (x) ? a 2 ? 3a ? 6 在 ?0,5? 恒成立,试求 a 的取值范围.

48.已知函数

f

(x) ? 2x

?

a 2x

.将

y

?

f

(x) 的图象向右平移两个单位,得到

y

?

g(x) 的图

象.

(Ⅰ) 求函数 y ? g(x) 的解析式;

(Ⅱ) 若函数 y ? h(x)与函数 y ? g(x) 的图象关于直线 y ?1对称,求函数 y ? h(x) 的解析
式;
(Ⅲ) 设 F (x) ? 1 f (x) ? h(x),已知 f (x) 的最小值是 m ,且 m ? 2 ? 7, 求实数 a
a 的取值范围.

49. f (t) ? 1? t , g(x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , 17? ).

1? t

12

(Ⅰ)将函数 g(x) 化简成 Asin(?x ??) ? B ( A ? 0 ,? ? 0 ,? ?[0, 2? ) )的形式;

(Ⅱ)求函数 g(x) 的值域.

50.如图所示,一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形 ABEF,它的宽为 1 米。直线 EF 分别交直线 AC、BC 于 M、N,过墙角 D 作 DP⊥AC 于 P, DQ⊥BC 于 Q;
⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 l (用? 表示);
⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米? 2m

N

E

D

Q B

2m

F

l

M

AP

C


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