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2013年高校自主招生文科数学指导与限时训练1

2013年高校自主招生文科数学指导与限时训练1


2013 年高校自主招生数学指导 1
一、关注:近年自主招生的考题知识点分布与能力要求(数学思想方法) 二、关注:近年高考中的探究题与竞赛中的简单探究题 三、注意限时训练的模拟,文科 3 小时完成数学与语文,理科完成数学与物理。
(如数学可以用文科高考综合试卷来训练,练习选择 9-12(4 题,每小题 5 分) ,填空 15-16(2 题, 每小题 4 分) ,解答 17-22(6 题,每题 12 分) ,共 10 题,100 分,用 90 分钟完成。 )

数学限时训练 1
一、选择: 1.函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4 x ? x2 在 ( ??, 2) 上的最小值是 ( ) 2? x
B.1 C.2 D.3 )
P

2.设 A ? [?2, 4) , B ? {x x2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为( A. [?1, 2) ( B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3)

3. 如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为 )

1 A. 7

1 B. ? 7

1 C. 2


1 D. ? 2
A

D

M C B

4. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x

bcosc 恒成立,则 的值等于( a 1 1 A. ? B. 2 2

C. -1

D. 1

二、填空: 5、=设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? {?1, 3, 5, 8} ,则 集合 A ? . 6、在平面直角坐标系内,有四个定点 A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点 P,则 |PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 三、解答: 7、已知 ?ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的 值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1

8、某校高一年级开设研究性学习课程, 1 )班和( 2 )班报名参加的人数分别是 18 和 27 .现用 ( 分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从( 2 )班抽取了 3 名同学.

2

9、如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足 使平面 A EF ? 平面 EFB , 连结 A1 B ,A1 P . AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置, 1 (如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A1 B 中点,求证: PQ ∥平面 A EF ; 1 (Ⅱ)求证: A E ? EP . 1

图1

图2

3

10、已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)ex 的一个极值点. ( a ?R ) (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ? ? 0, 2? 时,证明 : f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e .

4

11、

请说明理由.

5

12、如图,抛物线 y ? ?x2 ? 9 与 x 轴交于两点 A, B ,点 C , D 在抛物线上(点 C 在第一象限) CD , ∥ AB .记 | CD | ? 2 x ,梯形 ABCD 面积为 S . (Ⅰ)求面积 S 以 x 为自变量的函数式; (Ⅱ)若

| CD | ? k ,其中 k 为常数,且 0 ? k ? 1 ,求 S 的最大值. | AB |

6

数学限时训练 1 答案
一、选择: 1.函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4 x ? x2 在 ( ??, 2) 上的最小值是 ( ) 2? x
B.1 C.2 D.3

[解]当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ? 当且仅当

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) ? 2 2? x 2? x 2? x

1 ? 2 ? x 时上式取等号.而此方程有解 x ? 1? (??, 2) , 2? x

因此 f ( x) 在 ( ??, 2) 上的最小值为 2. 2.设 A ? [?2, 4) , B ? {x x2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为( A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) )

[解法一] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 ? 4? , x2 ? ? 4 ? , 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ?4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 .
7 ? 7 [解法二] (特殊值验证法) a ? 3, B ? [?1, 4], B ? A , 令 排除 C, a ? ?1 B ? ?1 ? 1 , 1 ?1 ] 令 , [ 2 2

,B ? A

排除 A、B,故选 D。
2 2 [ 解 法 三 ] ( 根 的 分 布 ) 由 题 意 知 x ? ax ? 4 ? 0 的 两 根 在 A ? [? 2, 4 ) , 令 f ( x) ? x ? ax? 4则 内

a ? ??2 ? 2 ? 4 ? ? f (?2) ? 0 解之得: 0 ? a ? 3 ? f (4) ? 0 ? ?
3. 如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值 为( B ) A.
P

1 7

B. ?

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2

D

M C B

解:如图,在侧面 PAB 内,作 AM⊥PB,垂足为 M。连结 CM、AC,则∠AMC 为二面角

A-PB-C 的 平 面 角 。 不 妨 设 AB=2 , 则 PA ? AC ? 2 2 , 斜 高 为

7 ,故

A

2 ? 7 ? AM ? 2 2 , 由 此 得 CM ? AM ?
cos ?AMC ? AM 2 ? CM 2 ? AC 2 1 ?? 。 2 ? AM ? CM 7
7

7 。 在 △ AMC 2

中 , 由 余 弦 定 理 得

4. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 的值等于( A. ? C ) B.

bcosc a

1 2

1 2

C. -1

D. 1

解:令 c=π ,则对任意的 x∈R,都有 f(x)+f(x-c)=2, 于是取 a ? b ? 由此得

1 ,c=π ,则对任意的 x∈R,af(x)+bf(x-c)=1, 2

b cosc ? ?1 。 a 一般地,由题设可得 f ( x ) ? 13 sin( x ? ? ) ? 1, f ( x ? c) ? 13 sin( x ? ? ? c) ? 1 , π 2 其中 0 ? ? ? 且 tan? ? ,于是 af(x)+bf(x-c)=1 可化为 2 3 13a sin( x ? ? ) ? 13b sin( x ? ? ? c) ? a ? b ? 1 ,即
13a sin( x ? ? ) ? 13b sin( x ? ? ) cos c ? 13b sin c cos( x ? ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 ,所以

13 (a ? b cos c) sin( x ? ? ) ? 13b sin c cos( x ? ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 。

?a ? b cosc ? 0 (1) ? 由已知条件,上式对任意 x∈R 恒成立,故必有 ? b sinc ? 0 ( 2) , ? a ? b ? 1 ? 0 (3) ?
若 b=0,则由(1)知 a=0,显然不满足(3)式,故 b≠0。所以,由(2)知 sinc=0,故 c=2kπ +π 或 c=2kπ (k ∈Z)。 c=2kπ 时, c=1, 当 cos 则(1)、 (3)两式矛盾。 c=2kπ +π (k∈Z), c=-1。 故 cos 由(1)、 (3)知 a ? b ? 所以

1 , 2

b cosc ? ?1 。 a

二、填空: 5、 =设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? {?1, 3, 5, 8}, 若 则集合 A ?

{?3,0, 2,6}



5、提示:在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以 3(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15, 故 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因 此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} 6、在平面直角坐标系内,有四个定点 A(-3,0), B(1,-1), C(0,3), D(-1,3)及一个动点 P ,则 |PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为 3 2 ? 2 5 6、解:如图,设 AC 与 BD 交于 F 点,则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|,|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|, 因此,当动点 P 与 F 点重合时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值 | AC | ? | BD |? 3 2 ? 2 5 。 三、解答: 7 、 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的 值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.
8

解: (I)解? tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B

? 3(1 ? tan A tan B)

? tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? 3 1 ? tan A tan B

……………………5 分

8、某校高一年级开设研究性学习课程, 1 )班和( 2 )班报名参加的人数分别是 18 和 27 .现用 ( 分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从( 2 )班抽取了 3 名同学.

(a1 , a1 ) , (a1, a2 ) , (a1, b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1, b3 ) ,
(a2 , a1 ) , (a2 , a2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (b1, a1 ) , (b1 , a2 ) , (b1, b1 ) , (b1, b2 ) , (b1, b3 ) , (b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b2 , b1 ) , (b2 , b2 ) , (b2 , b3 ) ,

(b3 , a1 ) , (b3, a2 ) , (b3 , b1 ) , (b3 , b2 ) , (b3 , b3 ) ,共 25 种.
2 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:
9

…9 分

(a1, b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1, b3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (b1, a1 ) , (b1 , a2 ) , (b2 , a1 ) , (b2 , a2 ) , (b3 , a1 ) , (b3 , a2 ) ,共 12 种.
………12 分

所以 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 P ?

12 . 25

……12 分

9、如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足 使平面 A EF ? 平面 EFB , 连结 A1 B ,A1 P . AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置, 1 (如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A1 B 中点,求证: PQ ∥平面 A EF ; 1 (Ⅱ)求证: A E ? EP . 1

图1

图2

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A1 E 中点 M ,连结 QM , MF . 在△ A BE 中,Q, M 分别为 A B, A E 的中 1 1 1 点, 所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 因为

1 BE . 2

CF CP 1 ? ? , FA PB 2
1 BE , 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形. 所以 PQ ∥ FM . 又因为 FM ? 平面 A EF ,且 PQ ? 平面 A EF , 1 1
10

…………5 分

所以 PQ ∥平面 A EF . 1 (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 , 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.
?

…………7 分

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD . 所以在图 2 中有 A1 E ? EF . …………9 分

因为平面 A EF ? 平面 EFB ,平面 A EF ? 平面 EFB ? EF , 1 1 所以 A1 E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF , 所以 A1 E ⊥ EP . …………12 分 …………10 分

10、已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)ex 的一个极值点. ( a ?R ) (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ? ? 0, 2? 时,证明 : f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e . (Ⅰ)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)ex , 由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 . 当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)ex ,在 x ? 1 处取得极小值. 所以 a ? 1 . …………5 分 …………2 分 …………4 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e .

…………12 分

11

11、

请说明理由.

bn?1 bn ? ? 2. 2n?1 2n b b 所以 { n } 是首项为 1 =1,公差为 2 的等差数列 . n 21 2 b 所以 n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , 2n

n 所以 bn ? (2 n ? 1) ? 2 .

……………………9 分
n

(Ⅲ)存在常数 ? 使得不等式 (?1) ? ? 1 ?

Tn ? 6 (n ? N * ) 恒成立. Tn?1 ? 6


因为

Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

所以 2Tn ?

12

3 1 1 1 的最大值为 ? ,所以只需 ? ? ? ; ? 2 2n ? 1 2 2 Tn ? 6 (2)当 n 为偶数时, ? ? 1 ? , Tn ?1 ? 6 3 1 所以 ? ? ? , 2 2n ?1 3 1 7 7 所以当 n =2 时, ? 的最小值为 ,所以只需 ? ? ; 2 2n ? 1 6 6 T ?6 1 7 n 由(1) (2)可知存在 ? ? ? ? ,使得不等式 (?1) ? ? 1 ? n (n ? N * ) 恒成立. Tn?1 ? 6 2 6
所以当 n =1 时, ? ……………………12 分 12、如图,抛物线 y ? ?x2 ? 9 与 x 轴交于两点 A, B ,点 C , D 在抛物线上(点 C 在第一象限) CD ∥ ,

AB .记 | CD | ? 2 x ,梯形 ABCD 面积为 S .
(Ⅰ)求面积 S 以 x 为自变量的函数式; (Ⅱ)若

| CD | ? k ,其中 k 为常数,且 0 ? k ? 1 ,求 S 的最大值. | AB |

(Ⅰ)解:依题意,点 C 的横坐标为 x ,点 C 的纵坐标为

yC ? ? x 2 ? 9 .

……1 分

2 点 B 的横坐标 xB 满足方程 ? xB ? 9 ? 0 ,解得 xB ? 3 ,舍去

xB ? ?3 . ……2 分
1 1 (| CD | ? | AB |) ? yC ? (2 x ? 2 ? 3)(? x2 ? 9) ? ( x ? 3)(? x 2 ? 9) . …… 4 分 2 2 由点 C 在第一象限,得 0 ? x ? 3 .
所以 S ? 所以 S 关于 x 的函数式为 S ? ( x ? 3)(?x2 ? 9) , 0 ? x ? 3 .…………5 分

13

① 若 1 ? 3k ,即

1 ? k ? 1 时, f ?( x) 与 f ( x) 的变化情况如下: 3
(0,1)

x
f ?( x) f ( x)

1

(1, 3k )

?


0
极大值

?
↘ …………10 分

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值,且最大值为 f (1) ? 32 . ② 若 1 ? 3k ,即 0 ? k ?

1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 3

所以, f ( x ) 的最大值为 f (3k ) ? 27(1 ? k )(1 ? k 2 ) . 综上,

1 1 ? k ? 1 时, S 的最大值为 32 ; 0 ? k ? 时, S 的最大值为 27(1? k )(1? k 2 ) .…12 分 3 3

14



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