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1.1 映射与函数(2014.9.30)_图文

1.1 映射与函数(2014.9.30)_图文

高等数学
Higher mathematics

任课教师:王丽

15983610735

2014年9月30日

一 什么是高等数学 ?为什么要学习高等数学?

初等数学 — 研究对象为常量,以静止观点研究问题.

高等数学 — 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.
1. 它是重要的基础理论课,为后继课程提供必备的数学工具。 2. 是培养大学生数学素养和理性思维能力的最重要途径。 逻辑思维能力、空间想象能力、正确的运算能力、应 用数学解决实际问题的能力。

二.学什么?

请思考下面一些问题:

1.

s(t ) ? v(t ) ? a(t )

2.曲线上任意一点的切线的斜率 3. 平面上任意曲线所围成的平面图形的面积 4.不规则立体的体积 5.非均匀薄片的质量 6.变力沿曲线做功

课程简介

高等数学研究的主要内容:微积分 高等数学研究的基本方法:极限方法 处理非均匀问题的基本思想:微元法 微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科。

课 程 简 介
应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线 的切线问题,就产生了微分学。 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微 小量无穷积累的问题,就产生了积分学。 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了 微积分。 微积分研究的基本对象就是函数。

“怎样才能学好这门课程?”

首先,理解概念。

数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄 清楚了它是如何定义的、有什么性质,才能真正地 理解一个概念。

“怎样才能学好这门课程?”

其次,掌握定理。
定理是一个正确的命题,分为条件和结论两部分。 对于定理除了要掌握它的条件和结论以外,还要搞 清它的适用范围,做到有的放矢。

“怎样才能学好这门课程?”

第三,在弄懂例题的基础上作适量的习题。 课本上的例题都是很典型的,有助于理解概念和掌 握定理,要注意不同例题的特点和解法,在理解例

题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结---不仅总结方法,也要总结错误。这样,作完之后才 会有所收获,才能举一反三。

“怎样才能学好这门课程?”

第四,理清脉络。 要对所学的知识有个整体的把握,及时总结知识体 系,这样不仅可以加深对知识的理解,还会对进一 步的学习有所帮助。

三.怎样学?

预习——听课、作笔记——复习(看书、做作业)

四.要求

提前做好预习

遵守课堂纪律 搞好课后复习
按时完成作业

学习遇到困难怎么办?

借鉴周围同学的学习方法. 尝试研究性的学习方法:

提出问题、研究问题、解决问题. 注重持续性学习:
有计划地安排学习.

课程考核

成绩评定:

平时:30%,期中: 10%,期末:60%.

课程主要内容 第一章 第二章 函数与极限 导数与微分

第三章
第四章

微分中值定理与导数的应用
不定积分

第五章
第六章

定积分
定积分的应用

课程主要内容

第七章 第八章
第九章 第十章

微分方程 空间解析几何与向量代数
多元函数微分法及其应用 重积分

第十一章
第十二章

曲线积分与曲面积分
无穷级数

第一章 函数与极限
§1.1 映射与函数
§1.3 函数的极限

§1.2 数列的极限 §1.4 无穷小与无穷大

§1.5 极限运算法则
§1.6 极限存在准则 两个重要极限 §1.7 无穷小的比较 §1.8 函数的连续性与间断点 §1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10 闭区间上连续函数的性质

§1.1 映射与函数

一、

集合

1. 集合概念(略) 2. 集合的运算(略) 3. 区间和邻域

区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 设a,b∈R,且a<b,
开区间 闭区间 半开区间

( a , b ) ? { x | a ? x ? b}

[a , b] ? { x | a ? x ? b}

( a , b] ? { x | a ? x ? b}
和 [a , b ) ? { x | a ? x ? b}

称b-a为这些区间的长度. 称a,b为区间的端点,
以上这些区间都称为有限区间.

(a , b)
O a

[a , b ]

b

O

a

b

无限区间
引进记号: +∞ -∞ ∞

(读作正无穷大) (读作负无穷大) (读作无穷大)

[a ,??) ? { x | x ? a }
( ??, b) ? { x | x ? b} ( ??,??) ? { x | x ? R}
[a ,??]

(a ,??) ? { x | x ? a }
( ??, b] ? { x | x ? b}
(??, b]

O a

O

b

用数轴可以表示区间,区间常用 I 表示.

邻域:

设a与? 是两个实数 , 且? ? 0.

数集{x x ? a ? ? }称为点a的? 邻域,

点a叫做这邻域的中心, ? 叫做这邻域的半径.

U (a, ? ) ? {x a ? ? ? x ? a ? ? }.
? a?? ?

a

a??

x

点a的去心的? 邻域,记作U (a, ? ).
U (a, ? ) ? {x 0 ? x ? a ? ? }.

二、映射(略) 三、函数

3.1 函数概念
定义:设

定义域

x、y 是两个变量,D 是一个非空的数集, 如果

对于每个 x ? D, 变量

y 按照一定法则,都有唯一 确定的值与之对应,则 称 y 是 x 的函数,记作

y ? f ( x)
称为函数的值域。

因变量

自变量

全体函数值组成的数集 R f ? f ( D ) ? { y y ? f ( x ), x ? D}

3.2 函数的表示法
常用的函数表示法有三种:表格法、图像法和解析法.
根据函数的解析表达式的形式不同,函数也可分为:

1.显函数

若函数 y 由自变量 x 的解析表达式直接表示.则

函数 y 称为显函数. 形如 y ? f ( x ).例如, y ? x 2 ? 3.
2.隐函数 有些函数,自变量 x 与因变量 y 的对应关系不一

定能直接表示,而是由方程 F ( x, y ) ? 0来确定,这样的函数称 为隐函数. 例如, ln( x ? y) ? sin x .
3.分段函数 有些函数,在定义域的不同部分用不同的解析 式表示,这样的函数称为分段函数.

例1
? 1 0? x?1 设f ( x ) ? ? , 求函数 f ( x ? 3)的定义域. ?? 2 1 ? x ? 2
? 1 0? x?1 解:? f ( x ) ? ? ?? 2 1 ? x ? 2

? 1 0? x?3?1 ? f ( x ? 3) ? ? ?? 2 1 ? x ? 3 ? 2
? 1 ? 3 ? x ? ?2 ?? ? ? 2 ? 2 ? x ? ?1

故 X : [?3,?1].

? 2 x , 0 ? x ?1 例2 已知函数 y ? f ( x) ? ? ?1 ? x , x ? 1
1 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 及 f ( 2 t

解:

f (1 )?2 2

1 2

?

2

1 1? , 0 ? t ? 1 t 1 f (t ) ? 2 t ?1 , t 定义域 D ? [0 , ? ?)
值 域 f ( D ) ? [0 , ? ?)

t ? 0时
函数无定义

3.3 函数的几种特性
1. 函数的有界性:

设D是f ( x )的定义域 , 若?M ? 0, ?x ? D, 有 f ( x ) ? M ,
则称函数f ( x )在D上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o x D o -M

y
M

x0
D 无界

x

-M

有界

注意:
1). 有界函数必有上界和下界. 2). 既有上界又有下界的函数必是有界函数. 3). 有界函数的图形完全落在两条平行于x 轴的直线之间.

【例如】函数y ? sin x在( ??, ??) 内是有界的,因为对任何

实数 x , 恒有 sin x ? 1。

2. 函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D,区间I ? D,

如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 ? x2时,
恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ),
则称函数 f ( x)在区间 I 上是单调增加(减少)的;
y
y ? f ( x)

y
f ( x2 )

y ? f ( x)

f ( x1 )
f ( x2 )

f ( x1 )

I I 单调增加函数的图形是沿x 轴正向逐渐上升的;
单调减少函数的图形是沿x 轴正向逐渐下降的.

o

x

o

x

3. 函数的奇偶性:

设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有 f (? x) ? f ( x),

称 f ( x)为偶函数.
y

y ? f ( x)

f (? x )
-x o x

f ( x)
x

偶函数

偶函数的图形对称于 y 轴

设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有 f (? x) ? ? f ( x),

称 f ( x)为奇函数.
y

y ? f ( x)

f ( x)
-x
f (? x )

o

x

x

奇函数

奇函数的图形对称于原点

4. 函数的周期性:

设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的数l , 使得对于任一x ? D,( x ? l ) ? D.且f ( x ? l ) ? f ( x)恒成立,

则称f ( x)为周期函数, l称为f ( x)的周期.
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期).

?

3l 2

?

l 2

l 2

3l 2

在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数,此最小数称为最小正周期.

注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数

f ( x) ? C

狄利克雷函数

1, 0,

x 为有理数 x 为无理数

3.4 反函数与复合函数
反函数:设有函数y =f (x)(x?X),其值域Y = f (X).若对于Y 中每一个y值, 都可由方程f (x)= y确定唯一的x值:
x=?(y), 称为y=f (x)的反函数,记作x = f -1(y), 读“f 逆” 。
y

函数 y ? f ( x )
y0

y

反函数 x ? ?( y )

y0

W

W

o

x0

x

o

x0

x

D
习惯上, 反函数 写成 y = f ?1(x).

D

?1 相对于反函数 y ? f ( x ), 原来的函数y=f (x)称为直接函数.

y 反函数y ? ?( x )

Q ( b, a )

o

直接函数y ? f ( x ) P (a , b)
x

直接函数与反函数的图形关于直线 y ? x 对称. 反函数存在定理:
单调函数 f 必存在单调的反函数, 且具有与 f 相同的单调性.

? ? x2 ? 1 x ? 0 的反函数 . 例3 求 f ( x ) ? ? ? x?0 ? x?1

解: 当x ?0时, y ?1,

y ? x2 ? 1 ? x ?

y2 ? 1

当x <0时, y < 1, x = y -1,

? ? x 2 ? 1, x ? 1 综 上, 得 反 函 数y ? ? . ? x?1 ? x ? 1,

复合函数:
代入法

设 y ? u, u ? 1 ? x 2 ,

y ? 1? x

2

设函数 y ? f (u ) 的定义域为 D f ,函数u ? g ( x)的值域 为 Rg : 如果Rg ? D f , 则称y ? f [ g ( x)]为复合函数. x 称为自变量 , y 称为因变量 , u 称为中间变量 .
函数g与函数f 构成的复合函数通常记为

f ? g.

( f ? g )( x ) ? f [ g( x )]

注: ?不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;

例如 y ? arcsin u, u ? 2 ? x 2 ;

y ? arcsin( 2 ? x 2 )
?复合函数分解成简单函数:
x 例如 y ? cot , 2

y ? u,

x u ? cot v , v ? . 2

?3x ? 1 , x ? 1 求 f [ f ( x)]. , 例4. 设函数 f ( x) ? ? x ?1 ?x , x 换为 f (x) 解:
? 3 f ( x) ? 1 , f ( x) ? 1 f [ f ( x)] ? ? f ( x) ? 1 ? f ( x) ,

x?0
3(3x ? 1) ? 1

9x ? 4 , x ? 0

?

3x ? 1 , 0 ? x ? 1 x, x ?1

3x ? 1 , x ? 1 ? , 求 f [ f ( x)] . 题1. 设函数 f ( x) ? ? x ?1 ?x,
解:

x ? 1, f ( x) ? 3x ? 1 ? 4;

x ? 1, f ( x) ? x ? 1;

当1 ? 3x ? 1 ? 4,即0 ? x ? 1时, f [ f ( x)] ? f (3x ? 1) ? 3x ? 1; 当3x ? 1 ? 1,即x ? 0时, f [ f ( x)] ? f (3x ? 1) ? 3(3x ? 1) ? 1; 当x ? 1时, f [ f ( x)] ? f ( x) ? x;

? ? f [ f ( x)] ? ? 3x ? 1 , ? ? x,

9x ? 4 , x ? 0

0 ? x ?1
x ?1

1 思考 设 ?x ? 0 ,函数值 f ( ) ? x ? 1 ? x 2 , x 求函数 y ? f ( x ) ( x ? 0) 的解析表达式.
解:

1 设 ?u x
2 则 f ?u ? ? 1 ? 1 ? 12 ? 1 ? 1 ? u , u u u

1 ? 1 ? x2 故 f ( x) ? . ( x ? 0) x

3.5 初等函数 基本初等函数

1.常数函数y ? c

y
c

0

x

? y ? x 2. 幂函数

(?是常数)
?

定义域随?而异,但不论?为何值,x 在(0,+?) 内总有定义, 而且图形过(1,1)点.

y
y ? x2
1
(1,1)

y? x
y? x

o
1 y? x

1

x

3. 指数函数 y ? a

x

(a ? 0, a ? 1)

y ? ex

1 x y?( ) a

y ? ax

(a ? 1)
? (0,1)

定义域为(-∞, +∞), 值域为(0,+∞),都通过(0,1)点 .

4. 对数函数

y ? loga x (a ? 0, a ? 1)

y ? ln x

y ? log a x
?
(1,0)

(a ? 1)

y ? log 1 x
a

定义域为(0, +∞), 都通过(1, 0)点.

5. 三角函数 正弦函数 y ? sin x 余弦函数

y ? cos x

y
1

y ? cos x

y ? sin x
0
?1
? 2

??

?

?
2

?

x

定义域均为(-∞, +∞), 周期为 2? .

正切函数

y ? tan x

y ? tan x

o

y ? tan x的定义域为x ? (2n ? 1 ) . 2

?

余切函数

y ? cot x

y ? cot x
o

y ? cot x的定义域为x ? n? .

6.反三角函数

y
? 2

y ? arcsin x

?

定义域为 [?11] ,, ? ? ?? 值域为 ? ? , ? . ? 2 2?

0

x

? ?2
??

y ? arccos x
定义域为 [?11] ,, 值域为 ?0,? ?

y
?
? 2

0

x
??

? ?2

y ? arctan x
定义域为 ? ?? , ? ?, ? ? ?? 值域为 ? ? , ? ? 2 2?
? 2
?

y

?
0

?
2

x

??

y ? arc cot x
定义域为 ?? ? , ? ?, 值域为 ?0 , ? ? 。
?

y
2?
? 2

0
?

x
2

?

??

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角
函数和反三角函数统称为基本初等函数。 由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复 合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数, 否则称为非初等函数 。 例:

y ? a0 ? a1 x ? ?? an x 为初等函数
n

y ? a0 ? a1x ? ?? an x ? ? 不是初等函数
n

y ? e ? sin x ? 1
x 2

为初等函数

? x x?0 y?? ?x ? 1 x ? 0

不是初等函数

非初等函数典例: 1)绝对值函数

y

? x, x?0 【例如】 y ? x ? ? ?? x , x ? 0
2) 符号函数

0
y 1 o -1

x

? 1 当x ? 0 ? y ? sgn x ? ? 0 当x ? 0 ? ? 1 当x ? 0 ?
符号函数的定义域是实数集, 值域{-1, 0, 1}

x

?x ? R, 有x ? sgn x x .

3) 取整函数 y = [x]
[x] 表示不超过 x 的最大整数
y
4321

5 [ ] ? 0, 7 [?1] ? ?1,

[ 3] ? 1, [?3.5] ? ?4

-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 阶梯曲线

x , ?1 ? x ? 0 练习. 求 y ? ln x , 0 ? x ? 1 的反函数及其定义域 . y 2 e x ?1 , 1 ? x ? 2 2e 2 解 : 当 ? 1 ? x ? 0 时 , y ? x ? ( 0 , 1] , 则 x ? ? y , y ? ( 0 , 1] 当 0 ? x ? 1 时, y ? ln x ? ( ? ? , 0 ] , 2 y 1 则 x ? e , y ?( ? ?, 0] 当 1 ? x ? 2 时, y ? 2 e x ?1? ( 2 , 2 e ] , ? 1O 1 2 x y 则 x ? 1 ? ln 2 , y ? ( 2 , 2 e ]
反函数 y ? 定义域为

2

( ? ? , 1] ? ( 2 , 2 e ]

课后练习

3x ? 1 , x ? 1 ? , 求 f [ f ( x)] . 题1. 设函数 f ( x) ? ? x ?1 ?x,

题2. 设

其中




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