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函数零点易错题、三角函数重难点(教师版),DOC

函数零点易错题、三角函数重难点(教师版),DOC

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函数零点易错题

三角函数重难点 教师版

函数的零点是函数图象的一个重要的特征,同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容, 在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用,因此要重视对函数零点的学习.下面就函数的 零点判定中的几个误区进行剖析,希望对大家有所帮助. 1. 因"望文生义"而致误

例1.函数 f (x) ? x2 ? 3x ? 2 的零点是

()

A. ?1,0? B. ?2,0? C. ?1,0?, ?2,0? D.1,2
错解:C 错解剖析:错误的原因是没有理解零点的概念,"望文生义",认为零点就是一个点.而函数
的零点是一个实数,即使 f ?x? ? 0 成立的实数 x ,也是函数 y ? f ?x?的图象与 x 轴交点的横坐标.

正解:由 f ?x? ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 得, x =1和2,所以选D.

点拨:求函数的零点有两个方法,⑴代数法:求方程 f ?x? ? 0 的实数根,⑵几何法:由公式不
能直接求得,可以将它与函数的图象联系起来,函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 即使所求. 2. 因函数的图象不连续而致误
例2.函数 f ?x? ? x ? 1 的零点个数为 ( )
x A.0 B.1 C.2 D.3
错解:因为 f (?1) ? ?2 , f ?1? ? 2 ,所以 f ??1? f ?1? ? 0 ,函数 y ? f ?x?有一个零点,选B.
错解剖析:分析函数的有关问题首先考虑定义域,其次考虑函数 f ?x? ? x ? 1 的图象是不是连续
x 的,这里的函数图像是不连续的,所以不能用零点判定定理.
正解:函数的定义域为 ?? ?,0?? ?0,???,当 x ? 0时, f ?x? ? 0 ,当 x ? 0时, f ?x? ? 0 所以函数
没有零点.也可由 x ? 1 ? 0 得 x2 ? 1 ? 0 方程无实数解. x
点拨:对函数零点个数的判定,可以利用零点存在性定理来判定,涉及多个零点的往往借助于
函数的单调性.若函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b?上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符

号相反,即 f ?a? f ?b? ? 0 ,则在区间 ?a,b?内,函数 f ?x? 至少有一个零点,即相应的方程 f ?x? ? 0

在区间 ?a,b?至少有一个实数解.然而对于函数的 f ?x? ,若满足 f ?a? f ?b? ? 0 ,则 f ?x? 在区间?a,b?

内不一定有零点;反之, f ?x? 在区间 ?a,b?内有零点也不一定有 f ?a? f ?b? ? 0 .前者是因为图象
不连续,后者是因为方程有重根.如下图所示: 3. 因函数值同号而致误
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例3.判定函数 f ?x? ? 2x ? 3 在区间 ??1,1?内是否有零点. 错解:因为 f ??1? ? f ?1? ? ?1 ,所以 f ??1? f ?1? ? 0 ,函数 f ?x? ? 2x ? 3 在区间 ??1,1?内没有零点. 错解剖析:上述做法错误地用了函数零点判定定理,因为函数 f ?x? 在区间 ?a,b?上的函数图像是 连续曲线,且 f ?a? f ?b? ? 0 ,也可能在 ?a,b?内有零点.如函数 g?x? ? 2x ?1在区间 ??1,1?上有 g??1?g?1? ? 0,但在 ??1,1?内有零点 x ? ? 1 .
2
正解:当 x ? ??1,1?时, f ?x? ? 2x ? 3 ? ?1,函数 y ? f ?x?在 ??1,1?上的图象与 x 轴没有交点,即 函数 f ?x? ? 2x ? 3 在区间 ??1,1?内没有零点.
法二:由 2x ? 3 ? 0 得 x ? ? 3 ? ??1,1?,故函数 f ?x? ? 2x ? 3 在区间 ??1,1?内没有零点.
2 点拨:对有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号.如 函数 y ? (x ?1)2 有零点1,(如上图)但函数值没变号.对函数零点的判定一定要抓住两点:
①函数 y ? f ?x?在区间 ?a,b?上的图象是连续曲线,②在区间端点的函数值符号相反,即 f ?a? f ?b? ? 0 .
4. 因忽略区间端点而致误
例4.已知二次函数 f ?x? ? x2 ? (m ?1)x ? 2m 在 ?0,1?上有且只有一个零点,求实数 m 的取值范围. 错解:由函数的零点的性质得 f ?0? f ?1? ? 0 ,即 2m?m ? 2? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 0 . 所以实数 m 的取值范围为 ?? 2,0?. 错解剖析:错解的原因是只注意到函数零点的应用,而忽略问题的其它形式:①在 ?0,1?上有二
重根;②终点的函数值可能为0.
正解:⑴当方程 x2 ? (m ?1)x ? 2m ? 0 在 ?0,1?上有两个相等实根时, ? ? ?m ?1?2 ? 8m ? 0 且 0 ? m ?1 ? 1,此时无解.
2 ⑵当方程 x2 ? (m ?1)x ? 2m ? 0 有两个不相等的实根时,
① 有且只有一根在 ?0,1?上时,有 f ?0? f ?1? ? 0 ,即 2m?m ? 2? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 0 ②当 f ?0? ? 0 时, m =0, f ?x? ? x2 ? x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1 ,合题意. ③当 f ?1? ? 0 时, m ? ?2 ,方程可化为 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 合题意.
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综上所述,实数 m 的取值范围为 ?? 2,0?.
点拨:在求参数时,要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合,进行分类讨论使 复杂的问题简单化.
本文已在《学苑新报》上发表
方程的根与函数的零点

1.函数 f (x) ? ?x2 ? 4x ?1的零点为(



A、 ?1? 2 2

B、 ?1? 6 2

C、 ?1? 6 2

D、不存在

2.函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 2x 的零点个数为( )

A、0

B、1

C、2

D、3

3. 函数 f (x) ? ln x ? 2x ? 6 的零点一定位于区间( ).

A. (1, 2)

B. (2 , 3)

C. (3, 4)

D. (4, 5)

1.C 2.D

3.易知函数 f (x) 在定义域 (0, ??) 内是增函数.

∵ f (1) ? ln1? 2 ? 6 ? ?4 ? 0 , f (2) ? ln 2 ? 4 ? 6 ? ln 2 ? 2 ? 0 , f (3) ? ln 3 ? 6 ? 6 ? ln 3 ? 0 .

∴ f (2) f (3) ? 0 ,即函数 f (x) 的零点在区间(2,3). 所以选 B.

4. 求证方程 3x ? 2 ? x 在 (0,1) 内必有一个实数根.
x ?1

4. 证明:设函数 f (x) ? 3x ? 2 ? x . 由函数的单调性定义,可以证出函数 f (x) 在 (?1, ??) 是减函数.
x ?1

而 f (0) ? 30 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (1) ? 31 ? 1 ? 5 ? 0 ,即 f (0) f (1) ? 0 ,说明函数 f (x) 在区间 (0,1) 内有零点,且只有 22

一个. 所以方程 3x ? 2 ? x 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1
点评:等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想,它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题,每个问题

3x ? 2 ? x 的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程 x ?1 的实根个数.

5. (1)若方程 2ax2 ?1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是

.

(2)已知函数 f (x) ? 3mx ? 4 ,若在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f (x0 ) ? 0 ,则实数 m 的取值范围是

.

5. 解:(1)设函数 f (x) ? 2ax2 ?1 ,由题意可知,函数 f (x) 在 (0,1) 内恰有一个零点.
∴ f (0) f (1) ? ?1? (2a ?1) ? 0, 解得 a ? 1 . 2
(2)∵在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f (x0 ) ? 0 , 则 f (?2) f (0) ? 0 , ∴ (?6m ? 4) ? (?4) ? 0 ,解得 m ? ? 2 .
3 所以, 实数 m 的取值范围是 (??, ? 2] .
3
6. 已知关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数 m 的取值范

围.

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件是

? 35 ? m ? ?1

解得 4



7. 已知函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 分别满足下列条件,求实数 a 的取值范围.

(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点. 7. 因为函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 的零点个数不易讨论,所以可转化为方程 |x2-2x-3|-a=0 根的个数来讨论,即转化为方程|x2-2x-3|=a 的根的个数 转化为函数 f(x)=|x2-2x-3|与函数 f(x)=a 交点个数问题.
解:设 f(x)=|x2-2x-3|和 f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图 3-1-1-5),它们交点的个数,即函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 的零点个数.

问题,再

(1)若函数有两个零点,则 a=0 或 a>4.

(2)若函数有三个零点,则 a=4.

(3)函数有四个零点,则 0<a<4. 8. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有三个零点,分别是 0、1、2,如图所示,求证:b<0.

8.证:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.

所以 a= ? b ,c= ? 2 b.所以 f(x)= ? b x(x2-3x+2)= ? b x(x-1)(x-2).

3

3

3

3

当 x<0 时,f(x)<0,所以 b<0.

证法二:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)(x-2).

当 x>2 时,f(x)>0,所以 a>0.比较同次项系数,得 b=-3a.所以 b<0.

三角函数的主要考点是:三角函数的概念和性质(单调性,周期性,奇偶性,最值),三角函

数的图象,三角恒等变换(主要是求值),三角函数模型的应用,正余弦定理及其应用,平面向量

的基本问题及其应用.

题型 1 三角函数的最值:最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法是利用正余弦函

数的有界性,通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题.

例 1 若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值是( )

A. ?1

B. 2

C. ? 1 ? 2 2

D. 1 ? 2 2

分析:三角形的最小内角是不大于 ? 的,而 ?sin x ? cos x?2 ?1? 2sin x cos x ,换元解决.
3

解析:由 0 ? x ? ? ,令 t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? ), 而 ? ? x ? ? ? 7 ? ,得1 ? t ? 2 .

3

44

4 12

又 t2 ? 1? 2sin x cos x ,得 sin x cos x ? t2 ?1 , 2

得 y ? t ? t2 ?1 ? 1 (t ?1)2 ?1,有1? 0 ? y ? 2 ? ( 2)2 ?1 ? 2 ? 1 .选择答案 D.

22

2

2

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欢迎阅读 点评:涉及到 sin x ? cos x 与 sin x cos x 的问题时,通常用换元解决.

解法二: y ? sin x ? cos x ? sin x cos x ?

2

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

1 2

sin

2x





x

?

? 4

时,

ymax

?

2 ? 1 ,选 D。 2

例 2.已知函数 f (x) ? 2a sin x cos x ? 2b cos2 x .,且 f (0) ? 8, f (? ) ? 12 . 6

(1)求实数 a , b 的值;(2)求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时 x 的值.

分析:待定系数求 a , b ;然后用倍角公式和降幂公式转化问题.

解析:函数 f (x) 可化为 f (x) ? a sin 2x ? b cos 2x ? b .

(1)由 f (0) ?8 , f (? ) ? 12 可得 f (0) ? 2b ? 8 , f (? ) ? 3 a ? 3 b ? 12 ,所以 b ? 4 ,a ? 4 3 .

6

62 2

(2) f (x) ? 4 3 sin 2x ? 4cos 2x ? 4 ? 8sin(2x ? ? ) ? 4 , 6

故当 2x ? ? ? 2k? ? ? 即 x ? k? ? ? (k ? Z ) 时,函数 f ? x? 取得最大值为12 .

6

2

6

点评:结论 a sin? ? b cos? ? a2 ? b2 sin ?? ?? ? 是三角函数中的一个重要公式,它在解决三角

函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用,是实现转化的 工具,是联系三角函数问题间的一条纽带,是三角函数部分高考命题的重点内容. 题型 2 三角函数的图象:三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质,一直是高考所重点 考查的问题之一.



3.(2009

年福建省理科数学高考样卷第

8

题)为得到函数

y

?

cos

? ??

2x

?

π 3

? ??

的图象,只需将

函数 y ? sin 2x 的图象

A.向左平移 5π 个长度单位 12

B.向右平移 5π 个长度单位 12

C.向左平移 5π 个长度单位 6

D.向右平移 5π 个长度单位 6

分析:先统一函数名称,在根据平移的法则解决.

解析:函数

y

?

cos

? ??

2

x

?

π 3

? ??

?

sin

? ??

2x

?

? 3

?

? 2

? ??

?

sin

? ??

2x

?

5? 6

? ??

?

sin

2

? ??

x

?

5? 12

? ??

,故要将函数

y ? sin 2x 的图象向左平移 5π 个长度单位,选择答案 A. 12

y

y

y

?

2

欢2迎-阅读?

2-

o
? ?2 - ?

o ? ? 3? x o ? ? 3? x

2

2

2

2

y

3?

?

?2

2

xo

?2 -

例4

(2008

高考江

3?

西文

? 2 x 10)函

?

A

B

C

D

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数 y ? tan x ? sin x ? tan x ?sin x 在区间 (? , 3? ) 内的图象是 22
分析:分段去绝对值后,结合选择支分析判断.

解析:函数

y

?

tan

x ? sin

x

?

tan

x

? sin

x

?

?2 tan x, ??2sin x,

当tan x 当tan x

? sin x时.结合选择支和一些特殊点, ? sin x时

选择答案 D. 点评:本题综合考察三角函数的图象和性质,当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确 时,就会解错这个题目. 题型 3 用三角恒等变换求值:其主要方法是通过和与差的,二倍角的三角变换公式解决.

例5

(2008

高考山东卷理

5)已知

cos

? ??

?

?

π 6

? ??

?

sin

?

?

4 5

3

,则

sin

????

?

7π 6

? ??

的值是

A. ? 2 3 5

B. 2 3 5

C. ? 4 5

D. 4 5

分析:所求的

sin

????

?

7π 6

? ??

?

sin(?

?

? 6

)

,将已知条件分拆整合后解决.

解析:

C



cos

????

?

? 6

? ??

?

sin

?

?

43 5

?

3 2

sin

?

?

3 2

cos?

?

43 5

?

sin

????

?

? 6

? ??

?

4 5

,所以

sin

? ??

?

?

7? 6

? ??

?

?

sin

????

?

? 6

? ??

?

?

4 5



点评:本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识,考查分拆与整合的数 学

思想和运算能力.解题的关键是对

cos

? ??

?

?

π 6

? ??

?

sin ?

?

4 5

3 的分拆与整合.

例 6(2008 高考浙江理 8)若 cos? ? 2sin? ? ? 5, 则 tan? =

A. 1 2

B. 2

C. ? 1 2

分析:可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路.

D. ? 2

方法一: 5 sin ?? ??? ? ? 5 ,其中 sin? ? 1 , cos? ? 2 ,即 tan? ? 1 ,

5

5

2

再由 sin?? ??? ? ?1知道? ?? ? 2k? ? ? ?k ? Z? ,所以? ? 2k? ? ? ?? ,

2

2

所以

tan ?

?

tan

? ??

2k?

?

? 2

??

? ??

?

tan

? ??

?

? 2

??

? ??

?

sin

? ??

?

? 2

cos

? ??

?

? 2

?

?

? ??

??

? ??

?

cos? sin ?

?

2



方法二:将已知式两端平方得 欢迎阅读

欢迎阅读 方法三:令 sin? ? 2cos? ? t ,和已知式平方相加得 5 ? 5 ? t2 ,故 t ? 0 , 即 sin? ? 2cos? ? 0 ,故 tan? ? 2 .
方法四:我们可以认为点 M ?cos?,sin? ? 在直线 x ? 2 y ? ? 5 上,

?

而点 M

又在单位圆

x2

?

y2

?

1上,解方程组可得

?? ?

x

?

?

5 5



? ??

y

?

?

2

5

5

从而 tan?

?

y x

?

2

.这个解法和用方程组

??cos?

? ??

sin 2

? ?

2 sin ? ? cos2

? ?

?5 ?1

求解实质上是一致的.

方法五:? 只能是第三象限角,排除 C.D.,这时直接从选择支入手验证,

由于 1 计算麻烦,我们假定 tan? ? 2 ,不难由同角三角函数关系求出 2

sin? ? ? 2 5 , cos? ? ? 5 ,检验符合已知条件,故选 B.

5

5

点评:本题考查利用三角恒等变换求值的能力,试题的根源是考生所常见的“已知
sin ? ? cos ? ? 1 , ? ??0,? ?,求 tan ? 的值(人教 A 版必修 4 第三章复习题 B 组最后一题第一
5 问)”之类的题目 ,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力. 题型 4 正余弦定理的实际应用:这类问题通常是有实际背景的应用问题,主要表现在航海和 测量上,解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型.
例 7.(2008 高考湖南理 19)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警 戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于

点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B ,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏

东 45 ?? (其中 sin? ? 26 , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距10 13 海里的位置 C . 26
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 分析:根据方位角画出图形,如图.第一问实际上就是求 BC 的长,在 ?ABC 中用余弦定理即 可解决;第二问本质上求是求点 E 到直线 BC 的距离,即可以用平面解析几何的方法,也可以 通过解三角形解决.
解析:(1)如图, AB ? 40 2 2 , AC ? 10 13 , ?BAC ? ? ,sin? ? 26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos? ? 1? ( 26 )2 ? 5 26 .

26

26

由余弦定理得 BC ? AB2 ? AC2 ? 2AB AC cos? ?10 5.

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所以船的行驶速度为 10 2

5

? 15

5 (海里/小时).

3

(2)方法一 : 如上面的图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,

设点 B,C 的坐标分别是 B? x1, y1?,C ? x2, y2 ? , BC 与 x 轴的交点为 D .

由题设有,

x1 ? y1 ?

2 AB ? 40, 2

x2 ? AC cos?CAD ?10 13 cos(45 ??) ? 30 , 所以过点 B,C 的直线 l 的斜率 k ? 20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y ? 2x ? 40 .
10
又点 E ?0, ?55?到直线 l 的距离 d ? | 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7 ,所以船会进入警戒水域.
1? 4

解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q .在 ?ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ? AB2 ? BC2 ? AC2 = 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ?13 = 3 10 .

2AB ? BC

2 ? 40 2 ?10 5

10

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? 1 ? 9 ? 10 . 10 10

在 ?ABQ 中,由正弦定理得, AQ ?

AB sin ?ABC

40 2 ? 10

?

10 ? 40 .

sin(45 ? ?ABC) 2 ? 2 10

2 10

由于 AE ? 55 ? 40 ? AQ ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 EQ ? AE ? AQ ? 15 .
过点 E 作 EP ? BC 于点 P ,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.
在 Rt?QPE 中,
所以船会进入警戒水域. 点评:本题以教材上所常用的航海问题为背景,考查利用正余弦定理解决实际问题的能力,解 决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图. 本题容易出现两个方面的错误,一是对方 位角的认识模糊,画图错误;二是由于运算相对繁琐,在运算上出错. 题型 5 三角函数与平面向量的结合:三角函数与平面向量的关系最为密切,这二者的结合有 的是利用平面向量去解决三角函数问题,有的是利用三角函数去解决平面向量问题,更多的 时候是平面向量只起衬托作用,三角函数的基本问题才是考查的重点. 例 8(2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 18 题)已知向量
a ? (2cos?x,cos2?x),b ? (sin?x,1) ,(? ? 0 ),令 f (x) ? a ? b ,且 f (x) 的周期为? .

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(1)



f

? ??

? 4

? ??

的值;(2)写出

f

? x? 在[? ? , ? ] 上的单调递增区间.
22

分析:根据平面向量数量积的计算公式将函数 f ? x? 的解析式求出来,再根据 f (x) 的周期为?

就可以具体确定这个函数的解析式,下面只要根据三角函数的有关知识解决即可.

解析:(1) f (x) ? a ? b ? 2cos?xsin?x ? cos2?x ? sin 2?x ? cos2?x ? 2 sin(2?x ? ? ) ,
4

∵ f (x) 的周期为? . ∴? ? 1, f (x) ? 2 sin(2x ? ? ) ,? f ( ?) ? sin ? ? cos ? ? 1 .

4

4

22

(2) 由于 f (x) ? 2 sin(2x ? ? ) , 4

当 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? ( k ? Z )时, f ? x? 单增,

2

42

即 ? 3? ? k? ? x ? ? ? k? ( k ? Z ),∵ x ? [? ? , ? ]

8

8

22

∴ f ? x? 在[? ? , ? ] 上的单调递增区间为[? 3? , ? ] .

22

88

点评:本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口,但本质上是考查的三角函数的性质,这是

近年来高考命题的一个热点.

例 9 (2009 江苏泰州期末 15 题)

已知向量

a

?

?3sin?,

cos?

?



b

?

?2sin?,

5sin?

?

4

cos?

?

,?

?

? ??

3? 2

,

2?

? ??

,且

a

?

b



(1)求 tan? 的值;

(2)求

cos

? ??

? 2

?

? 3

? ??

的值.

分析:根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式,通过这个等式探究第 一问的答案,第一问解决后,借助于这个结果解决第二问.

解析:(1)∵ a ? b ,∴ a ?b ? 0 .而 a ? ?3sin?,cos? ? , b ? ?2sin?,5sin? ? 4cos? ? ,

故 a ?b ? 6sin2 ? ? 5sin? cos? ? 4cos2 ? ? 0 ,由于 cos? ? 0 ,∴ 6 tan2 ? ? 5 tan? ? 4 ? 0 ,

解得

tan?

?

?

4 3

,或

tan?

?

1 2

.∵ ?

?

? ??

3π 2

,2π

? ??



tan?

?

0



故 tan? ? 1 (舍去).∴ tan? ? ? 4 .

2

3

(2)∵

?

?

? ??

3π 2

,2π

? ??

,∴

? 2

?(3π 4

,π).

由 tan? ? ? 4 ,求得 tan ? ? ? 1 , tan ? ? 2 (舍去).

3

22

2

∴ sin ? ? 5 ,cos ? ? ? 2 5 ,
25 2 5

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cos

? ??

? 2

?

? 3

? ??

?

? cos
2

cos

π 3

?

sin

? 2

sin

π 3

?

?2 5?1? 52

5? 5

3? 2

? 2 5 ? 15 .
10

点评:本题以向量的垂直为依托,实质上考查的是三角恒等变换.在解题要注意角的范围对解 题结果的影响. 题型 6 三角形中的三角恒等变换:这是一类重要的恒等变换,其中心点是三角形的内角和是 ? ,有的时候还可以和正余弦定理相结合,利用这两个定理实现边与角的互化,然后在利用 三角变换的公式进行恒等变换,是近年来高考的一个热点题型. 例 10.(安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学 17 题)三角形的三内角 A ,B ,C

所对边的长分别为 a , b , c ,设向量 m ? (c ? a,b ? a), n ? (a ? b, c) ,若 m / /n ,
(1)求角 B 的大小; (2)求 sin A? sin C 的取值范围. 分析:根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系,结合余弦定理

解决第一问,第一问解决后,第二问中的角 A,C 就不是独立关系了,可以用其中的一个表达

另一个,就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题.

解析:(1) m / /n,?c(c ? a) ? (b ? a)(a ? b) ,

?c2 ? ac ? b2 ? a2 ,? a2 ? c2 ? b2 ? 1. ac

由余弦定理,得 cos B ? 1 , B ? ? . 23

(2) A ? B ? C ? ? ,? A ? C ? 2? , 3
点评:本题从平面向量的平行关系入手,实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换, 解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响. 题型 7 用平面向量解决平面图形中的问题:由于平面向量既有数的特征(能进行类似数的运 算)又具有形的特征,因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了,这在近年 的高考中经常出现.考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题.

例 11. 如图,已知点 G 是 ?ABO 的重心,点 P 在 OA 上,点 Q 在 OB 上,且 PQ 过 ?ABO 的重

心 G , OP ? mOA, OQ ? nOB ,试证明 1 ? 1 为常数,并求出这个常数. mn
分析:根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理,把题目中需要的向量用基向量表达出

来,本题的本质是点 P,G,Q 共线,利用这个关系寻找 m, n 所满足的方程.

解析:令 OA ? a ,OB ? b ,则 OP ?ma ,OQ ? nb ,设 AB 的中点为 M , 显然 OM ? 1 (a ? b). , 2

因为 G 是 ?ABC的重心,所以 OG ? 2 OM ? 1 ? (a ? b) .由 P 、G 、Q 三点共线,有 PG 、GQ

3

3

共线,所以,有且只有一个实数 ? ,使 PG ? ?GQ ,而

PG ? OG ? OP ? 1 (a ? b) ? ma ? (1 ? m)a ? 1 b ,

3

3

3

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GQ ? OQ ? OG ? nb ? 1 (a ? b) ? ? 1 a ? (n ? 1)b ,

3

3

3

所以 (1 ? m)a ? 1 b ? ?[? 1 a ? (n ? 1)b] .

3

3

3

3

又因为

a



b

不共线,由平面向量基本定理得

?1 ??3 ??1 ??3

? ?

m? ?(n

? ?

1? 3 1) 3

,消去

?



整理得 3mn ? m ? n ,故 1 ? 1 ? 3.结论得证.这个常数是 3 . mn
【点评】平面向量是高中数学的重要工具,它有着广泛的应用,用它解决平面几何问题是一个

重要方面,其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来,再根据平

面向量的有关知识加以处理.课标区已把几何证明选讲列入选考范围,应引起同学们的注意.

题型 8 用导数研究三角函数问题:导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具,利

用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性,特别是单调性和最值.

例 12. 已知函数 f (x) ? cos2 x ? 2t sin x cos x ? sin2 x ,若函数 f (x) 在区间 ( ? , ? ] 上是增函数,求 12 6
实数 t 的取值范围.

分析:函数的 f ? x? 导数在 ( ? , ? ] 大于等于零恒成立.
12 6

解析:函数 f (x) 在区间 ( ? , ? ] 上是增函数,则等价于不等式 f ?(x) ? 0 在区间 ( ? , ? ] 上恒成立,

12 6

12 6

即 f ?(x) ? ?2sin 2x ? 2t cos 2x ? 0 在区间 ( ? , ? ] 上恒成立, 从而 t ? tan 2x 在区间 ( ? , ? ] 上恒成

12 6

12 6

立, 而函数 y ? tan 2x 在区间 ( ? , ? ] 上为增函数,所以函数 y ? tan 2x 在区间 ( ? , ? ] 上的最大

12 6

12 6

值为

ymax

?

tan(2? ? ) 6

?

3 ,所以 t ?

3 为所求.

点评:用导数研究函数问题是导数的重要应用之一,是解决高中数学问题的一种重要的思想意

识.本题如将 f (x) 化为 f ? x? ? t sin 2x ? cos 2x ? t2 ?1sin(2x ??) 的形式,则? 与 t 有关,讨论
起来极不方便,而借助于导数问题就很容易解决. 题型 9 三角函数性质的综合应用:将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试 题,解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想,全方位的多方向进行思考.

例 13. 设二次函数 f (x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) ,已知不论? , ? 为何实数,恒有 f (sin?) ? 0 和

f (2 ? cos ? ) ? 0 .
(1)求证: b ? c ? ?1 ; (2)求证: c ? 3; (3)若函数 f (sin? ) 的最大值为 8 ,求 b , c 的值.

分析:由三角函数的有界性可以得出 f ?1? ? 0,再结合有界性探求.
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欢迎阅读 解析:(1)因为 ?1? sin? ?1且 f (sin?) ? 0 恒成立,所以 f (1) ? 0 ,又因为 1? 2 ? c o?s ? 且3

f (2 ? cos ? ) ? 0 恒成立,所以 f (1) ? 0 , 从而知 f (1) ? 0 ,1? b ? c ? 0 ,即 b ? c ? ?1.

(2)由1?2 ?cos ??3 且 f (2 ? cos ? ) ? 0 恒成立得 f (3) ? 0, 即 9 ? 3b ? c ? 0 ,将 b ? ?1? c 代

如得 9 ?3?3c ? c ? 0 ,即 c ? 3.

(3) f (sin? ) ? sin2 ? ? (?1? c)sin? ? c ? (sin? ? 1? c)2 ? c ? (1? c)2 ,

2

2

因为 1? c 2

?

2 ,所以当 sin?

?

?1时 [

f

(sin ? )]max

?8,



?1? ??1?

b b

? ?

c c

?8 ?0

, 解得

b ? ?4 ,c ? 3.

点评:本题的关键是

b

?

c

?

?1,由

? ? ?

f

f (sin?) ? (2 ? cos ? )

0 ?

0

利用正余弦函数的有界性得出

?? ? ??

f f

?1? ?1?

? ?

0, 0

从而 f (1) ? 0 ,使问题解决,这里正余弦函数的有界性在起了重要作用.
【专题训练与高考预测】 一、选择题

1.若? ?[0, 2? ) ,且 1? cos2 ? ? 1? sin2 ? ? sin? ? cos? ,则? 的取值范围是( )

A.[0, ? ] 2

B.[? ,? ] 2

C.[? , 3? ] 2

D.[3? , 2? ) 2

2.设? 是锐角,且 lg(1? cos?) ? m , lg 1 ? n ,则 lg sin? ? 1? cos?

()

A. m ? n

B. 1 (m ? 1) 2n

C. m ? n 2

D. 1 ( 1 ? n) 2m

3.若| a |? 2sin150,| b |? 4cos150 , a 与 b 的夹角为 30。,则 a ?b ?

()

A. 3 2

B. 3

C. 2 3

D. 1 2

4.若 O 为 ?ABC 的内心,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则 ?ABC 的形状为

()

A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

5.在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ,则 ?ABC 是 cos A cosB cosC

A.直角三角形

B.等边三角形

()

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

??

??

??

6.已知向量 OB ? (2,0) 、OC ? (2,2) 、CA ? ( 2 cos?,2 sin? ) ,则直线 OA 与直线 OB 的夹角的取

值范围是
A.[ ? ,5? ] 12 12
二、填空题

B.[? ,5? ] 4 12

C.[5? ,? ] 12 2

() D.[0,? ]
4

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欢迎阅读 7. sin6 x ? cos6 x ? 3sin2 x cos2 x 的化简结果是__________.

8.若向量 a 与 b 的夹角为? ,则称 a ?b 为它们的向量积,其长度为| a ? b |?| a | ? | b | sin? ,已知| a |? 1,

| b |? 5 ,且 a ?b ? ?4 ,则| a ? b |? _______________.

9. 一货轮航行到某处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东15? ,与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏

西 30? 的方向航行 30 分钟后,又得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为每小时



里.

三、解答题

10.

已知:

tan(?

??)

?

?

1 3



tan(?

?

?)

?

sin 2(? ?? ) ? 4 cos2 2
10 cos2 ? ? sin 2?

?



(1)求 tan(? ? ? ) 的值;

(2)求 tan ? 的值.

11. 已知函数 f ? x? ?

3

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

?

2

sin

2

(

x

?

? 12

)

?x?R? .

(1)求函数 f ? x? 的最小正周期;

(2)求使函数 f ? x? 取得最大值的 x 的集合.

12.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? 2 5 . 5
(1)求 cos(? ? ? ) 的值;

(2)若 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0, 且 sin ? ? ? 5 , 求 sin? .

2

2

13

【参考答案】

1.解析:B 由已知可得 sin? ? 0 ,且 cos? ? 0 ,故得正确选项 B.

2.解析:C lg(1? cos?) ? ?n 与 lg(1? cos?) ? m 相加得 lg(1? cos2 ? ) ? m ? n ,∴ 2lg sin? ? m ? n ,

故选 C. 3.解析:B a ?b ? 4sin 30。cos30。? 2sin 60。? 3 ,选 B.

4.解析:A 已知即 CB ? ( AB ? AC) ? 0 ,即边 BC 与顶角 ?BAC 的平分线互相垂直,这表明 ?ABC 是
一个以 AB、AC 为两腰的等腰三角形. 5.解析:B 依题意,由正弦定理得 sin A ? cos A ,且 sin B ? cos B , sinC ? cosC ,故得.
??
6.解析:A 由| CA |? 2 为定值,∴ A 点的轨迹方程为 (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,由图形易知所求角的 最大、最小值分别是该圆的切线与 x 轴的夹角,故得.
7. 解析:1 原式 ? (sin2 x ? cos2 x)3 ? 3sin4 x cos2 x ? 3sin2 x cos4 x ? 3sin2 x cos2 x ? 1.

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8.解析: 3 由夹角公式得 cos? ? ? 4 ,∴ sin? ? 3 ,∴| a ?b |? 1?5? 3 ? 3 .

5

5

5

1x 9. 20( 6 ? 2) 解析:设轮速度为 x 海里/小时,作出示意图,由正弦定理得 2 ?

20



sin 30? sin105?

解得 x ? 20( 6 ? 2) .

10.解析:(1)∵ tan(? ? ? ) ? ? 1 3

∴ tan? ? ? 1 , 3



tan(?

?

?

)

?

sin(? ? 2? ) ? 4 cos2 10 cos2 ? ? sin 2?

?

sin 2? ? 4 cos2 ? ? 10 cos2 ? ? sin 2?



tan(?

?

?

)

?

?1?2 3 5? 1

?

5 16



3

(2)∵ tan ? ? tan[(? ? ? ) ??] ? tan(? ? ? ) ? tan? 1? tan(? ? ? ) tan?

,∴

tan

?

?

5 ?1 16 3 1? 5 ?1

?

31 43



16 3

11.解析:(1)因为 f ? x? ?

3

sin(2x

?

? 6

)

?1

?

cos

2

? ??

x

?

? 12

? ??

所以 f ? x? 的最小正周期T ? 2? ? ? .
2

(2)当

f

?x?

取最大值时,

sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

? 1,此时

2x

?

? 3

?

2k?

?

? 2

?k ?Z ? ,即

x ? k? ? 5? 12

?k

?Z?

,所以所求

x

的集合为

??x ?

x

?

k?

?

5? 12

? ? ?

?k ?Z ? .

12.解析:(1) a ? (cos? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ?b ? ?cos? ? cos ?,sin? ? sin ? ? .

a?b ? 2 5, 5

? ?cos? ? cos ? ?2 ? ?sin? ? sin ? ?2 ? 2 5 ,
5

即 2 ? 2 c o??s ? ? ? ? 4 , ?c o s?? ? ? ? ? 3 .

5

5

(2) 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0, ?0 ? ? ? ? ? ? , 22

cos?? ? ? ? ? 3 , ?sin ?? ? ? ? ? 4 .

5

5

sin ? ? ? 5 , ?cos ? ? 12 ,

13

13

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?sin?

?

sin ????

????

? ??

?

sin ??

? ? ?cos ?

? cos??

??

?sin ?

?

4 5

? 12 13

?

3 5

?

? ??

?

5 13

? ??

?

33 65



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