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高等数学第七节高阶线性微分方程第八节常系数齐次线性微分方程_图文

高等数学第七节高阶线性微分方程第八节常系数齐次线性微分方程_图文

节高阶线性微分方程

P29?3 y ( n ) ? p 1 ( x ) y ( n ? 1 ) ? ? ? p n ( x ) y ? f ( x ) (1) 叫做n阶线性微分方.程
?f ( x ) ? 0 _ 齐 _ ;f ( x ) 次 ? /0 _ 非 _? 齐
本章主要讨论二阶方 线程 性:

y ? ? ? P ( x ) y ? ? Q ( x ) y ? f ( x ) ( 2 )

当f(x) ?/ 0时,(2)叫做非齐次二 程,阶 而线 与(2)性

对应的齐次二阶线程 性为 方:

y ??? P ( x ) y ?? Q ( x ) y ? 0

(3) 1

定义 如果 n个 存不 在全k 为 1,k2,? 零 ,kn,使 的常

k 1 y 1 ( x ) ? k 2 y 2 ( x ) ? ? ? k n y n ( x ) ? 0 ( 4 )

在区间 I上恒成,立 则 n 个 称 y 1 ( x 函 )y 此 2 , ( x ) ? ,数 y n ( x ) 在区间 I上线性相, 关 否则称为线性无关 .

(仅 k 1 ? 当 k 2 ? ? ? k n ? 0 时 ,(4 )式 I上 在 恒 ) 例y 1 如 ? 2 x ? x 2 ,y 2? x ? x 2 ,y 3? x线性 . 相
(? y 1 ? y 2 ? 3 y 3 ? 0 ) 定理1 下列三个命题等: 价
a). y1, y2线性相关

b).y1?ky2

c).

y1 y2

?

k

( k为一常数)

2

证 论证 :a )? 过 b )? c )程 ? a ). a). y1, y2线性相关

a )设 . c 1 y 1 ? c 2 y 2 ? 0 ,

b).y1?ky2

c 1 ,c2不0 全 ,不 为 妨 c 1?0,设 c).

?b). ? c).

y1
y1 y2

??cc12 y2 ? k y2 其中k ? ? ? k ? a ).y 1? ky 2? 0

c2 c1

y1 y2

?k

(k为一常)数

例如 . 1).0,x2线性相 . 关

在 k 1 ?0 ? k 2 ?x 2 ? 0 中 k 1 ? 0 取 ,k 2 ? 0 即 . 可 事实上, 0与任何函数线性相 . 关

2). sin x与coxs线性无 . 关
因为 csiox n xs?taxn? / k.
(不成比例的两个函数 性线 无关, 成比例的两个函数线相性关)

定2理 如y果 1(x),y2(x)是齐次方程

y ? ? ? P ( x ) y ? ? Q ( x ) y ? 0 ( 3 )

的两个解 , 则 y?c1y1(x)?c2y2(x)也是它 . 的解
(c1, c2 任意常)数 证将 y?c1y1(x)?c2y2(x)代入方 : 程左
? c 1 y 1 ? c 2 y 2 ? ? ? P ( x ) ? c 1 y 1 ? c 2 y 2 ? ? ? Q ( x ) ? c 1 y 1 ? c 2 y 2 ?

? c 1 ? y 1 ? ? ? P ( x ) y 1 ? ? Q ( x ) y 1 ?? c 2 ? y 2 ? ? ? P ( x ) y 2 ?? Q ( x ) y 2 ?

? 0? 0? 0

#

推如 论y1 果 (x),y2(x)是齐(3 次 )的方 两程 个

关的解 , 则 y?c1y1?c2y2是 (3 )的通 . 解 4

解:释 y?c1y1?c2y2含两个c任 1,c2,意 当y1常 , y2线数 性相关时 , y?c 1 (k2)y ? c2y2? (c 1 k ? c 2 )y 2 ? c 3 y 2 ,它不是二 阶方(程 3)的通.解
例 ,方 y ? ? ? 如 y ? 0 有 程 y 1 ? s x , i 解 y 2 ? n c x ,os
sixn /co x? s tax? n 常,y数 ?c1six n?c2cox是 s 其. 通

定理 3 设y*是非齐次方程

y ? ?? P ( x ) y ?? Q ( x ) y ? f ( x ) ( 2 )

的一个特解 , 而Y?c1y1?c2y2是对应齐次方程

y ??? P ( x ) y ?? Q ( x ) y ? 0

(3)

的通解, 则 y?Y?y*是 (2)的通 . 解

证 y ? ?? P ( x ) y ?? Q ( x ) y

5

证 y ??? P (x )y ?? Q (x )y
? ? Y ? y * ? ? ? P ( x ) ? Y ? y * ? ? ? Q ( x ) ? Y ? y * ?

? ? Y ? ? ? P ( x ) Y ? ? Q ( x ) Y ? ? ? y * ? ? ? P ( x ) y * ? ? Q ( x ) y * ?
?0?f(x) ?f(x).
而 y?Y?y*?c1y1?c2y2?y*含有两c1 个 和 c2,独 所以它 (2)的 是通. 解

例y ?如 ?? y? x 2有y 特 * ? x 2? 解 2 ,

而 y ? ? ? y ? 0 有 Y ? c 1 s 通 x ? i c 2 c n x 解 . os

?

y???y?x2的通:解为

y ? c 1 sx i? n c 2 cx o ? x 2 s ? 2 .

6

小 : 求 y ? ? ? P ( x 结 ) y ? ? Q ( 解 x ) y ? f ( x ) ( 2 ) 先 y ? ? ? P ( x 求 ) y ? ? Q ( x ) y ? 0 的 Y ? c 1 y 通 1 ? c 2 y 2 , 再y ??求 ? P (x )y ?? Q (x )y?f(x )的一 y *个 , 则 y? c 1 y 1 ? c 2 y 2? y * 就 (2 )的 是.通解
定理4 (叠加原)理 设 y1 ?是 y???P (x)y??Q (x)y?f1(x)的一,个特 y2 ?是 y???P (x)y??Q (x)y?f2(x)的一,个特
则 y 1 ?? y 2 ?是 y ??? P (x )y ?? Q (x )y? f1 (x )? f2 (x )的一 . ( 证明略)
定理 2~4都可以推 n阶广 线到 性方. 程上去
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