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2014-2015学年第二学期高等数学试题(A)

2014-2015学年第二学期高等数学试题(A)


2014-2015 学年第二学期高等数学试题 (A)
一、填空题(共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 1.以向量 a ? ?8,4,3?, b ? ?2, ?2,1? 为邻边所构成平行四边形的面积等于 2. 设 z ? x f ? xy ,
3



? ?

?2 z y? , 具有二阶连续偏导数,则 = f ? ?y 2 x?
3



3.二重积分 I ?

?? ? x
D

sin y ? x 2 y 2 ? dxdy ?



其中 D 是由曲线 y ? x 2 , y ? 4 x 2 , y ? 1 围成的区域。 4. 球面 x ? y ? z ? 50 与锥面 x ? y ? z 的交线在点 M ? 3,4,5? 处的切线方程为
2 2 2

2

2

2

5.已知 ? 为平面 2 x ? 2 y ? z ? 6 在第一卦限中的部分, 则

?? ? 2 xy ? 2 x
?
n

2

? x ? z ? ds ?



二、选择题(共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 6. 设 un ? ? ?1? ln ? 1 ?
? ?

? ?

1 ? ? ,则级数 n?
?



(A)

? un 与 ? un2 都收敛;
n ?1 n ?1

(B)

? un 与 ? un2 都发散;
n ?1 n ?1

?

(C)

?u
n ?1

?

n

收敛,而

?u
n ?1

?

2 n

发散;

(D)

?u
n ?1

?

n

发散,而

?u
n ?1

?

2 n

收敛。

7.函数 f ( x, y ) 在点 ? x0 , y0 ? 上处偏导数存在是 f ( x, y ) 在该点处 (A) 连续的充分条件; (C) 可微的必要条件; 8.将函数 f ? x ? ? arctan (A) f ? x ? ? (B) 连续的必要条件; (D) 可微的充分条件。



1? x 展开为 x 的幂级数为 1? x



?
4

? ? ? ?1?
n ?0 ?

?

n

x 2 n ?1 , x ? ? ?1,1? ; 2n ? 1 x 2 n ?1 , x ? ? ?1,1? ; 2n ? 1 x 2 n ?1 , x ? [?1,1) ; 2n ? 1

(B) f ? x ? ?

?
4

? ? ? ?1?
n ?0 ?

n

(C) f ? x ? ?

?
4

? ? ? ?1?
n ?0

n

1

(D) f ? x ? ?

? ? ?1?
n ?0

?

n

x 2 n ?1 , x ? [?1,1) 2n ? 1


9.设 I ?

?

L

xdx ? ydy , L 是 xoy 平面上任一不包含原点的光滑封闭曲线,则 I ? x2 ? y2
(B)

(A)

0;

? ; (C) 2? ;

(D)

? 2


10.直线 l1 : ?

?x ? y ? 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 与直线 l 2 : 的距离为 ? ? 4 ?2 ?1 ? z?0
(B)

(A)

1;

19 ; (C) 3

1 ; 2

(D)

19 2

三、 (共 7 小题,共 60 分) 11.(8 分)在区间 ? ?1,1? 内求幂级数
2 2

? n ? 1 的和函数。
n ?0

?

xn

12.(8 分)区域 ? 是由球面 x ? y ? z ? 2 z 与圆锥面 z ?
2

x 2 ? y 2 围成的包含 z 轴的部

分,计算三重积分 I ?

???
?

x 2 ? y 2 ? z 2 dv. 。

13.(8 分)计算

?

L

? x ? y ? dx ? ? x ? y ? dy ,
x2 ? y2

其中 L 是沿 y ? ? cos x 由 A ?? , ?? ? 到 B ? ?? , ?? ? 的曲线段。

14.(8 分)计算曲面积分 I ?

??
?

x 2 ? y 2 ? z 2 ? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? ,
2 2

其中 ? 为球面 x ? y ? z ? a 的外侧。
2 2

15.(8 分)已知函数 z ? u ? u, v ? e

ax ?by

,且

? 2u ? 0 ,确定常数 a 和 b ,使函数 z ? z ? x, y ? ?x?y

? 2 z ?z ?z ? ? ? z ? 0。 满足方程: ?x?y ?x ?y
16.(10 分)设有两条抛物线 y ? nx ?
2

1 1 2 和 y ? ? n ? 1? x ? ,记它们交点的横坐标的 n n ?1

绝对值为 an , (1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 sn , (2)求级数

?a
n ?1

?

sn
n

的和。

2

17.(10 分)设函数 f ? x ? 连续, ?t :

0 ? z ? h,

x2 ? y2 ? t 2 ,

2 2 2 ? F ? t ? ? ??? ? ? z ? f ? x ? y ?? dv ,求 ?

F ?t ? dF ? t ? 和 lim 。 ? t ?0 t2 dt

3



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