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《样本和抽样分布》PPT课件_图文

《样本和抽样分布》PPT课件_图文

第六章: 样本和抽样分布
一、总体和样本 1.总体
一个统计问题有它明确的研究对象.
研究对象全体称为总体(母体). 总体中每个成员称为个体. 总体可以用随机变量及其分布来描述.

例如:总体X为某批灯泡的寿命, X N(4000,202).
2. 样本
为推断总体分布及各种特征,从总体中 抽取n个个体,所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目n称为样本容量.
样本的二重性: 抽样之前,样本为随机变量, 记 X1, X2 ,…, Xn . 抽样之后,样本为一组数值, 记 x1, x2 ,…, xn .

“简单随机抽样”,要求抽取的样本满足 :
1. 代表性: X1,X2,…,Xn中每一个与所 考察的总体有相同的分布.
2. 独立性: X1,X2,…,Xn是相互独立的 随机变量.
说明:我们所考虑的都是简单随机抽样 的样本。从而有:
X1,X2,…,Xn独立同分布,与总体分布相同。

例1

设X1,X2,X3是取自正态总体 N (?,? 2 )
的样本,写出样本X1的概率密度函数。

f (x) ?

1
2? ?

? exp? ?
?

(x ? ?)2 2? 2

? ? ?

x?R

二、统计量 设 X1, X2, , Xn为总体X 的样本,f (x1, x2, , xn ) 为一个n元连续函数,若样本函数 f (X1, X2, , Xn ) 不含任何未知参数,则称
f (X1, X2, , Xn ) 为统计量.

例2

设X1,X2,X3是取自正态总体 N (?,? 2 )
的样本,? 已知,? 2未知, 指出下列哪个不

是统计量.

1.

1 3

(

X1

?

X

2

?

X

3

)

3.max(X1, X 2, X3)

2.

1 3

(

X1

?

2

EX

2

)

4.

1
?

(

X12

?

X

2 2

?

X

2 3

)

几个常见统计量

样本均值 修正的样本方差

? X

?

1 n

n i ?1

Xi

? S? 2

?

1 n?1

n i ?1

(Xi

?

X )2

? 修正的样本标准差

S? ?

S? 2 ?

1 n?1

n i ?1

(Xi

?

X

)2

样本成数

? p?

?

1 n

n i ?1

Xi

三. 抽样分布 统计量既然是依赖于样本的,而后
者又是随机变量,故统计量也是随机变 量,因而就有一定的分布,这个分布叫 做 “抽样分布” .

1. 样本均值的正态分布

a. 单个正态总体下的样本均值的分布
定理1. 设总体X 服从正态分布 N(?,? 2),

X1, X2, , Xn为来自总体的一个样本,

X 为样本均值,

? 则

X

?

1 n

n i ?1

Xi

?

N (?, ? 2 ).
n

b. 两个正态总体下的样本均值的分布

定理2.

设总体X

服从正态分布

N

(

?1

,

?

2 1

),

总体Y 服从正态分布 N (?2 ,?22 ), X1, X 2, , X n1
和 Y1,Y2, ,Yn2 为分别来自X 与Y 的样本,X , Y

相互独立,X ,Y 分别为它们的样本均值,则

X

?Y

?

N (?1

?

?2

,

?12
n1

?

?

2 2

n2

).

c. 非正态总体下的样本均值的分布

定理3. 设总体X 为任意总体,其 EX ? ?, DX ? ? 2,

X1, X2, , Xn为来自总体的一个样本,则

E X ? ?, D X ? ? 2 , ES?2 ? ? 2.
n

且n较大时,近似地有

? X

?

1 n

n i ?1

Xi

?

N (?, ? 2 ).
n

例3 设 X ~ N (?, 22 ) ( X1, X 2, , X n )
为来自母体X的样本,X 为样本均值,要使
E(X ? ?)2 ? 0.1 成立,则样本容量 n ? __ .
n ? 40

例4 设总体X服从正态分布 N (20, 32 )

X1, X 2 , X 25来自总体X,计算

? ? ,

P

? ?

16

Xi ?

25

Xi

? 182??

(?(2.8) ? 0.997)

? i?1

i ?17

?

.

例5 设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布 N (30,32 ),X1, X 2 , X 20 和 Y1,Y2 , Y25 是分别来自X和Y的样本,求 X ?Y ? 0.4
的概率。(?(0.444) ? 0.67)

2. 样本方差的卡方分布

定理 4 (样本方差的分布)

设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N (?,? 2 )的样本,

X 和S?2分别为样本均值和修正的样本方差,则有

n

? ( Xi ? ?)2

(1)

i ?1
?2

~ ? 2 (n).

(2) X与S? 2独立.

n

? (3)

(n ? 1)S? 2
?2

?

( Xi ? X )2
i ?1
?2

~

? 2 (n ? 1).

3. 样本均值的学生氏分布

定理 5 (单正态总体样本均值的 t 分布)

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (?,? 2 )

的样本, X 和S? 2分别为样本均值和修正的样本方差,
则有

X S?

?

?
n

~

t(n ? 1)

定理 6 (两总体样本均值差的 t 分布)
设X ~ N (?1,? 2),Y ~ N (?2,? 2),两个样本独立, X1,X2,…, X n是1 来自X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是取自Y的样本,
X和Y分别是这两个样本的 样本均值,S?12 和S?22是这两个
样本修正的样本方差,则有

X ? Y ? (?1 ? ?2 )
(n1 ? 1)S?12 ? (n2 ? 1)S?22

1?1

~ t(n1 ? n2 ? 2)

n1 ? n2 ? 2

n1 n2

4. 样本方差比的F分布

定理 7 (两总体样本方差比的F分布)

设X

~

N

(

?1

,?

2 1

),Y

~

N

(?2

,?

2 2

),两样本相互独立,

X1,X2,…, X n1是来自X的样本,Y1,Y2,…,Yn2是取自Y的样本,
X和Y 分别是这两个样本的 样本均值,S?12和S?22

为这两个样本修正的样本方差,则有

S?12 S? 22

?

2 1

?

2 2

~

F

(n1

?

1,

n2

?

1)


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