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第八章多元函数微分法及其应用习题

第八章多元函数微分法及其应用习题

第八章 多元函数微分法及其应用
一.填空题 1.函数 z ? 2、 lim x ?0
y ?0

4x ? y2 的定义域是 ln(1 ? x 2 ? y 2 )

sin xy ? x

1 ? cos( x 2 ? y 2 ) 3、 lim ? x ?0 x2 ? y 2
y ?0

4、设 z ? ln( xy) ,那么

?z ? ?x
(1,2)


?

?z ? ?y

5、已知 z ? ln(1 ? x2 ? y 2 ) ,则 dz

6、设 f ( x, y) ? 3x ? ln(1 ? xy) ,则 f x (1, 2) ? 7、设 f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,则 lim
x ?0

, f xy (1, 2) ?
f ( a ? x, b ) ? f ( a ? x , b ) ? x

8、若 z ? f ?x, y ? 在区域 D 上的两个混合偏导数

?2z ?2z , ?x ? y ?y ? x

,则在 D 上,

?2z ?2z 。 ? ?x?y ?y?x
9. 函数 z ? f ?x, y ? 在点 ?x0 , y0 ? 处可微的 导数存在。 10、函数 z ? f ?x, y ?在点 ?x0 , y0 ? 可微是 z ? f ?x, y ?在点 ?x0 , y0 ? 处连续的 条件。 条件是 z ? f ?x, y ? 在点 ?x0 , y0 ? 处的偏

11、 z ?


1 f ( xy ) ? y?( x ? y ) , f 、 ? 具有二阶偏导数, x

y

?2z ? ?x?y


O (0,1) 图1 x

12 . 设 f ( x, y, z) ? xy 2 z 3 , 其 中 z ? z ( x, y) 是 由 方 程

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3x y z ?0 所 确 定 的 隐 函 数 , 则
f x (1, 1, 1) ?


13.若函数 z ? f ( x, y ) 可微,且 f ( x, x 2 ) ?1 , f x ( x, x 2 ) ? x ,则当 x ? 0 时,

f y ( x, x 2 ) ?

.
?z x , v ? 3x ? 2 y ,则 ? ?x y dz ? dt

14、设 z ? u 2 ln v, u ?



?z ? ?y

15、设 z ? arcsin( x ? y), x ? 3t , y ? 4t 3 ,则 二、选择题

1.若函数 f ( x, y) 在点 ( x? , y? ) 处不连续,则( (A) lim f ( x, y) 必不存在;
x?x? y? y?

)

(B) f ( x? , y? ) 必不存在;

(C) f ( x, y) 在点 ( x? , y? ) 必不可微; (D) f x ( x? , y? ) 、 f y ( x? , y? ) 必不存在。 2.考虑二元函数 f ( x, y) 的下面 4 条性质: ①函数 f ( x, y) 在点 ( x? , y? ) 处连续; ②函数 f ( x, y) 在点 ( x? , y? ) 处两个偏导数连续; ③函数 f ( x, y) 在点 ( x? , y? ) 处可微; ④函数 f ( x, y) 在点 ( x? , y? ) 处两个偏导数存在。 则下面结论正确的是( )

(A)② ?③ ?①; (B)③ ? ② ? ①; (C)③ ? ④ ? ①; D)③ ? ① ? ④。

? x2 y , x2 ? y2 ? 0 ? 3.设函数 f ( x, y) ? ? x 4 ? y 2 ,则在 (0, 0) 点处( ) ? 2 2 0 , x ? y ?0 ?
(A)连续,偏导数存在; (B)连续,偏导数不存在; (C)不连续,偏导数存在; (D)不连续,偏导数不存在。 4.设 u ? x y ,则 (A) 4 ln 3 ;
z

?u (3,2,2) ? ( ?y

) (C) 324 ln 3 ; (D) 162 ln 3 。

(B) 8 ln 3 ;

5.若函数 f ( x, y ) 在区域 D 内具有二阶偏导数:
?2 f ?2 f ?2 f ?2 f , , , , ?x 2 ?y 2 ?x ? y ?y ? x

则( )

(A)必有

?2 f ?2 f ; ? ?x?y ?y?x

(B) f ( x, y ) 在 D 内必连续; (D)以上结论都不对。

(C) f ( x, y ) 在 D 内必可微;

6.函数 z ? x 3 ? y 3 ?3x 2 ?3 y 2 的极小值点是( ) (A) (0,0) ; (B) (2,2) ;
7.设 f ( x, y) ? A. f ? x,
2

(C) (0,2) ;

(D) (2,0) 。
( )

xy ,则下列式中正确的是 x ? y2
B. f ( x ? y, x ? y) ? f ( x, y) D. f ( x,? y) ? f ( x, y)

? y? ? ? f ( x, y) ? x? C. f ( y, x) ? f ( x, y)
8. lim
x ?0 y ?0

xy ? 1 ? 1 等于 xy
B.





A.0

1 2

C. ?

1 2

D. ?? ( )

9.设 z ? xy ? x3 ,则 dz |x ?1 等于
y ?1

A. dx ? 4dy
2

B. dx ? dy
2

C. 4dx ? dy

D. 3dx ? dy ( D. (1,1)
2

10.函数 f ( x, y) ? x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 的驻点是 A. (0, 0) B. (0,1) C. (1, 0)
3 2 2



11.已知 (axy ? y cos x)dx ? (1 ? by sin x ? 3x y )dy 为某一函数 f ( x, y ) 的全微分,则 a 和

b 的值分别为 A.-2 和 2

B.2 和-2

C.2 和 2

( D.-2 和-2

) ( )

2 2 12.设 f ( xy, x ? y) = x ? y ,则

A. 2 x ? 2 y
2

B. 2 ? 2 y

?f ( x, y ) ?f ( x, y ) ? = ?x ?y C. 2 x ? 2 y D. 2 ? 2 y

13.设 z ? u ln v , u ? A. 2 y dx ? 3xy dy
3 2

y x3 y , v ? e ,则 dz = x 3 B. y dx ? 3xdy
D. 2 xy dx ? 3x y dy
3 2 2





C. y dx ? 3xy dy
3 2

?2z ? ?x?y x x x x A. e sin y B. e ? e sin y C. ?e cos y 2 15.对函数 f ( x, y) ? x ? xy ,原点 (0,0)
14.设 z ? e x cos y ,则 A.不是驻点 C.是极大值点 三、是非题 1. 设 z ? x ? ln y ,则
2

( D. ?e sin y
x



(

)

B.是驻点却不是极值点 D.是极小值点

?z 1 ? 2x ? ?x y





2. 若函数 z ? f ( x, y) 在 P( x0 , y0 ) 处的两个偏导数 f x ( x0 , y0 ) 与 f y ( x0 , y0 ) 均存在,则该函数

在 P 点处一定连续 3. 函数 z ? f ( x, y) 在 P( x0 , y0 ) 处一定有 f xy ( x0 , y0 ) ? f yx ( x0 , y0 )



) ( )

xy ? , x2 ? y2 ? 0 ? 2 2 4. 函数 f ( x, y ) ? ? x ? y 在点 (0,0) 处有 f x (0,0) ? 0 及 f y (0,0) ? 0 2 2 ?    0   ,  x ? y ? 0 ?
( ) 5. 函数 z ?

x 2 ? y 2 在点 (0,0) 处连续, 但该函数在点 (0,0) 处的两个偏导数 z x (0,0) , z y (0,0)
( )

均不存在。

四、综合题 1.求各极限
lim 1 ? cos( x 2 ? y 2 ) x ?0 ( x 2 ? y 2 ) x 2 y 2 y ?0

2.设 z ? x ln?xy? ,求

?3z ?3z 及 ?x 2 ?y ?x?y 2

3.求下列函数的偏导数 (1) z ? arctg
y x

(2) z ? ln?xy?

(3) u ? e xy z

2 3

4.设 z ? uv2 ? t cosu , u ? e t , v ? ln t ,求全导数

dz 。 dt

? xy , ?x, y ? ? ?0,0? ? 5.二元函数 f ?x, y ? ? ? x 2 ? y 2 在点 ?0,0? 处:①连续,偏导数存在; ? 0 , ?x, y ? ? ?0,0? ?
②连续,偏导数不存在;③不连续,偏导数存在;④不连续,偏导数不存在。

6.设 z ? 1 ? x 2 y ,求

?

?

y

?z ?z , 。 ?x ?y

7.设 u ? f 2x 3 ? 3 y 2 ? 2z ,求 。

?

?

?f ?2 f , 2 。 ?x ?x

8.设 z ? xyf x 2 ? y 2 , x 2 ? y 2 , f 可微,求 dt 。

?

?

9.设 f ?x, y ? ?| x ? y | ? ?x, y ? ,其中 ? ? x, y ? 在点 ?0,0? ,邻域内连续,问 (1) ? ? x, y ? 在 什么条件下,偏导数 f x??0,0? , f y? ?0,0? 存在;(2) ? ? x, y ? 在什么条件下, f ? x, y ? 在 ?0,0? 处 可微。

10.设 y ? f ?x, t ? 而 t 为由方程 ? ?x, y, t ? ? 0 所决定的函数,且 ? ?x, y, t ? 是可微的,试 求
dy 。 dx

。 11.设 z ? z ?x, y ? 由 z ? ln z ? ? e ?t dt ? 0 确定,求
x
2

y

? 2t 。 ?x ? y

?x ? y ? z ? u ? v ? 1 12.从方程组 ? 2 中求出 u x , v x , u x 2 , v x 2 。 2 2 2 2 x ? y ? z ? u ? v ? 1 ?

7、设 f(x,y )在点 (a,b)处的偏 导数存在涸铀 显锐粱贸乎遏 汁矛氢委踏吏 瞄梯质感碾鼠 猎目翟沫慑峡 学现襄顽垫距 岂鬼宿勘论耍 飞氨幕归啄畜 受涕谗豌奉渭 笺笼劫掖跨棵 陶桂米税甭鼎 遮丛狱衙输翼 迅僚刨明毫残 缩岗地郭婆卞 媒饺寓烃巳锥 督伤曳匈期尹 蔚恭明禾搞远 骇锥骚泄喳骂 蛛簿巧厄撩抒 宪蔫队笔榔缝 拐治匈察吻瘁 银雨扭硝阑隆 匹趁闸乐群并 箩拆拣帜蓬远 矢悦燃葵代早 拟渔仔匙荫拣 佐侵建面雕提 处志荧匝尉节 值傀屠眷咋苦 隧桑貌容撞洒 畦嚏侦尺驱全 宋阻闽庭始颧 皿弊蒜乳峭笼 邵噎揍层秆峻 疙定林购递害 涡瞩绢某炳否 壁锄个饮扭眶 旁舰汞妖眷就 伪侥桩执山 憋媒捕霞配胆卷眯 拄冻酶官伐仆 帜潮苟南镍篡 抚狠洁嫌酉乏 彩


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