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高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(3)学案 新人教A版必修5

高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(3)学案 新人教A版必修5

1.2 应用举例(3)
学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式 的简单推导和应用.
知识点一 航海中的测量问题 思考 在浩瀚无垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.阅读教材,看看船只是如何 表达位置和航向的? 答案 用方向角和方位角. 梳理 方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角. 方向角:从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西 60°,即以正南方向为始边,顺 时针方向向西旋转 60°. 知识点二 三角形面积公式的拓展 思考 如果已知底边和底边上的高,可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角, 有没有办法求三角形面积? 答案 在△ABC 中,如果已知边 AB、BC 和角 B,边 BC 上的高记为 ha,则 ha=ABsin B.从而 可求面积. 梳理 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则△ABC 的面积 S=12absin C=12bcsin A=12acsin B.
类型一 航海中的测量问题 例 1 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75°的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32°的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1°,距离精 确到 0.01 n mile)
解 在△ABC 中,∠ABC=180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,

AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC = 67.52+54.02-2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15. 根据正弦定理,sinB∠CCAB=sinA∠CABC, sin∠CAB=BCsinA∠C ABC≈54.01s1i3n.11537°≈0.325 5, 所以∠CAB=19.0°,75°-∠CAB=56.0°. 答 此船应该沿北偏东 56.0°的方向航行,需要航行 113.15 n mile. 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角),二要弄清不动点(三角形顶点),然后 根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题. 跟踪训练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处,乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶,已知甲船的速度是每小时 3a 海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇,

则在△ABC 中, BC=at(海里),

AC= 3at(海里),

B=90°+30°=120°,

BC

AC

由sin∠CAB=sin B,得

3

sin∠CAB=BCsAiCn

B=at×sin 120°= 3at

23=12,

∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°, ∴∠DAC=60°-30°=30°, ∴甲船应沿着北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 类型二 三角形面积公式的应用 命题角度 1 求面积 例 2 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S.(精确到 0.1 cm2)

(1)已知 a=14.8 cm,c=23.5 cm,B=148.5°; (2)已知 B=62.7°,C=65.8°,b=3.16 cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4 cm,b=27.3 cm, c=38.7 cm.

解 (1)应用 S=12casin B,

得 S=12×23.5×14.8×sin 148.5°≈90.9(cm2).

b (2)根据正弦定理sin

c B=sin

C,得

c=bssiinn

C B,

S=12bcsin

A=12b2sinsiCnsiBn

A ,

A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°,

S=12×3.162×sin 6s5i.n8°6s2.i7n°51.5°≈4.0 (cm2).

(3)根据余弦定理的推论,得 cos B=c2+2ac2a-b2=38.27×2+384.17.×42-412.74.32≈0.769 7,

sin B= 1-cos2B≈ 1-0.769 72≈0.638 4.

应用 S=12casin B,得 S≈12×38.7×41.4×0.638 4 ≈511.4 (cm2).

反思与感悟 三角形面积公式 S=12absin C,S=12bcsin A,S=12acsin B 中含有三角形的边

角关系.因此求三角形的面积,与解三角形有密切的关系.首先根据已知,求出所需,然后

求出三角形的面积.

跟踪训练 2 在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,求△ABC 的面积.

解 由正弦定理,得sin 130°=sin3 C,∴sin C= 23.

∵0°<C<180°,∴C=60°或 120°. ①当 C=60°时,A=90°,

∴S△ABC=12×

3 3×1= 2 ;

②当 C=120°时,A=30°,

S△ABC=12× 3×1×sin 30°= 43.

命题角度 2 已知三角形面积

例 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=π3 .若△ABC 的

面积等于 3,求 a,b.

解 由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4,又因为△ABC 的面积等于 3,所以12absin C

= 3,得 ab=4,

联立方程组?????aa2b+=b42,-ab=4,

解得?????ab= =22, .

反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积,要根据题意灵活选用三角形的面积公

式.

跟踪训练 3 如图所示,已知半圆 O 的直径为 2,点 A 为直径延长线上的一点,OA=2,点 B

为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC,求 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面

积最大.

解 设∠AOB=α ,在△ABO 中,由余弦定理,得 AB2=12+22-2×1×2cos α =5-4cos α ,α ∈(0,π ), ∴S=S△AOB+S△ABC=12OA·OB·sin α + 43AB2 =2sin???α -π3 ???+54 3. 当 α -π3 =π2 ,α =56π ,即∠AOB=56π 时,四边形的面积最大.

1.一艘海轮从 A 处出发,以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40°方向直线航行,30 min 后到

达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,

其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( )

A.10 2 n mile

B.10 3 n mile

C.20 2 n mile

D.20 3 n mile

答案 A

解析 如图所示,

由已知条件可得,

∠CAB=30°,∠ABC=105°,

AB=40×12=20 (n mile).

∴∠BCA=45°,

AB

BC

∴由正弦定理可得sin 45°=sin 30°.

20×12 ∴BC= =10 2 (n mile).
2 2

2.已知三角形面积为14,外接圆面积为 π ,则这个三角形的三边之积为(

)

1 A.1 B.2 C.2 D.4

答案 A 解析 设三角形外接圆半径为 R,则由 π R2=π , 得 R=1,∵S△=12absin C=a4bRc=ab4c=14, ∴abc=1. 3.在△ABC 中,已知 a=3 2,cos C=13,S△ABC=4 3, 则 b=________.

答案 2 3 解析 ∵cos C=13,C∈(0,π2 ),

∴sin C=

1-cos2C=2

3

2 ,

∵12absin C=4 3,a=3 2,∴b=2 3.

1.在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用 题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

2.解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐 步在其余的三角形中求出问题的解.

40 分钟课时作业

一、选择题 1.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险区, 城市 B 在 A 的正东 40 km 处,则 B 城市处于危险区内的时间为( )

A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h

答案 B 解析 设 A 地东北方向上点 P 到 B 的距离为 30 km 时,AP=x, 在△ABP 中,PB2=AP2+AB2-2AP·ABcos A, 即 302=x2+402-2x·40cos 45°,

化简得 x2-40 2x+700=0. 设该方程的两根为 x1,x2, 则 P 点的位置有两处,即 P1,P2. 则|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20, 即 P1P2=20(km), 故 t=P1vP2=2200=1(h).

故选 B. 2.甲骑电动车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望见电视塔 S 在电动车 的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向上,则电 动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( )

A.6 km

B.3 3 km

C.3 2 km

D.3 km

答案 C

解析 由题意知,AB=24×14=6(km),∠BAS=30°,∠ASB=75°-30°=45°.

由正弦定理, 得 BS=AsBisni∠n∠ASBBAS=6ssiinn 4350°°=3 2(km).

3.在△ABC 中,已知面积 S=14(a2+b2-c2),则角 C 的度数为(

)

A.135° B.45° C.60° D.120°

答案 B

解析 ∵S=14(a2+b2-c2)=12absin C,

∴a2+b2-c2=2absin C, ∴c2=a2+b2-2absin C. 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C, ∴sin C=cos C,∴tan C=1, 又∵C∈(0°,180°),∴C=45°. 4.已知三角形的三边分别为 a,b,c,面积 S=a2-(b-c)2,则 cos A 等于( )

A.23 B.45 C.1132 D.1157

答案 D 解析 S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc =-2bccos A+2bc,

∵S=12bcsin A,

∴12bcsin A=2bc-2bccos A.

即 4-4cos A=sin A. 平方得 17cos2A-32cos A+15=0. 即(17cos A-15)(cos A-1)=0.

得 cos A=1(舍)或 cos A=1175.

5.在△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为( )

A.

3 2

B.3 4 3

C.152 3

D.154 3

答案 D 解析 在△ABC 中,由余弦定理知 AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos B,

即 49=BC2+25-2×BC×5×(-12),

整理得 BC2+5BC-24=0, 解得 BC=3 或 BC=-8(舍去).

S△ABC=12×AB×BC×sin 120°

1

3 15 3

=2×5×3× 2 = 4 .

6.在△ABC 中,若 cos

B=14,ssiinn

CA=2,S△ABC=

15 4 ,则

b

等于(

)

A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accos B =a2+(2a)2-2×a×2a×14=4a2,

所以 b=c=2a.sin B= 1-cos2B= 415,

又 S△ABC=12acsin B=12×b2×b× 415= 415, 所以 b=2,选 C. 二、填空题 7.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B=________.

答案

33 14

7

5

解析 由正弦定理,得sin 120°=sin C,

∴sin C=5143且 C 为锐角(A=120°).

∴cos C=1114. ∴sin B=sin(180°-120°-C)

=sin(60°-C)= 23cos C-12sin C

3 11 1 5 3 3 3 = 2 ×14-2× 14 = 14 .

8.某海岛周围 38 海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东 60°方向,航行 30 海里后,测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船________触礁的危险.(填“有”或“没 有”) 答案 没有 解析 如图所示,

在△ABC 中,AB=30,∠BAC=30°,∠ABC=135°, ∴∠ACB=15°, 由正弦定理,得 BC=AsBisni∠n∠ACBBAC=30s×insi1n5°30° = 15 =15( 6+ 2).
6- 2 4

过点 C 作 CD 垂直于 AB,交 AB 的延长线于点 D.

在 Rt△BDC 中,CD= 22BC=15( 3+1)>38.

所以没有触礁的危险. 9.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 船到灯塔的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处,A,B 两船间的距离为 3 km,则 B 船到灯塔 C 的距离为________ km.

答案 6-1 解析 由题意知,∠ACB=80°+40°=120°, AC=2 km,AB=3 km, 设 B 船到灯塔 C 的距离为 x km,即 BC=x km. 由余弦定理可知 AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos ∠ACB,
即 9=4+x2-2×2x×???-12???, 整理得 x2+2x-5=0,

解得 x=-1- 6(舍去)或 x=-1+ 6(km). 三、解答题 10.已知△ABC 的面积为 1,tan B=12,tan C=-2,求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的

面积. 解 ∵tan B=12>0,∴B 为锐角,

∴sin

B=

5 5 ,cos

B=2

5

5 .

∵tan C=-2<0,

∴C 为钝角,

∴sin C=2 5 5,cos C=- 55, ∴sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C

= 55×???- 55???+2 5 5×2 5 5=35. ∵S△ABC=12absin C=2R2sin Asin Bsin C

=2R2×35×

5 25 5 × 5 =1.

∴R2=2152,R=5

6

3 .

∴π R2=1225π ,

即外接圆的面积为1225π .

∴a=2Rsin A= 3,b=2Rsin B= 315,

c=2Rsin C=2 315.

综上,a= 3,b= 315,c=2 315,

△ABC

25 外接圆的面积为12

π

.

11.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,

在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°,相距 20 海里的 C 处的乙船,

现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值.

解 在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°, 由余弦定理, 得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 120°=2 800,

所以 BC=20 7. 由正弦定理sinA∠BACB=sinB∠CBAC,得

sin∠ACB=ABsinB∠C BAC= 721.

由∠BAC=120°,知∠ACB 为锐角,



cos∠ACB=2

7

7 .

故 cos θ =cos(∠ACB+30°) =cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°

=2 7 7× 23- 721×12= 1241.

12.某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船 在方位角为 45°,距离为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105°的方向,以 10 海

里/小时的速度向小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 10 3海里/小时的速度前去营救,求舰艇

的航向和靠近渔船所需的时间. 解 如图所示,设所需时间为 t 小时,

则 AB=10 3t,CB=10t,∠ACB=120°.

在△ABC 中,根据余弦定理,则有 AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB,

可得(10 3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,

整理得 2t2-t-1=0,

解得 t=1 或 t=-12(舍去).

即舰艇需 1 小时靠近渔船,

此时 AB=10 3,BC=10,

在△ABC 中,由正弦定理,

BC

AB

得sin∠CAB=sin ∠ACB,

所以

sin∠CAB=BCsiAnB∠ACB=1100×

3 21 3 =2,

又因为∠CAB 为锐角,

所以∠CAB=30°,

所以舰艇航行的方位角为 75°.


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