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习题3

习题3


习题 3 3.1 选择题 (1) 有一半径为 R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固 定光滑轴转动,转动惯量为 J,开始时转台以匀角速度 ω0 转动,此时有一质量为 m 的人站在转台中心,随后人沿半 径向外跑去,当人到达转台边缘时,转台的角速度为

(C)角动量不变,动量不变。 (D)角动量改变,动量改变。 (E)角动量不变,动能、动量都改变。 [答案: (E)]

3.2 填空题 (1) 半径为 30cm 的飞轮, 从静止开始以 0.5rad· s-2 的匀角加速转动, 则 飞 轮 边 缘 上 一 点 在 飞 轮 转 过 240? 时 的 切 向 加 速 度 aτ = ,法向加速度 an= [答案: 0.15; 。

J ?0 (A) J ? mR 2
(C)

(B)

J ?0 ( J ? m) R 2

J ?0 mR 2
[答案: (A)]

(D)

?0

1.256 ]

(2) 如题 3.2(2)图所示,一匀质木球固结在一细棒下端,且可绕 (2) 如题 3.1(2)图所示,一光滑的内表面半径为 10cm 的 半球形碗,以匀角速度 ω 绕其对称轴 OC 旋转,已知放在碗 内表面上的一个小球 P 相对于碗静止, 其位置高于碗底 4cm, 则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (C)10rad/s (B)17rad/s (D)18rad/s 水平光滑固定轴 O 转动,今有一子弹沿着与水平面成一角度的方 向击中木球而嵌于其中,则在此击中过程中,木球、子弹、细棒系 统的 守恒, 原因是 。 木球被击

中后棒和球升高的过程中,对木球、子弹、细棒、地球系统的 守恒。

题 3.2(2)图 [答案:对 o 轴的角动量守恒,因为在子弹击中木球过程中系 统所受外力对 o 轴的合外力矩为零,机械能守恒]

(3) 两个质量分布均匀的圆盘 A 和 B 的密度分别为 ρA 和 ρB (ρA>ρB),且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心 且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为 JA 和 JB,则有 JA (填>、<或=) [答案: <] JB 。

(a) 题 3.1(2)图 [答案: (A)]

(b)

3.3 刚体平动的特点是什么?平动时刚体上的质元是否可以作曲线 运动? 解:刚体平动的特点是:在运动过程中,内部任意两质元间的连线 在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。 平动时刚体上的

(3)如 3.1(3)图所示, 有一小块物体, 置于光滑的水平桌面上, 有一绳其一端连结此物体, ;另一端穿过桌面的小孔,该物体 原以角速度 ? 在距孔为 R 的圆周上转动, 今将绳从小孔缓慢 往下拉,则物体 (A)动能不变,动量改变。 (B)动量不变,动能改变。

质元可以作曲线运动。

3.4 刚体定轴转动的特点是什么?刚体定轴转动时各质元的角速 度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同? 解:刚体定轴转动的特点是:轴上所有各点都保持不动,轴外所有 各点都在作圆周运动, 且在同一时间间隔内转过的角度都一样; 刚

体上各质元的角量相同, 而各质元的线量大小与质元到转轴的距离 成正比。因此各质元的角速度相同,而线速度、向心加速度、切向 加速度不一定相同。



r2 ?

r1v1 8.75? 1010 ? 5.46 ? 104 ? ? 5.26 ? 1012 m v2 9.08? 102
? ? ? ? ? ? 4i m , v ? i ? 6 j m ? s ?1 ,如

3.5 刚体的转动惯量与哪些因素有关?请举例说明。 解:刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有 关。 如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言, 形状大小完全 相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些, 质量相同的木质圆 盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。 一恒力 3.9 物体质量为3kg, =0时位于 r

t

? ? f ? 5 j N 作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相对

3.6 刚体所受的合外力为零,其合力矩是否一定为零?相反,刚体 受到的合力矩为零,其合外力是否一定为零? 解:刚体所受的合外力为零,其合力矩不一定为零;刚体受到的合 力矩为零,其合外力不一定为零。

z 轴角动量的变化. ? ? 3 ? ? ?1 解: (1) ?p ? ? fdt ? ? 5 j dt ? 15 j kg ? m ? s
0

(2)解(一)

x ? x0 ? v0 x t ? 4 ? 3 ? 7
1 2 1 5 at ? 6 ? 3 ? ? ? 3 2 ? 25.5 j 2 2 3 ? ? ? ? ? r1 ? 4i , r2 ? 7i ? 25.5 j

y ? v0 y t ?
3.7 一质量为

m 的质点位于( x1 , y1 )处,速度为
即 质点受到一个沿

? ? ? v ? vx i ? v y j ,

x 负方向的力 f

的作用,

求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩. 解: 由题知,质点的位矢为

v x ? v0 x ? 1
5 v y ? v0 y ? at ? 6 ? ? 3 ? 11 3 ? ? ? ? ? ? v1 ? i1 ? 6 j , v2 ? i ? 11 j

? ? ? r ? x1i ? y1 j
作用在质点上的力为 即

? ? f ? ? fi
所以,质点对原点的角动量为



? ? ? ? ? ? ? L1 ? r1 ? mv1 ? 4i ? 3(i ? 6 j ) ? 72k

? ? ? L0 ? r ? mv ? ? ? ? ? ( x1i ? y1 j ) ? m(vxi ? vy j )

? ? ? ? ? ? ? L2 ? r2 ? mv2 ? (7i ? 25.5 j ) ? 3(i ? 11j ) ? 154. ? ? ? ? ?L ? L2 ? L1 ? 82.5k kg ? m 2 ? s ?1
? dz dt

? ? ( x1mvy ? y1mvx )k
作用在质点上的力的力矩为



解(二) ∵ M

? ? ? ? ? ? ? M 0 ? r ? f ? ( x1i ? y1 j ) ? (? fi ) ? y1 fk



? ? t ? t ? ?L ? ? M ? dt ? ? (r ? F )dt
0 0

3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为 r1 =8.75 ×10 m 时的速率是 v1 =5.46×10 ?m·s ,它离太阳最远时的速率是 v2 =
10 4 -1

? 3? 1 5 ?? ? ? ? ?(4 ? t )i ? (6t ? ) ? t 2 ) j ? ? 5 j dt 0 2 3 ? ? ? ? 3 ? ? 5(4 ? t )k dt ? 82.5k kg ? m 2 ? s ?1
0

9.08 ×10 m ·s ? 这时它离太阳的距离 r2 是多少?( 太阳位于椭圆的一个焦
2 -1

3.10 平板中央开一小孔,质量为

m 的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂

点。) 解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动 量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故 有

一质量为 M 1 的重物. 小球作匀速圆周运动, 当半径为 r0 时重物达到平衡. 今 在 M 1 的下方再挂一质量为 M 2 的物体, 如题3.10图. 试问这时小球作匀速 圆周运动的角速度

? ? 和半径 r ? 为多少??

r1mv1 ? r2 mv2

题 3.11 图(a)

题 3.10 图 解: 在只挂重物时 M 1 ,小球作圆周运动的向心力为 M 1 g ,即

M1 g ? mr 0? 0
① 挂上 M 2 后,则有

2

题 3.11 图(b) 杆处于静止状态,所以对

A 点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有

F (l1 ? l 2 ) ? N ?l1 ? 0

N? ?

l1 ? l 2 F l1
与角速度

(M1 ? M 2 ) g ? mr ?? ? 2
② 重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.

对飞轮, 按转动定律有 向相反. ∵

? ? ?Fr R / I ,式中负号表示 ?
Fr ? ?N

?方

N ? N?



r0 mv0 ? r ?mv?

? r ?0 ? r ? ? ?
2 0 2



Fr ? ?N ? ? ?
I?

l1 ? l 2 F l1

③ 联立①、②、③得 又∵

1 mR 2 , 2

?0 ?

M1 g mr0




? ??

Fr R ? 2? (l1 ? l 2 ) ? F I m R1l

M1 g M1 ? M 2 2 ?? ? ( )3 mr0 M1 r? ? M1 ? M 2 M1 g ?( ) ? r0 2 m? ? M1 ? M 2
1 3

以F

? 100 N 等代入上式,得
? 2 ? 0.40 ? (0.50 ? 0.75) 40 ? 100 ? ? rad ? s ? 2 60 ? 0.25 ? 0.50 3

??

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 3.11 飞轮的质量

m =60kg,半径 R =0.25m,绕其水平中心轴 O 转动,转
-1

速为900rev·min .现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制 动力 F ,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题3.11图所示,闸瓦与飞轮之间 的摩擦系数 ? =0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求: (1)设 F =100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转 了几转? (2)如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力 F ? 解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中 N 、 N ? 是正压力,

t??

? 0 900? 2? ? 3 ? ? 7.06 s ? 60 ? 40

这段时间内飞轮的角位移为

? ? ? 0 t ? ?t 2 ?

1 900? 2? 9 1 40 9 ? ? ? ? ? ( ? )2 2 60 4 2 3 4 ? 53.1 ? 2? rad
2? rad ? s ?1 ,要求飞轮转速在 t ? 2 s 内减少一 60

Fr 、 Fr? 是摩擦力, Fx 和 Fy 是杆在 A 点转轴处所受支承力, R 是轮
的重力, P 是轮在 O 轴处所受支承力.

可知在这段时间里,飞轮转了 53.1 转. (2)

? 0 ? 900 ?

半,可知

?0 ?? 2

? ?0 t

??

?0
2t

??

15? rad ? s ?2 2

用上面式(1)所示的关系,可求出所需的制动力为

F ?? ?

mRl1? 2 ? (l1 ? l2 )

??
?

Rm1 ? rm 2 g I ? m1 R 2 ? m2 r 2 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 2

60 ? 0.25 ? 0.50 ? 15? 2 ? 0.40 ? (0.50 ? 0.75) ? 2 ? 177 N
3.12 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 OO ? 转 动.设大小圆柱体的半径分别为 R 和

1 1 ? 10 ? 0.202 ? ? 4 ? 0.102 ? 2 ? 0.202 ? 2 ? 0.102 2 2 ?2 ? 6.13 rad ? s


?9

r ,质量分别为 M

m .绕在两柱

(2)由①式

体上的细绳分别与物体 m1 和 m2 相连, m1 和 m2 则挂在圆柱体的两侧, 如题3.12图所示. 设 R =0.20m,

T2 ? m2 r? ? m2 g ? 2 ? 0.10? 6.13 ? 2 ? 9.8 ? 20.8
N
由②式

r =0.10m,m =4 kg,M

=10 kg,m1

= m2 =2 kg,且开始时 m1 , m2 离地均为 h =2m.求: (1)柱体转动时的角加速度; (2)两侧细绳的张力. 解: 设 a1 , a 2 和β 分别为 m1 , m2 和柱体的加速度及角加速度, 方向如图 (如图 b).

T1 ? m1 g ? m1 R? ? 2 ? 9.8 ? 2 ? 0.2. ? 6.13 ? 17.1 N
3.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱 体,其质量为 M ,半径为

r ,在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌面 r =0.1
m

与物体间的摩擦,设 m1 =50?kg, m2 =200 kg,M=15 kg,

解: 分别以 m1 , m2 滑轮为研究对象,受力图如图(b)所示.对 m1 , m2 运 用牛顿定律,有

m2 g ? T2 ? m2 a T1 ? m1a
对滑轮运用转动定律,有





题 3.12(a)图 (1)

题 3.12(b)图 又, 联立以上 4 个方程,得 ①

1 T2 r ? T1 r ? ( Mr 2 ) ? 2



m1 , m2 和柱体的运动方程如下: T2 ? m2 g ? m2 a2 m1 g ? T1 ? m1a1
? ? T1 R ? T2 r ? I?

a ? r?





a?

m2 g M m1 ? m2 ? 2

?

200 ? 9.8 ? 7.6 15 5 ? 200 ? 2

m ? s ?2



式中

T1? ? T1 , T2? ? T2 , a2 ? r? , a1 ? R?
I? 1 1 MR 2 ? mr 2 2 2

而 由上式求得

题 3.13(a)图

题 3.13(b)图

3.14 如题3.14图所示,一匀质细杆质量为

m ,长为 l ,可绕过一端 O 的水

平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下.求: (1)初始时刻的角加速度;

(2)杆转过

?

角时的角速度.

1 2 l I? ? Mg (1 ? cos 30 ?) 2 2
③ 由③式得
1 2 1

题 3.14 图 解: (1)由转动定律,有

? 3g 3 ?2 ? Mgl ? ??? (1 ? cos 30?)? ? ? (1 ? )? l 2 ? I ? ? ?
由①式



1 1 mg l ? ( ml 2 ) ? 2 3 3g ?? 2l
l 1 1 mg sin ? ? ( ml 2 )? 2 2 2 3

v ? v0 ?
由②式

I? ml



(2)由机械能守恒定律,有
2 v 2 ? v0 ?

I? 2 m



3g sin ? ?? l

⑤ 所以

(v0 ?
求得

I? 2 I 2 ) ? v0 ? ?2 ml m

3.15 如题3.15图所示,质量为 M ,长为 l 的均匀直棒,可绕垂直于棒一端 的水平轴 O 无摩擦地转动,它原来静止在平衡位置上.现有一质量为

m的

弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相撞.相撞后,使棒从平衡位置 处摆动到最大角度

v0 ? ?

? ?

l? I l 1M (1 ? 2 ) ? (1 ? )? 2 ml 2 3m 6(2 ? 3) gl 3m ? M 12 m

30°处.?

(1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速 v 的值;?
0

(2)相撞时小球受到多大的冲量??

(2)相碰时小球受到的冲量为

? Fdt ? ?(mv) ? mv ? mv
由①式求得

0

? Fdt ? mv ? mv

0

??

I? 1 ? ? Ml ? l 3

??
题 3.15 图 解: (1)设小球的初速度为 v0 ,棒经小球碰撞后得到的初角速度为 小球的速度变为

6(2 ? 3) gl M 6

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.

? ,而

3.16 一个质量为M、半径为 R 并以角速度 盘),在某一瞬时突然有一片质量为

? 转动着的飞轮 (可看作匀质圆

v ,按题意,小球和棒作弹性碰撞,所以碰撞时遵从角动量
mv0l ? I? ? mvl
1 2 1 2 1 2 mv 0 ? I? ? mv 2 2 2


m 的碎片从轮的边缘上飞出,见题3.16

守恒定律和机械能守恒定律,可列式:

图.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.? (1)问它能升高多少?? (2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能.?

② 上两式中 I

?

1 2 Ml ,碰撞过程极为短暂,可认为棒没有显著的角位移; 3

题 3.16 图 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

碰撞后,棒从竖直位置上摆到最大角度 式:

? ? 30o ,按机械能守恒定律可列

v0 ? R?

设碎片上升高度 h 时的速度为

v ,则有
2 0

v ? v ? 2 gh
2

令v

? 0 ,可求出上升最大高度为

H?
(2) 圆 盘 的 转 动 惯 量

2 v0 1 2 2 ? R? 2g 2g

m v sin ? 2 1 [(m ? m0 ) R 2 ][ 0 0 ] Ek 2 ( m ? m0 ) R m sin 2 ? ? ? 0 1 E k0 m ? m0 2 m0 v 0 2
3.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示,弹簧的劲度系数为2.0 N·m ;定滑轮的转动惯量是0.5kg·m ,半径为0.30m ,问当6.0 kg质量的物 体落下0.40m 时,它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长.
-1 2

1 I ? MR 2 , 碎 片 抛 出 后 圆 盘 的 转 动 惯 量 2

I? ?

1 MR 2 ? mR 2 ,碎片脱离前,盘的角动量为 I? ,碎片刚脱离 2

后,碎片与破盘之间的内力变为零,但内力不影响系统的总角动量,碎片与 破盘的总角动量应守恒,即

I? ? I ?? ? ? mv0 R

题 3.18 图

? ? 为破盘的角速度.于是 1 1 MR 2? ? ( MR 2 ? mR 2 )? ? ? mv 0 R 2 2 1 1 ( MR 2 ? mR 2 )? ? ( MR 2 ? mR 2 )? ? 2 2 得 ? ? ? ? (角速度不变)
式中 圆盘余下部分的角动量为

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,重物下落的过程中,机械能守恒, 以最低点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则有

mgh ?


1 1 1 mv 2 ? I? 2 ? kh 2 2 2 2 ? ? v/R

1 ( MR 2 ? mR 2 )? 2 1 1 ( MR 2 ? mR 2 )? 2 转动动能为 E k ? 2 2
3.17 一质量为

故有

(2mgh ? kh2 ) R2 v? mR2 ? I

m 、半径为R的自行车轮,假定质量均匀分布在轮缘上,可绕

(2 ? 6.0 ? 9.8 ? 0.4 ? 2.0 ? 0.42 ) ? 0.3 6.0 ? 0.32 ? 0.5 ? 2.0m ? s ?1 ?

轴自由转动.另一质量为 m0 的子弹以速度 v0 射入轮缘(如题3.17图所示方 向). (1)开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值? (2)用

m , m0 和 ?

表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.

题 3.17 图

解: (1)射入的过程对 O 轴的角动量守恒

R sin ?m0 v0 ? (m ? m0 ) R 2?


??

m0 v0 sin ? (m ? m0 ) R

(2)



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