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2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.2 正弦、余弦的图象与性质学案 苏教版必修4

2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.2 正弦、余弦的图象与性质学案 苏教版必修4

2019-2020 学年高中数学 第 1 章 三角函数 1.3.2.2 正弦、余弦的 图象与性质学案 苏教版必修 4 1. 掌握 y=sin x, y=cos x 的最大值与最小值, 并会求简单三角函数的值域和最值. (重 点、难点) 2.掌握 y=sin x,y=cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小.(重点) 3.会求函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )的单调区间.(重点、易错点) [基础·初探] 教材整理 正弦函数、余弦函数的图象与性质 阅读教材 P28~P29 的全部内容,完成下列问题. 函数 正弦函数 y=sin x,x∈R 余弦函数 y=cos x,x∈R 图象 定义域 值域 R [-1,1] π 当 x=2kπ + (k∈Z)时, 2 R [-1,1] 当 x=2kπ (k∈Z)时, 取得最大值 1; 当 x=2kπ +π (k∈Z)时, 取得最小值-1 周期函数,T=2π 偶函数,图象关于 y 轴对称 最值 取得最大值=1; π 当 x=2kπ - (k∈Z)时, 2 取得最小值-1 周期性 奇偶性 周期函数,T=2π 奇函数,图象关于原点对称 π π? ? 在?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z)上 2 2? ? 单调性 是增函数; π 3π 在 2kπ + ,2kπ + (k∈Z)上是 2 2 减函数 π 关于 x=kπ + (k∈Z)成轴对称, 关 2 于(kπ ,0)(n∈Z)成中心对称 在[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z)上是 增函数; 在[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上是 减函数 关于 x=kπ (k∈Z)成轴对称,关 π 于 kπ + ,0(k∈Z)成中心对称 2 对称性 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) ? π? (1)y=sin?x+ ?是奇函数.( 2? ? ) ) ) (2)y=cos x 是周期为 π 的偶函数.( ? π π? (3)y=sin x 在?- , ?上单调递减.( ? 2 2? (4)y=cos x 的值域为(-1,1).( ) ? π? 【解析】 (1)×.∵y=sin?x+ ?=cos x,∴是偶函数. 2? ? (2)×.y=cos x 的周期为 2π . ? π π? (3)×.y=sin x 在?- , ?上单调递增. ? 2 2? (4)×.y=cos x 的值域为[-1,1]. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 求三角函数的单调区间 求下列函数的单调递增区间: (1)y=cos 2x; (2)y=2sin? ?π -x?. 【导学号:06460024】 ? ?4 ? 【精彩点拨】 (1)借助 y=cos x 的单调性求解; (2)解答本题要先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再确定所求的单调区间后求解. 【自主解答】 (1)令 z=2x,由 y=cos z 的单调递增区间为[-π +2kπ ,2kπ ],k ∈Z 可知 -π +2kπ ≤2x≤2kπ ,k∈Z, π ∴- +kπ ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 ? π ? ∴单调递增区间为?- +kπ ,kπ ?,k∈Z. ? 2 ? (2)y=2sin? ?π -x? ? ?4 ? ? π? =-2sin?x- ?, 4? ? π 令 z=x- , 4 则 y=-2sin z. 因为 z 是 x 的一次函数,所以要取 y=-2sin z 的递增区间,即取 sin z 的递减区间, π 3π 即 2kπ + ≤z≤2kπ + (k∈Z), 2 2 π π 3π ∴2kπ + ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 ∴函数 y=2sin? ?π -x?的递增区间为 2kπ +3π ,2kπ +7π (k∈Z). ? 4 4 ?4 ? 求函数 y=A ω x+φ A>0,ω 的单调区间的一般步骤: π π 当 ω >0 时,把“ω x+φ ”看成一个整体,由 2kπ - ≤ω x+φ ≤2kπ + 2 2 k ∈Z π 3π 解出 x 的范围,即为函数递增区间;由 2kπ + ≤ω x+φ ≤2kπ + 2 2 k∈Z 解出 x 的范围,即为函数递减区间. 当 ω <0 时,可先用诱导公式转化为 y=- -φ -ω x-φ ,则 y= 余弦函数 y= -ω x 的递增区间即为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间 ω x+φ A A>0,ω 的单调性讨论同上. [再练一题] π? ? 1.求函数 y=2sin?2x+ ?,x∈[-π ,0]的单调减区间. 6? ? π π 3π 【解】 当 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 时,函数单调递减, 2 6 2 π 2π 解得:kπ + ≤x≤kπ + . 6 3 ∵x∈[-π ,0], π 2π ∴取 k=-1,此时-π + ≤x≤-π + , 6 3 5π π 即- ≤x≤- . 6 3 π? π? ? ? 5π 故函数 y=2sin?2x+ ?,x∈[-π ,0]的单调减区间为?- ,- ?. 6? 3? ? ? 6 比较三角函数值的大小 用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. ? π? ? π? (1)sin?- ?与 sin?- ?; ? 18? ? 10? (2)sin 196°与 cos 156°; ? 23 ? ? 17 ? (3)cos?- π ?与 cos?- π ?. ? 5 ? ? 4 ? 【精彩点拨】 先把异名函数同名化,再把异单调区间内的角化为同一单调区间内,最 后借助单调性比较大小. π π π π 【自主解答】 (1)∵- <- <

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