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平面向量、数列,解三角形练习题2

平面向量、数列,解三角形练习题2


期中测试(二)
一、选择题. 1.已知 a =(-2,1) , b =( x , ? A.1 B.2 C.3
? ? ? ? 1 ) ,且 a // b ,则 x =( 2 D.5



2.已知向量 a ? (k, 3), b ? (1, 4), c ? (2, 1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k =( A. ?
9 2



B.0

C.3 )

D.

15 2

3.设 a , b 是两个非零的平面向量,下列说法正确的是( ①若 a ×b = 0 ,则有 a+b = a ? b ; ② a ?b ? a b ;

③若存在实数 λ , 使得 a =λ b , 则 a+b = a ? b ; ④若 a+b = a ? b , 则存在实数 λ , 使得 a =λ b . A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ ( )

4.设向量 a , b 均为单位向量,且| a + b | ? 1 ,则 a 与 b 夹角为 A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

D.

3? 4

5.在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 3 , B ? 600 ,则角 A 的大小为( A. 30 B. 60 C. 30 或 150 D. 60 或 120



6.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若 2c2 ? 2a 2 ? 2b2 ? ab ,则 ?ABC 是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
2sin 2 B ? sin 2 A 的值为( sin 2 A



7.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 2b ,则 A. ?
1 9



B.

1 3

C.1

D.

7 2

8.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.3 D.4



9.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S7 ? 49,则 a2 , a6 的等差中项是 A.





49 7 B.7 C. ?7 D. 2 2 10.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于 ( A.-10 B.-8 C.-6 D.-4
11.在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 等于( (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 )



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12.设 Sn , Tn 分别是等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和,若 A.
5 13

a Sn n ? (n ? N * ) ,则 5 ? ( ) b6 Tn 2n ? 1
9 23

B.

9 19

C.

11 23

D.

13.若两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 An 、Bn,且满足 A.

An 4n ? 2 a ? a13 ? ,则 5 的值为 Bn 5n ? 5 b5 ? b13

7 9

B.

8 7

C.

19 20

D.

7 8


14.在等比数列 {a n } 中, a 5 ? a 6 ? a(a ? 0) , a15 ? a16 ? b ,则 a 25 ? a 26 等于( A. b
a

B.

b2 a2

C.

b2 a

D. b2
a

15.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ? ( A.26 二、填空题. B.27 C.28 D.29 .



16.在等差数列 ?an ? 中, a7 ? m, a14 ? n, 则 a28 ?

17.已知 a ? ? ?,2? , b ? ? ?3,5? ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是



18.已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 成等差数列,且 AB ? 1 , BC ? 4 ,则边 BC 上的中线 AD 的长 为 . 19.在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? .

20. 在公差为正数的等差数列 {an } 中,a10 ? a11 ? 0, 且a10 a11 ? 0, S n 是其前 n 项和, 则使 S n 取最小值的 n 是 。 三、解答题. 21.设向量 a, b 满足| a |=| b |=1,且|2 a - b |= 5 . (1)求 | 2a ? 3b | 的值; (2)求 3a ? b 与 a ? 2b 夹角 ? .

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22. A , B , C 为 ?ABC 的三内角,其对边分别为 a , b , c ,若 cos B cos C ? sin B sin C ? (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

1 . 2

? ? 23. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若向量 m ? (? cos B, sin C ) , n ? (? cosC,? sin B) ,

? ? 1 且m?n ? . 2

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若 b ? c ? 4, ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 a 的值.

24. 等差数列 ?an ? 中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 Sn . 等比数列 {bn } 的各项均为正数,b1 ? 1 , 且 b2 ? S2 ? 12 ,

a3 ? b3 .
(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;

?1? (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

试卷第 3 页,总 4 页

25.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ?1 ? 2 Sn ? 1 ? n ? N ? ? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 2n ? 1 ? (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

26.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n(n ? 1) , (1)求数列 {an } 的通项公式 an (2)数列 {bn } 的通项公式 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn an ? an? 2

27.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 3Sn ? an ?1 (n ? N ) . (1)求 a1 , a2 ; (2)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (3)求 an .

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参考答案 1.A. 【解析】
? ? 1 试题分析:因为 a // b ,直接由共线定理知, ? 2 ? ( ? ) ? x ,即 x ? 1 ,故应选 2 A. 考点:1、平面向量的坐标运算;2、共线定理. 2.C. 【解析】






? ?


? ?







(2a ? 3b) ? c







所以 k ? 3 , 故应选 C. (2a ? 3b) ? c ? 2 a ? c ? 3 b ? c ? 2(2k ? 3) ? 3(2 ? 4) ? 4k ? 12 ? 0 , 考点:1、向量的坐标运算;2、向量的数量积的应用. 3.B 【解析】
b=0 试 题 分 析 : ① 若 a综 a^ b

a+b = a ? b , 故 ① 正 确 ; ②

a ? b ? a b cos ? ? a b ,故②错误;③若存在实数 λ ,使得 a =λ b ,等价于

a // b ,即 a 与 b 方向相同或相反,而 a+b = a ? b 表示 a 与 b 方向相同,故③错;
④若 a+b = a ? b ,则 a 与 b 方向相反,故存在实数 λ ,使得 a =λ b ,故④正 确. 考点:向量的基本性质. 4.C. 【解析】 ( a + b ) 2 ? 1 , a ? b ? ? 1 , cos ? ? ? 1
2

2

∴〈 a , b 〉 ? 2? ,故选 C.
3

考点:平面向量的夹角. 5.A 【解析】 试题分析:有正弦定理得
A ? 30? 。

2 2 3 1 ? ,解得 sin A ? ,因为 a ? b,? A ? B ,则 ? sin A sin 60 2

考点: (1)正弦定理; (2)三角形中大边对大角。 6.D 【解析】
1 试 题 分 析 : 由 2c2 ? 2a 2 ? 2b2 ? a b 得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab , 由 余 弦 定 理 可 知 : 2

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1 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ,所以有 cos C ? ? ? 0 ,故 C 为钝角,选 D. 4

考点:余弦定理. 7.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 3a = 2b 得
b 3 = a 2
2

, 根 据 正 弦 定 理 可 得

骣 2sin 2 B - sin 2 A 2b2 - a 2 b2 3 = = 2 ? 1 = 2? 琪 琪 2 2 2 sin A a a 2 桫
考点:正弦定理. 8.D 【解析】

7 1 = .故正确答案为 D. 2

试题分析: lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg a8 ? lg?a1 ? a2 ??a8 ? ? lg?a4 ? a5 ? ? 4 lg10 ? 4 ,故答
4

案为 D. 考点:1、对数的运算;2、等比数列的性质. 9.B 【解析】 试题分析:∵ S7 ?

? a1 ? a7 ? ? 7 ? ? a2 ? a6 ? ? 7 ? 49 ,∴ a2 ? a6
2 2

2

?7.

考点:等差数列的性质. 10.C 【解析】 试题分析:有题可知,a1,a3,a4 成等比数列,则有 a3 ? a1a4 ,又因为{an}是 等差数列,故有 (a2 ? d )2 ? (a2 ? d )(a2 ? 2d ) ,公差 d=2,解得 a2 ? ?6 ; 考点:?等差数列通项公式?等比数列性质 11.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16 , 所 以
S11 ? 11? a1 ? a 2
1 1

2

? ? 11?16 ? 88 .故选 B.
2

考点:1 等差数列的性质;2 等差数列的前 n 项和. 12.D 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 知 和 为 : An2 ? Bn , 所 以

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Sn n ? (n ? N * ) Tn 2n ? 1
an ? Sn ? S
n?1



S n ? n2 , Tn ? 2n2 ? n

, 所 以 当

n?2

时 ,

? 2n ?1, bn ? Tn ? Tn?1 ? 4n ?1 ,所以

a5 9 ,所以答案为 D. ? b6 23

考点:1.等差数列的前 n 项和;2.通项公式. 13.D 【解析】 试题分析:由题可知,
a5 ? a13 a9 a A a A ? ,由公式 n ? 2 n ?1 可有 9 ? 17 成立,又因 b9 B17 b5 ? b13 b9 bn B2 n ?1



An 4n ? 2 a A 7 ? ,即 9 ? 17 ? 。 Bn 5n ? 5 b9 B17 8

考点:等差数列的性质 14.C 【解析】a5 ? a6 , a7 ? a8 , a9 ? a10 , ??? 成等比数列,a15 ? a16 是这个等比数列的第 6 项,
b2 a25 ? a26 是第 11 项;则 a, b, a25 ? a26 也成等比数列,所以 a25 ? a26 ? . 故选 C a

15.B 【解析】 试题分析:有题可知,等差数列 {an } 的前 9 项和为 81,则有
(a1 ? a9 ) ? 9 ? 81 , 2

化 简 可 得 a1 ? a9 ? 18 , 又 因 为 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ? 2a5 , 因 此

a2 ? a5 ? a8 ? a2 ? a8 ? a5 ? 18 ? 9 ? 27 ;
考点:等差数列的求和公式 16. 3n ? 2m 【解析】 试 题 分 析 : 设 公 差 为
d,



7d ? a14 ? a7 ? n ? m, a28 ? a7 ? 21d ? m ? 3(n ? m) ? 3n ? 2m
考点:等差数列通项公式 10 6 17. ? ? 且? ? ? 3 5 【解析】 试题分析:因为向量 a 与 b 的夹角为锐角,所以 a ? b ? 0 且 a 与 b 不共线,所以

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?3? ? 10 ? 0 且 5? ? ?6 ,解之得: ? ?

10 6 且? ? ? 3 5

考点:向量夹角及坐标运算. 18. 3 【解析】 试题分析:因为 A 、 B 、 C 成等差数列 ,所以 2 B ? A ? C ,又因为 A ? B ? C ? ? , ? 所以 B ? . 3 1 A ?1 B , B ? D ?2B 因 为 , 由 C余 弦 定 理 可 得 2 1 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 AB ? BD ? cos B ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? ? 3 ,所以 AD ? 3 . 2 考点:1 余弦定理;2 等差中项. 19.64 【解析】 试题分析: 设公比为 q, 则 a3q4 ? 2a3q2 ? 32 ? 0 , 即 q4 ? 2q2 ? 8 ? 0 , 得 q2 ? 4 或 q 2 ? ?2 (舍去) ,所以 a7 ? a3q4 ? 4 ?16 ? 64 ; 考点:1.等比数列的通项公式; 20.10 【解析】 试题分析:因为数列的公差为正数,所以数列为递增数列,又因为

a10 ? a11 ? 0, 且a10a11 ? 0 ,
所以 a10 ? 0, a11 ? 0 ,所以前 10 项的和最小,即使 S n 取最小值的。 考点:等差数列的定义及性质. ? 21. (1) 13 ; (2) ? ? . 4 【解析】 试题分析:解题思路:(1)利用平面向量的模长公式 a ? a 进行求解(2)利用
2a ? b ? 5 得出 a, b 的夹角,再求 3a ? b 与 a ? 2b 的数量积与两者模长之积,再
2

求夹角.规律总结:涉及平面向量的模长、夹角的求解问题,均要灵活运用数量 积定义 a ? b ? a ? b cos ? 的变形,一定要注意运算结果的正确性. 试题解析: (1)? 2a ? b ? 4a ? 4a ? b ? b ? 4 ? 4a ? b ? 1 ? 5 ,? a ? b ? 0 ,
2 2 2

? 2a ? 3b ? 4a ? 9b ? 4 ? 9 ? 13, 2a ? 3b ? 13 .

2

2

2

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2 2

3a ? 2b 5 2 设 3a ? b 与 2a ? 3b 的夹角为 ? , cos ? ? , ? ? ? 2 10 ? 5 5 2 3a ? b a ? 2b
又?? ? ?0, ? ?, ? ? 为所求. 4 考点:平面向量的数量积运算. 2 22. (Ⅰ) A ? ? ; (Ⅱ) S ABC ? 3 3 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 根 据 题 意 利 用 两 角 和 的 余 弦 值 1 cos ? B ? C ? ? cos B cos C ? sin B sin C 的逆用,将条件化简,为 cos ? B ? C ? ? ,再 2 2? ? 利用三角形内角和 为 ? , B?C ? ,得到 A? ; (Ⅱ)将余弦定理 3 3
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 变形为: a 2 ? ? b ? c ? ? 2bc ? 2bc cos A 再将已知条件带入
2

(3a ? b) ? (a ? 2b)

?

1 bc sin A ,求得 ?ABC 的面积.为 3 得结果. 2 1 试题解析: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ? 2 1 ? cos( B ? C ) ? 4分 2

求得 bc 的值,由 S

ABC

?

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?
? A ? B ? C ? ? ,? A ?

?

2? . 3

3

6分 7分

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
2? 3

9分 12 分 14 分

1 即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

考点:1.两角和的余弦公式;2.三角形的余弦定理;3.三角形的面积公式. 2π 23. (Ⅰ) A ? (Ⅱ) a ? 2 3 3 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由向量的数量积可得一个三角的等式,由三角恒等变换可求出 结论. (Ⅱ) 由面积 S ? 3 , 及面积公式得到一个等式, 再利用余弦定理即可得到结论.

答案第 5 页,总 8 页

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1 , 2 1 ∴ cos B ? cos C ? sin B ? sin C ? , 2 1 1 即 cos( B ? C ) ? ,∴ cos( π ? A) ? , 2 2 1 ∴ cos A ? ? . 2 2π 又 A ? (0, π) ,∴ A ? . 3 1 1 2π (Ⅱ) S ?ABC ? bc ? sin A ? bc ? sin ? 3, 2 2 3 ∴ bc ? 4 . 2π ? b2 ? c 2 ? bc , 又由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 3

试题解析: (Ⅰ)∵ m ? n ?

2分 4分

6分

8分 10 分 12 分

∴ a2 ? (b ? c)2 ? bc ? 16 ? 4 ? 12 , a ? 2 3 . 考点:1.向量的数量积.2.余弦定理. 24. (1) an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n , bn ? 3n?1 ; (2) 【解析】
2n . ( 3 n ?1 )

试题分析: (1)因为 ?an ? ,{bn } 分别是等差、等比数列,故可设其公差、公比依

?1? 题可列方程组求得,从而求得其通项公式; (2)由(1)易得 ? ? 的式子,观察 ? Sn ?
其式子特点易知可用裂项相消法求其前 n 项和 Tn · 试题解析: (Ⅰ)设 ?an ? 公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,由已知可得

?q ? 3 ? 3 ? d ? 12 ?d ? 3 , 又q ? 0 ∴ ? , ? 2 ?q ? 3 ?q ? 3 ? 2d
所以 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n , bn ? 3n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ?中, a1 ? 3 , an ? 3n , ∴ Sn ? ∴ ∴
n(3 ? 3n) , 2

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ), Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

答案第 6 页,总 8 页

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Tn ?

1 1 ? ? S1 S2

+

1 2 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? Sn 3 2 2 3

1 1 2 1 2n . ?( ? ) ] ? (1 ? )? n n ?1 3 n ?1 ( 3 n ?1 )

考点:等差、等比数列通项公式,裂项求和 n?2 25. (1) an ? 3n?1 ;(2) Tn ? 6 ? n ?1 3 【解析】 试题分析: ( 1 ) 由 an?1 ? 2Sn ? 1 得 到 an ? 2Sn?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式作差可求得 (2)用错位相减法 an?1 ? 3an ,所以数列 {an } 为等比数列,可求数列的通项公式; 可求 Tn . 试题解析: (1)因为 an ?1 ? 2 Sn ? 1 ? n ? N ? ? ,所以 an ? 2Sn?1 ? 1? n ? 2? ,两式相减 得 an?1 ? 3an

? n ? 2? .由 an?1 ? 2Sn ? 1 得 a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,所以 a2 ? 3a1 .因此数列 ?an ? 是首项为
1 ,公比为 3 的等比数列, an ? 3n?1 ;

(6 分)
? 2n ? 1 2n ? 1 ? n , 3n ?1 3

(2) 因为 Tn ?

3 5 ? ? 30 3

?

2n ? 1 2n ? 1 1 3 5 ? n ?1 , 所以 Tn ? ? 2 ? n ?2 3 3 3 3 3

2 ?1 1 两式相减得 Tn ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 3 ?3 3

?

2n ? 4 n?2 1 ? 2n ? 1 , 所以 Tn ? 6 ? n ?1 . ? n ?4? n n ?1 ? 3 3 3 ? 3

(13 分) 考点:等比数列定义及性质, an 与 Sn 关系,错位相减法.
1 3 1 1 ? ). 26. (1) an ? 2n ; (2) ( ? 8 2 n ?1 n ? 2 【解析】

试题分析: (1)由数列前 n 项和求通项公式,要分两步进行,即 n ? 1 时,a1 ? S1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,然后检验 n ? 1 是否满足,若不满足分段来写; (2)求 数列前 n 项和,首先考虑其通项公式,由通项公式的不同特点,选择相应的求和 1 1 1 ) ,故可利用裂项相消法求和. 方法,本题由(1)得 an ? 2n ,则 bn ? ( ? 8 n n?2 试 1分
n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n(n ? 1) ? (n ? 1)n ? 2n











1



n ?1





S1 ? a1 ? 2

3分

答案第 7 页,总 8 页

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经检验 n ? 1 时成立, 综上 an ? 2n (2)由(1)可知 bn ?
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 2n ? 2(n ? 2) 4 n ? (n ? 2) 8 n n ? 2

4分 5分 7分

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ) = (1 ? ? ? ? ? ? ?? ? 8 3 2 4 3 5 n ?1 n n ? 2 1 1 1 1 ? ) = (1 ? ? 8 2 n ?1 n ? 2 1 3 1 1 ? ) = ( ? 12 分 8 2 n ?1 n ? 2 考点:1、数列通项公式求法;2、裂项相消法求和. 1 1 27. (1) a1 ? ? , a2 ? (2) (3)见解析 2 4 【解析】

9分

试题分析: (1)由已知 3Sn ? an ?1 ,可求得数列 ?an ? 的首项,再由 3Sn ? an ?1 递 推一个等式即可求得第二项的值. 1 1 (2)由 an ? S n ? S n ?1 ? (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) ,可求得数列 ?an ? 的通项,即可得到 3 3 结论. (3)由(2)可得结论. 1 试题解析: (1)解:由 3S1 ? a1 ? 1,得 3a1 ? a1 ? 1,∴ a1 ? ? 。 2 1 又 3S2 ? a2 ?1 ,即 3a1 ? 3a2 ? a2 ?1 ,得 a2 ? . 4
1 1 a 1 (2)证明:当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) ,得 n ? ? ,所以 3 3 an ?1 2

?an ? 是首项为 ? 2 ,公比为 ? 2 的等比数列.
1 (3)解:由(2)可得 an ? (? ) n . 2 考点:1.数列的递推思想.2.等比数列的性质.

1

1

答案第 8 页,总 8 页



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