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2014-2015-1-2高等数学重修试卷B

2014-2015-1-2高等数学重修试卷B


题号 得分

























本试卷共八道大题,满分 100 分.

注意:装订 线左侧请不 要答题,请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容,否则将 按相应管理 规定处理。 院系:

一、填空题(本大题 20 分,每空 4 分)
1. lim x( x ? 1 ? x) ?
2 x ???

得分:

. .

2. y ? ln 1 ? t 2 ,则 dy ? 3. 当 a ? 4. lim?

时,函数 f ( x) ? a sin x ? sin 3x 在 x ?
x

1 3

?
3

处取得极值.

? x ? 2? ? ? x ?? x ? 1 ? ?
5

.

5.

x3 sin 2 x ? ?5 x 4 ? 2 x 2 ? 1 dx

.

专业:

二、求极限(本大题 24 分,每小题 6 分) x 1 ? cos t ? 0 t dt 1. lim x ?0 x

得分:

班级:

姓名: 2. lim ? x ?0 学号:

?

1 1? ? ? ? ln(1 ? x) x ?

1

3.

?

e 1

xlnxdx

4.

?

3

sin x ? cos x dx sin x ? cos x

三、计算(本大题 8 分)
求由参数方程 ?

得分:
所确定的函数的一阶导数和二阶导数.

? x ? a cos t
3 3 ? y ? a sin t

2

2014—2015 学年第 1、2 学期高等数学(上)重修考试试卷(B 卷)
四、 (本大题 16 分,每小题 8 分) 2x 1. 设 x ? 0 ,证明 ln( x ? 1) > . 2? x

得分:

注意:装订 线左侧请不 要答题,请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容,否则将 按相应管理 规定处理。 院系:

1 ? ? x sin , x ? 0, 2. 要使函数 f ( x) ? ? 在 (??, ??) 内连续, a 应该怎样取值? x ?a ? x 2 x ? 0, ?

专业:

班级: 五、 (本大题 6 分) 姓名: 求曲线 y ?

1 与 y ? x 及 x ? 2 所围成平面图形的面积. x

得分:

学号:

3

六、 (本大题 10 分)
确定函数 y ? xe 的单调区间,并求出该函数图形的拐点及凹凸区间.
?x

得分:

七、 (本大题 8 分)
设 a0 ?

得分:

a a1 ? ? ? n ? 0 ,证明多项式 f ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n 在 (0,1) 内至少有一个零点. 2 n ?1

.

4

得分:

5

2009 —2010 学年第 1、2 学期高等数学课程重修考试试卷(B 卷)答案及评分标准

本试卷共七道大题,满分 100 分。 一、填空题(本大题 20 分,每空 4 分) 1 1、 . 2 t dt . 2、 1? t2
3、2 . 4、 e . 5、0.

授 课 专业班级:

二、 (本大题 24 分,每小题 6 分) x 1 ? cos t ? 0 t dt 1 ? cos x ? lim 1、解: lim x ?0 x ?0 x x
? lim sin x
x ?0

3分

?0
2、解: lim?
x ?0

3分

?

1 1? x ? ln(1 ? x) ? ? ? lim x ? 0 x ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) x ?
? lim
x ?0

1?

1 1? x

ln(1 ? x) ?

x 1? x

3分

? lim
x ?0

x (1 ? x) ln(1 ? x) ? x
3分

? lim

1 1 ? x ?0 ln(1 ? x) ? 2 2

3、解:

?

e 1

xlnxdx ? ? ln xd
1

e

x2 2
e

2 e x ? x2 ? 1 ? ? ln x ? ? ? ? dx ?2 ?1 1 2 x

4分

e2 1 ? x 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?1

e

e2 1 ? ? 4 4
1

2分

1 ? sin x ? cos x 4、解: ? dx ? ? (sin x ? cos x) 3 d(sin x ? cos x) 3 sin x ? cos x
2 3 ? ( sin x ? cos x) 3 ? C 2

3分

3分

三、 (本大题 8 分)
4、解:

dy 3a sin 2 t cos t ? ? tan t ? dx 3a cos2 t (? sin t )
d2 y d 1 ? ( ? tan t ) 2 dx dx dx dt
? ? sec 2 t ? 1 ?3a cos 2 t sin t

3分

2分

1 sec 4 t csc t 3a 四、 (本大题 16 分,每小题 8 分) 2x 1、证明:设 f (x) ? ln( x ? 1) ? ,则 2? x

3分

f ' (x) ?

1 4 x2 ? ? ?0. x ? 1 (2 ? x)2 ( x ? 1)(2 ? x)2

4分

f ( x) 在 [0, x] 上连续,在 (0, x) 内 f ' ( x) ? 0 ,因此在 [0, x] 上 f ( x) 单调增加,
从而当 x ? 0 时, f (x) ? f (0) . 由于 f (0) ? 0 ,故 f (x) ? f (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?

2x ? 0 ,亦即 2? x
4分 3分

ln( x ? 1) ?

2x (x ? 0) 2? x
x ?0

2、因为函数在 x ? 0 连续,所以有 lim f ( x) ? f (0) ? a

x ?1

lim f ( x) ? lim (a ? x 2 ) ? a ? ?
x ?0

1 lim f ( x) ? lim ( x sin ) ? 0 ? ? x ?1 x ?0 x a ? 0. 故

5分

五、 (本大题 6 分) 2 1 解: A ? ? ( x ? )dx 1 x

3分

2

2014 —2015 学年第 1、2 学期高等数学课程重修考试试卷(B 卷)答案及评分标准
? x2 ? 2 ? ? ? ? ? ln x ?1 ? 2 ?1
? 3 ? ln 2 2
3分
2

六、 (本大题 10 分) 解:定义域为 (??,??) , y? ? e? x ? xe? x ? e? x (1 ? x) , 令 y ? ? 0 得 x ? 1 ,当 x ? 1 时, y? ? 0 ,所以函数的单调减区间为 (??,1] .

授 课 专业班级:

当 x ? 1 时, y? ? 0 ,所以函数的单调减区间为 [1, ??) .

3分

y?? ? e? x ( x ? 2) 令 y ?? ? 0 得 x ? 2 ,
当 x ? 2 时, y ?? ? 0 ,所以函数在 (??, 2] 上图形是凸的. 当 x ? 2 时, y ?? ? 0 ,所以函数在 (2, ??] 上图形是凹的. 当 x ? 2 , y ? 2e?2 ,所以拐点为 (2, 2e?2 ) . 5分 2分

七、 (本大题 8 分)
证明: 设 F ( x) ? a 0 x ?

a a1 2 x ? ? ? n x n ?1 ,则 F ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导, 2 n ?1
3分

F ' ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n


F (0) ? 0 , F (1) = a0 ?

a a1 ? ? ? n ? 0 ,即有 F (0) ? F (1) 2 n ?1
'

2分

由罗尔定理可知,在 (0,1) 内至少存在一点 ? 使得 F (? ) ? 0 ,即: 多项式 f ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n 在 (0,1) 内至少有一个零点. 3分

3



2分

4



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