haihongyuan.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

东北育才双语学校2012-2013学年度高三年第五次模拟考试理科数学试卷

东北育才双语学校2012-2013学年度高三年第五次模拟考试理科数学试卷


答题时间:120 分钟 满分:150 分

命题人:高三备课组 校对人:高三备课组

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A= x y ? A. ?2,? 3 D 2. 若命题 p: ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 02 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是( A. ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 02 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 )

?

- x ? 10 x ? 16 ,集合 B= ? y y ? log
2

?

2

x , x ? A ? ,则 A ? C R B ? (

)

B. ?1, ? 2

C. ?3,? 8

D. ?3,? 8

B. ? x 0 ? ? - ? , - 3 ? ? ?3 , ?? ?, x 02 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 D. ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 02 ? 2 x 0 ? 1 ? 0

C. ? x 0 ? ? - ? , - 3 ? ? ?3 , ?? ?, x 02 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 A

3. 投掷两颗骰子, 其向上的点数分别为 m 和 n , 则复数 ( m ? ni ) 为纯虚数的概率为 (
2



A. C

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

? xs 4. 将 函 数 f ( x ) ? c o s ( ? x ) ( c o ?
g ( x ) ,则 g ( x ) 具有性质(

2 s i? x n

)

2

s i n 象向左平移 x 图 的

?
8

后得到函数


?
2

A.最大值为 2 ,图象关于直线 x ? C.在 ( ?
?
2

对称

B.周期为 ? ,图象关于 ( D.在 ( 0 ,
?
4

?
4

, 0 ) 对称

, 0 ) 上单调递增,为偶函数

) 上单调递增,为奇函数

D 5. 网格纸的小正方形边长为 1,一个正三棱锥的左视图如图所示,则这个正三棱锥 的体积为( ) A. 3 B 6.等比数列 ?a n ? 各项为正, a 3 , a 5 , - a 4 成等差数列. S n 为 ?a n ? 的前 n 项和,则 ( )
S6 S3

B. 3 3

C.

9 2

D.

9 2

3

=

A.2 C

B.

7 8

C.

9 8

D.

5 4

?

7. 设函数 f ( x ) ? ( x ? a ) , 其中 n ? 6 ? 2 cos xdx ,
n

f ?( 0 ) f (0)

? ? 3 , f ( x ) 的展开式中 x 则

4

0

的系数为( A.-360 D

) B.360 C.-60 D.60

8. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互 不相同的种数为( A.5 B ) C.105 D.210

B.80
? 2y ? x ? 0 ?y ? 5? x
2

9.若实数 x , y 满足: ?

,则 x ? 2 y 的最大值是(



A.3 C

B. 2 5

C.5

D. 5 5

10. 已知函数 f ( x ) ? ?

? (1 ? 3 a ) x ? 1 0 a ( x ≤ 6 ) ?a
x?7

( x ? 6)

若数列{an}满足 an= f ( n ) (n∈N )且{an}是递



减数列,则实数 a 的取值范围是( A.( B 11. 椭圆 C :
x a
2 2

) ) C. (
1 3

1 3

,1)

B. (

1 3



5 8



1 2

)

D.(

5 8

,1)

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1 , F 2

,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 )

点 P , 使 得 ? F1 F 2 P 为 等 腰 三 角 形 , 则 椭 圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ( A. ( , )
3 3 1 2

B. ( ,1)
2

1

C. ( ,1)
3

2

D. ( , ) ? ( ,1)
3 2 2

1 1

1

D 12.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则该 三棱锥的外接球的表面积为( ) A. D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
8 3

?

B.

4 3

3

?

C.

4 3

?

D.

16 3

?

13.圆 ( x ? a ) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的渐近线相切,则 a 的值是 _______.
2 2 2 2

?

2
0

14.在 ? A B C 中, ? A ? 6 0
???? ?????

, M 是 A B 的中点,若 A B ? 2 , B C ? 2 3 , D 在线段 A C

上运动,则 D B ? D M 的最小值为____________.
23 16

15.如图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是

.

3018

分析:由题意
a1 ? 1 ? c o s

?
2

?1 ?1 ?1 ? 5

, ,

a2 ? 2 ? cos

2? 2 5? 2

? 1 ? ?1 ?1?1

, ,

a3 ? 3 ? cos a6 ? 6 ? cos

3? 2

?1?1 ? 1 ? ?5

, ,

a4 ? 4 ? cos a7 ? 7 ? cos

4? 2 7? 2

a5 ? 5 ? cos 8? 2

6? 2

? 1 ? 1 , a8 ? 8 ? co s

?1 ? 9,


a 2009 ? 1 , a 2010 ? ? 2 0 0 9 , a 2011 ? 1 ,

a 2012 ? 2 0 1 3 ;

以上共 503 行, 输出的 S ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 0 1 2
? 5 0 3 ? (1 ? 5 ? 9 ? ? 2 0 0 9 ) ? 5 0 3 ? (5 ? 9 ? 1 3 ? ? ? 2 0 1 3)
? 503 ? 1 ? 503 ? 2013

? 3018

16.下列命题中正确的是

.
2

①如果幂函数 y ? ( m 2 ? 3 m ? 3) x m

?m?2

的图象不过原点,则 m=1 或 m=2;
[来源:Zxxk.Com]

②定义域为 R 的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和; ③已知直线 a、b、c 两两异面,则与 a、b、c 同时相交的直线有无数条; ④方程
y?3 x?2



y ?1 x?3

表示经过点 A(2,3)、B(-3,1)的直线;

⑤方程

x

2

2? m



y

2

m ?1

=1 表示的曲线不可能是椭圆;

①②③ 三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分) 17、 (本小题满分 10 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q =( 2 a ,1) p =( 2 b ? c , ,
? ?? cos C )且 q / / p . ? ??

求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2 C 1 ? tan C

? 1 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 某大学高等数学老师上学期分别采用了 A , B 两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班 进行教改试验(两个班人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自 觉性都一样) 。现随机抽取甲、乙两班各 20 名同学的上学期数学期末考试成绩,得到茎叶图

如下: 甲 2 66321 83221 98776 9988 乙 01568 01256689 368 5799

9 8 7 6 5

(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (Ⅱ)从乙班这 20 名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于 85 分的同学,求成绩为 90 分的同学被抽中的概率; (Ⅲ)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在 犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考:
P(K
2

乙班

合计

? k)

0.15 2.072
2
[来源:学* 科*网]

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K

?

n(ad ? bc)

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

, 其中 n ? a ? b ? c ? d )

(Ⅳ)从乙班高等数学成绩不低于 85 分的同学中抽取 2 人,成绩不低于 90 分的同学得奖金 100 元,否则得奖金 50 元,记 ? 为这 2 人所得的总奖金,求 ? 的分布列和数学期望。 19 解: (Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于 60-90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80-100 分之间,所 以乙班的平均分高 ………………………………2 分 (Ⅱ) P ?
C1 C 9 C 10
2 1 1

?

1 5

………………………………4 分

(Ⅲ)
优秀 不优秀 合计

甲班 3 17 20

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

………………………………6 分
K
2

?

40 ? ?3 ? 10 ? 10 ? 17 ? 13 ? 27 ? 20 ? 20

2

? 5 .5 8 4 ? 5 .0 2 4 , 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下

可以认为成绩优秀与教学方式有关。

………………………………8 分

(Ⅳ) P ? ? ? 1 0 0 ? ?

C5

2

C 10

2

?

2 9

, P ?? ? 150 ? ?

C 5C 5 C 10
2

1

1

?

5 9

, P ?? ? 200 ? ?

C5

2

C 10

2

?

2 9

所以
?
P
100 元 150 元 200 元

2 9

5 9

2 9

………………………………10 分
E? ? 100 ? 2 9 ? 150 ? 5 9 ? 200 ? 2 9 ? 1 5 0 (元)

[来源:学。科。网]

………………………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 2 已知如图(1),正三角形 ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC F 和 BC 边上的点,且满足 C E ? C 0 ? k ,现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B, CA C0 B 如图(2). 9 (Ⅰ) 求二面角 B-AC-D 的大小;0 5 (Ⅱ) 若异面直线 AB 与 DE 所成角 的余弦值为 2 ,求 k 的值. 4 0 9 解:(Ⅰ) 过 D 点作 DG⊥AC 于 G,连结 BG, ∵ AD⊥CD, BD⊥CD, ∴ ∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. ∴ ∠ADB= 9 0 , 即 BD⊥AD. ∴ BD⊥平面 ADC. ∴ BD⊥AC. ∴ AC⊥平面 BG D. ∴ BG⊥AC . ∴ ∠BGD 是二面角 B-AC-D 的平面角. 在 ADC 中,AD=a, DC= 3 a , AC=2a, ∴
DG ? A D ?D C AC ? 3a 2a
2

A

G E

?

D B

C F

?

3a 2

.
? 2 3 3

在 Rt△ BDG 中, ta n ? B G D ∴
? B G D ? a rc ta n 2 3 3

?

BD DG

.

.

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F .过点 P ( 2 , 0 ) 的直线交抛物线于 A ( x1 , y 1 ) ,
2

B ( x 2 , y 2 ) 两点,直线 A F , B F 分别与抛物线交于点 M , N .

(Ⅰ)求 y 1 y 2 的值; (Ⅱ)记直线 M N 的斜率为 k 1 ,直线 A B 的斜率为 k 2 .证明: (Ⅰ)解 :依题意,设直线 A B 的方程为 x ? m y ? 2 . 将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4 m y ? 8 ? 0 .
2 2

k1 k2

为定值.

从而 y1 y 2 ? ? 8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ) .
y1
2 2



k1 k2

?

y3 ? y4 x3 ? x 4

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

?

y3 ? y4 y3 4
2

?

y2

2

?

y4 4

4 ? 4 y1 ? y 2

?

y1 ? y 2 y3 ? y4



设直线 A M 的方程为 x ? n y ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4 n y ? 4 ? 0 .
2

所以 y1 y 3 ? ? 4 . 同理可得 y 2 y 4 ? ? 4 . 故
k1 k2 ? y1 ? y 2 y3 ? y4 ? y1 ? y 2 ?4 y1
k1 k2

?

?4 y2

?

y1 y 2 ?4



由(Ⅰ)得

? 2 ,为定值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?
a x ( a ? 0 ) ,设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .

(Ⅰ)求函数 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若以函数 y ? F ( x )( x ? (0, 3]) 图像上任意一点 P ( x 0 , y 0 ) 为切点的切线的斜率
k ? 1 2

恒成立,求实数 a 的最小值;
? ? 2 ? ? m ? 1 的图像与函数 y ? f (1 ? x ) 的 ? x ?1? 2a
2

(Ⅲ)是否存在实数 m,使得函数 y ? g ?

图像恰有四个不同的交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (I) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?
a x

?x

? 0 ? , F '? x ? ?

1 x

?

a x
2

?

x?a x
2

?x

? 0?

∵ a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a , ? ? ? ,∴ F ? x ? 在 ? a , ? ? ? 上单调递增。 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0 , a ? 上单调递减。 ∴ F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0 , a ? ,单调递 增区间为 ? a , ? ? ? 。 (II) F ' ? x ? ?
k ? F ' ? x0 ? ?
x?a x
2

?0 ?
? 1 2

x ? 3? ,

x0 ? a x0
1 2
2

?0 ?

? 1 2 ? x 0 ? 3 ? 恒成立 ? a ? ? ? x 0 ? x 0 ? ? 2 ? m ax
1 2

当 x 0 ? 1 时, ? ∴a ?
1 2

x 0 ? x 0 取得最大值
2



,∴ a m in ?
?

1 2

(III)若 y ? g ?

1 2 1 ? 2 2 ? ? m ? 1 ? x ? m ? 的图象与 y ? f ? 1 ? x ? ? ln ? x ? 1 ? 的 2 2 ? x ?1? 2a
2

图象恰有四个不同得交点,即
m ? ln ? x ? 1 ? ?
2

1 2

x ?m?
2

1 2

? ln ? x ? 1 ? 有 四 个 不 同 的 根 , 亦 即
2

1 2

x ?
2 2

1 2

有四个不同的根。
1 2 x ?
2

令 G ? x ? ? ln ? x ? 1 ? ? 则G '? x ? ?
2x x ?1
2

1 2
3


? x ? x ? 1? ? x ? 1? x ?1
2

? x ?

2x ? x ? x x ?1
2

?

当 x 变化时, G ' ? x ? 、 G ? x ? 的变化情况如下表: x
G ' ? x ? 的符号 G ? x ? 的单调性
( ? ? , ? 1)
( ? 1, 0 ) (0 ,1)

? 1, ? ? ?








?

?

?

?

由表格知: G ( x ) 极 小 值 ? G (0 ) ?

1 2

, G ? x ? 极 大 值 ? G ? 1 ? ? G ? ? 1 ? ? ln 2 ? 0
1 2 ? 1 2

画 出 草 图 和 验 证 G ? 2 ? ? G ? ? 2 ? ? ln 5 ? 2 ?
y ? G ? x 与 y ? m 恰有四个不同的交点。 ?
?1 ? m ? ? , ln 2 ? ?2 ?
2

可知,当 m ??

?1 ?2

? , ln 2 ? 时 , ?

∴ 当

时 ,

y ?

? 2a ? ?g 2 ?? ? x ?1?

?1 ? m

12 2

?

x ?

m 的 图 象 与 2

1

y ? f ?1 ? x

? ? ln ? x

2

? 1 ? 的图象恰有四个不同的交点。

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,
BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在
F A

BA 的延长线上.

(Ⅰ)若

EC EB

?
2

1 ED 1 DC , ? ,求 的值; 3 EA 2 AB

D

B

(Ⅱ)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

E

C

证明: (I)? A , B , C , D 四点共圆,? ? EDC ? ? EBF , 又? ? CED ? ? AEB , ? ? CED ∽ ? AEB ,
? EC EA ? ED EB ? DC AB

,?

EC EB

?

1 ED 1 , ? , 3 EA 2

?

DC AB

?

6 6
2



..........5 分

(II)? EF
?

? FA ? FB ,

EF FA

?

FB FE

, 又? ? EFA ? ? BFE ,

? ? FAE ∽ ? FEB ,? ? FEA ? ? EBF ,

又? A , B , C , D 四点共圆,? ? EDC ? ? EBF ,
? ? FEA ? ? EDC ,
? EF // CD .

..........10 分

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 已知直线 l 的参数方程为:

x ? 2?t y ? 3t

? (t 为参数 ) 曲线 C 的极坐标方程为: cos 2? ? 1 . ,
2

(1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. (1)由曲线 C : ? co s 2? ? ? (co s ? ? sin ? ) ? 1,
2 2 2 2

得 ? co s 2? ? ? sin ? ) ? 1, 化 成普通方程
2 2 2

x ? y ?1
2 2



5分

(2)方法一:把直线参数方程化为标准参数方程
1 ? x ? 2? t ? 2 ? ( t 为参数) ? ?y ? 3 t ? ? 2



把②代入①得:
1 ? ?2? 2 ? ? 3 ? t? ?? ? 2 ? ?
2
2

? t? ?1 ? ?

2

整理,得 t ? 4 t ? 6 ? 0 设其两根为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 4 , t1 ? t 2 ? ? 6 从而弦长为 | t1 ? t 2 |? 8分
( t1 ? t 2 ) ? 4 t1 t 2 ?
2

4 ? 4(?6) ?
2

40 ? 2 10 .

10 分

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?
x e ? 1 ex
( e ? 2 .7 1 8 ? )

(I)若 x1 , x 2 ? [1, ? ? ), x1 ? x 2 .求证:

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? 0;



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com