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函数对称性在高考中的应用

函数对称性在高考中的应用


函数对称性在高考中的应用 关键词:函数 对称性 高考 奇函数 偶函数 应用 函数是高中数学的主线,是高中数学的核心内容,也是整个高中 数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函 数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且 利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现 了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称 性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数的奇偶性 要研究函数的对称性一定要先研究函数的奇偶性,因为奇函数是 最典型的点对称, 偶函数是最典型的轴对称。 奇函数: f (x) +f (-x) =0 或 f(x)=-f(-x) ,关于原点(0,0)对称;偶函数:f(x) -f(-x)=0 或 f(x)=f(-x)关于 y 轴对称。在对称区间上奇函 数单调性相同,偶函数单调性相反。 二、函数自身的对称性探究 定理 1.函数 y=f(x)的图像关于点 a(a,b)对称的充要条件是 f(x)+f(2a-x)=2b. 证明: (必要性)设点 p(x,y)是 y=f(x)图像上任一点,∵点 p(x,y)关于点 a(a,b)的对称点 p′(2a-x,2b-y)也在 y =f (x)图像上,∴ 2b-y=f(2a-x) ,即 y+f(2a-x)=2b 故 f(x)+f (2a -x)=2b,必要性得证。 (充分性)设点 p(x0,y0)是 y=f(x)图像上任一点,则 y0 = f (x0) , ∵f (x) +f (2a-x) =2b∴f (x0) +f (2a-x0) =2b, 即 2b-y0=f (2a-x0) 。 故点 p′(2a-x0,2b-y0)也在 y=f(x)图像上,而点 p 与点 p′ 关于点 a(a,b)对称,充分性得征。 推论:函数 y=f(x)的图像关于原点 o 对称的充要条件是 f(x) +f(-x)=0. 定理 2. 函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f (a+x)=f(a-x) ,即 f(x)=f(2a-x).(证明留给读者) 推论:函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f(x)=f (-x). 定理 3. ①若函数 y=f(x) 图像同时关于点 a(a,c)和点 b(b, c)成中心对称(a≠b) ,则 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b|是其 一个周期。 ②若函数 y=f (x) 图像同时关于直线 x=a 和直线 x=b 成轴对称 (a ≠b) ,则 y=f(x)是周期函数,且 2|a-b|是其一个周期。 ③若函数 y=f(x)图像既关于点 a(a,c) 成中心对称又关于直 线 x=b 成轴对称(a≠b) ,则 y=f(x)是周期函数,且 4|a-b|是其 一个周期。 ①②的证明留给读者,以下给出③的证明: ∵函数 y=f(x)图像既关于点 a(a,c) 成中心对称, ∴f(x)+f(2a-x)=2c,用 2b-x 代 x 得: f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*) 又∵函数 y=f(x)图像直线 x=b 成轴对称, ∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得: f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**) ,用 2(a-b)-x 代 x 得 f[2(a-b)+x]=2c-f [4(a-b)+x]代入(**)得: f(x)=f[4(a-b)+x],故 y=f(x)是周期函数,且 4|a-b|是其 一个周期。 三、不同函数对称性的探究 定理 4. 函数 y=f(x)与


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