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【素材】第一章第五节 空间垂直关系中常见错误分析

【素材】第一章第五节 空间垂直关系中常见错误分析


空间垂直关系中常见错误分析
垂直是空间中一种重要的位置关系,在高考中为一个命题的热点,但由于初学者认识上的偏差、思维 上的疏漏,如对空间的垂直的判定与性质时理解不透彻,或不注意空间立体几何与平面几何的区别与联系 等,都导致出现不同程度的失误.现举例分析常见错误. 一、内涵理解不透彻 例 1 已知平面?⊥?,下面四个命题:①?内的任一直线必垂直于?内的无数条直线;②在?内垂直于? 与?的交线的直线必垂直于?内的任意一条直线;③?内的任一直线必垂直于?;④过?内的任意一点作?与? 的交线的垂线,则这条直线必垂直于?,其中正确的命题序号为__________. 错解:①②③④四个命题都正确. 剖析:由面面垂直机械地推理了线面垂直,从而导致错选③;而对于④,若取点在两个平面的交线上, 则显然是错误的.产生这些错误的原因在于对面面垂直、线面垂直、线线垂直的判定与性质的本质上把握 不够到位. 正解:若平面?⊥?,则可得知其中一个平面内的任意一条直线可垂直于另一个平面内的无数条直线, 但无法垂直于所有直线,就是说无法断定垂直于另一个平面,因此可判断①②正确;过?与?的交线上的点 作这条直线的垂线,显然它不一定垂直于两个平面,因此命题④是错误的,正确答案为①②. 特别提醒:对于线面垂直、面面垂直从定义到判定定理、性质定理在本质上都必须把握它们的条件与 结论,注意它们对应模型图的结构特征,在应用时才不会乱用. 二﹑错用平面几何的结论 例 2 已知直线 a?平面?,a⊥b,b⊥?,求证:a∥?. 错证:如右图,由题设 b⊥?,知直线 b 与平面 ? 有交点,设交点为 Q, 过直线 a 和点 Q 用平面?与平面 ? 交于过点 Q 的一条直线 a?, 则 a???,∵b⊥?,∴b⊥a?,又∵a⊥b,∴a∥a?,∵a/?,∴a???,∴a∥?. ? 剖析:错证是因应用平面几何中的定理“同垂直于一条直线的两条直线平行” ,得 a∥a?时,忽视了该 定理要求定理中涉及的三条直线都在同一个平面内的前提条件,而现在仅有 a 和 a?在 平面 ? 内,直线 b 不能保证也在平面 ? 内,因而没有满足使用定理的条件,故证明是 错误的. 正解:如图,在直线 a 上取一点 P,过 P 作直线 b?∥b,则 a 与 b?确定一个平面?, 设?∩?=c,∵a⊥b,b?∥b,∴a⊥b?,∵a⊥?,c??,∴a⊥c, ∵a、c、b???,∴b?∥c,∴b∥c,∴b∥平面?. 特别提醒:在平面几何中的定理、公理等相关结论,在立体几何中是否成立,必须要通过严格的证明 后才能应用.同时,解题一定要有正确的依据,要既重算又重理,并养成推理缜密、言必有据的良好思维 习惯,使推理有条不紊地展开. 三、受直觉思维影响而想当然 例 3 如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,且底面 ABCD 为正方形,试问:截面 ACB1 与对角面 BB1D1D 垂直吗? 错解:如图, AC 与 BD 交点为 O, B1O 是截面 ACB1 与对角面 BD1 的交线,∵B1O 设 则 是底面 ABCD 的斜线, ∴截面 ACB1 与底面倾斜相交, 从而截面 ACB1 不可能与对角面 BD1 垂直. 剖析:错解从 B1O 与底面倾斜相交,就断定截面 ACB1 不可能与对角面 BD1 垂直, 这是没有根据的,犯了主观臆断的错误. 正解:因为 D1D⊥面 ABCD,所以 D1D⊥AC,而 AC⊥BD1,则 AC⊥平面 BB1D1D, 又 AC?平面 ACB1,∴平面 BB1D1D⊥平面 ACB1, 特别提醒:在证明立体几何中,犯本题这种“想当然”对初学者来讲是普遍存在的,往往是凭过去所 学知识及一定的生活经验造成的,因此学习立体几何不能“想当然” ,要讲求充足的理论依据及逻辑推理. 四﹑忽视定理的关键条件 例 4 如图 6,已知 S 为△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证:AB
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⊥BC. 错解:因为 SA⊥平面 ABC,所以 SA⊥BC, 又平面 SAB⊥平面 SBC,且平面 SAB 交平面 SBC 于 SB,所以 BC⊥SB, 所以 BC⊥平面 SAB,AB 在平面 SAB 内,故 AB⊥BC. 剖析:上述证法错误在于误用两个平面垂直的性质定理为:两个平面互相垂 直, 则一个平面内的直线垂直于另一个平面.没有抓住面面垂直的性质定理的一个 关键条件——直线必须与交线垂直. 正解:过 A 点作直线 AE⊥SB 于 E, 因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,所以 AE⊥平面 ABC,所以 BC⊥AE, 又因为 SA⊥平面 ABC,所以 SA⊥BC,所以 BC⊥平面 SAB,故 BC⊥AB. 特别提醒:在立体几何中的每一个定义、公理、定理及推论,它们都有其起作用的、且容易被忽略的 关键条件(如线面垂直的判定定理中“两条相交直线”),在解题中只有抓住了这些关键之处,才能保证解 答的正确性. 五、忽视多种位置关系的讨论 例 5 已知平面?⊥?,直线 a∥?,则( ) A.a⊥? B.a∥?或 a?? C.a 与?相交 D.以上都有可能 错解:选 A. 剖析:没有考虑到直线 a 虽然平行于平面?,可是它的位置是多样的、多向的. 正解:根据题意,可画出如图所示多种情形的直线,即直线 a 可与平面?平行, 在平面?内,垂直相交、斜交多种情形,故选 D. 特别提醒:由平面几何到空间立体几何,由点与直线、直线与直线的位置关系又增加了点与平面、直 线与平面、平面与平面的位置关系,位置关系越来越复杂化了,因此在学习中必须清楚这些变化.

作 者:慕泽刚 通信地址:重庆市九龙坡区西彭镇:重庆市渝西中学 邮 编:401326 电 话:(023)65816009(宅)手机:13883497418 E-mail:muzegang123@163.com

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