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复数三角形式运算

复数三角形式运算


6-4 复数三角形式的运算
一、乘法 设复数 z1 ? r1 ? cos? 1? i sin ?

z1 ? z2 ? r1 ?cos? 1? i sin ?

1

?? r2 ?cos?

1

?,z2 ? r2 ? cos?
2

? i sin ?

2

?

2

? i sin ?

2

?

? r1 ? r2 ?cos? 1cos? 2 ? i 2 sin ? 1sin ? 2 ? i sin ? 1cos? 2 ? i cos?1 sin ? 2 ? ? ?

? r1 ? r2(cos? 1cos? 2? sin ? 1sin ? 2)(sin ? 1cos? 2? cos?1 sin ? 2) ?i ? ?

? r1 ? r2 ?cos ?? 1? ?2 ? ? i sin ?? 1? ? ?

?? 。 ? r1 ? cos? 1? i sin ? 1 ? ? r2 ? cos? 2 ? i sin ? 2 ? ? r1 ? r2 ?cos ?? 1? ? 2 ? ? i sin ?? 1? ? 2 ? ? ? ?
2

两个复数相乘,其积还是一个复数,它的模等于两个复数 模的积,它的辐角等于两个复数辐角的和。也就是说,两个复 数相乘,是把模相乘作为积的模,把辐角相加作为积的辐角。

4 4 ? 5 5 ? ? ? 例1:已知复数z1 ? 16? cos ? ? i sin ? ?,z2 ? 4? cos ? ? i sin ? ?。求z1 ? z2。 3 3 ? 6 6 ? ? ? ? ?4 5 ? 5 ?? 13 13 ? ?4 ? 解:z1 ? z2 ? 16? 4?cos? ? ? ? ? ? i sin? ? ? ? ?? ? 64? cos ? ? i sin ? ? 6 ? 6 ?? 6 6 ? ?3 ? ? ?3
? 3 1 ? ? ?? ? ? 64 ? cos ? i sin ? ? 64? ? i ? ? 32 3 ? 32i。 ? 2 2 ? 6 6? ? ? ? 复数的相乘可以推广到 n 个复数相乘。若设 n 个复数为

z1 ? r1 ? cos? 1? i sin ? z2 ? r2 ? cos? 2 ? i sin ? ?? zn ? rn ? cos? n ? i sin ?

1

?
2

? z3 ? r3 ? cos? 3? i sin ? 3 ?
n

?
n

r1 ? r2 ??rn ?cos?? 1? ? 2 ? ? ? ?

z1 ? z2 ??? zn ?

? ? i sin?? 1? ?

2

? ???

n

??

例2:计算: 3 ? cos 20? ? i sin 20? ? ? 2 ? cos50? ? i sin 50? ? ? ?10 ? cos80? ? i sin 80? ? ? ? ?? ?

解 : 3 ? cos 20? ? i sin 20? ? ? 2 ? cos 50? ? i sin 50? ? ? ?10 ? cos80? ? i sin 80? ?? ? ?? ? ? 3 ? 2 ? 10 ?cos ? 20? ? 50? ? 80? ? ? i sin ? 20? ? 50? ? 80? ? ? ? ?
? 60 ? cos150? ? i sin150? ?

? 3 1` ? ? 60 ? ? ? i ? ? ?30 3 ? 30i。 ? 2 2 ?

若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时,需将相 混的复数统一成代数式或三角式,然后进行复数的代数 式相乘或三角式相乘。

例3:计算: ? ? 7 7 ?? ? ?1 ? i ? ? 3 ? cos ? ? i sin ? ? ? 4 4 ?? ? ?

a ?1 2 ?? , 解:r ? a ? b ? 2, cos ? ? ? r 2 2 3 b 1 2 sin ? ? ? ? , ?? ? ? 。 4 r 2 2
2 2

3 3 ?? ? 7 7 ?? ? 原式 ? 2 ? cos ? ? i sin ? ? ? 3 ? cos ? ? i sin ? ? ? 4 4 ?? ? 4 4 ?? ? ? ?3 7 ? 7 ?? ?3 ? 2 ? 3 ?cos ? ? ? ? ? ? i sin ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ?? ?4 ? ?4

5 5 ? ? ? 6 ? cos ? ? i sin ? ? ? 6 ? cos ? ? i sin ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2? ?

? 6i。

二、除法
设复数z1 ? r1 ?cos? 1? i sin ? 1 ?,z2 ? r2 ?cos? 2 ? i sin ?
2

?,且z2 ? 0,

z1 r1 ?cos? 1? i sin ? ? z2 r2 ?cos? 2 ? i sin ?

1

? 2?

?

r1 ?cos? 1? i sin ? r2 ?cos? 2 ? i sin ?

1

??cos? 2? i sin ? 2 ? 2 ??cos? 2 ? i sin ? 2 ?

r1 ??cos? 1cos 2 ? sin ? 1sin ? 2 ? ? i?sin ? 1sin ? 2 ? cos? 1sin ? 2 ?? ? ? r2 cos2 ? 2 ? sin 2 ? 2

?

?

?

r1 ?cos? 1? i sin ? ? r2 ?cos? 2 ? i sin ?

r1 ?cos?? 1? ? 2 ? ? i sin?? 1? ? 2 ??。 r2
1

? ? r1 ?cos?? ? ? ? ? i sin?? ? ? ??。 1 2 1 2 r2 2?

复数三角形式除法的运算法则为:两个复数相除(除数 不为0),其商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以 除数的模所提的商,它的辐角等于被誉为除数的辐角减去除 数的辐角所得的差。也就是说,两个复数相除(除数不为 0),是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角。
例4 计算 解 4( cos80? ? i sin 80? ) ? [2(cos 320? ? i sin 320? )] . 4( cos80? ? i sin 80? ) ? [2(cos 320? ? i sin 320? )] 4 = [cos(80? ? 320? ) ? i sin(80? ? 320? )] 2 =2[cos(?240? ) ? i sin(240? )]

1 3 ? 2(? ? i) 2 2
? ?1 ? 3 i

1 例5:已知复数z ? r ? cos ? ? i sin ? ?,r ? 0,求 的三角形式。 z

1 1 解: ? ? ? cos(0 ? ? ) ? i sin(0 ? ? ) ? z r ? cos ? ? i sin ? ? r
1 ? ? cos(?? ) ? i sin(?? ) ? r

cos 0? ? i sin 0? ? ?

由此例可以看出,一个非零复数的倒数,其模是原来 复数的模的倒数,其辐角是原来复数辐角的相反数。

例6 计算 解

?1 ? i 3 ? ? (cos120? ? i sin120? ) ? ?2 ? ?1 ? ?1 3 ? ? ? ? ?i ? ? (cos120? ? i sin120? ) ? i ? ? (cos120 ? i sin120 ) ? ?2 ? ?2 ?
? ?

?1 ? ? ? ? (cos 270 ? i sin 270 ) ? ? (cos120 ? i sin120 ) ? ?2 ? 1 ? [cos(270? ? 120? ) ? i sin(270? ? 120? )] 1 2
? 2(cos150? ? i sin150? )

3 1 ? 2(? ? i ) ? ? 3 ?i . 2 2

三、乘方(棣莫弗定理)

在复数三角形式的乘法运算法则
Z1 ?Z2 ????Zn ? r1 ?r2 ????rn [cos(?1 ? ? 2 ? ???? n ) ? i sin(?1 ? ? 2 ? ???? n )]中, 取r1=r2=???=rn ,且?1=? 2=???=? n=?,
即 Z1=Z2 ???=Zn=(cos ? ? i sin ? ), r
n Zn=(cos ? ? i sin ? )]n ? r(cos n? ? i sin n? ) [r

则有

(n ? N * )

  这是复数三角形式的 n 次幂 (n ? N * ) 的运算法则,这个法则 叫做棣莫弗定理。

它表明:复数 n 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂, 它们辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。也就是说,复数的 n * 次幂 (n ? N ) ,是把模的 n 次幂作为幂的模,把辐角的 n 倍 作为幂的辐角。

例7 用棣模弗定理计算:

? ? ? ? (1) ? 2 (cos ? i sin ) ? 4 4 ? ?
?1 3 ? (3) ? ? i ? ? (3i) ?2 2 ?
20

10

2? 2? ? ? (2) ? 2 (cos ? i sin ) ? 15 15 ? ?

5

? ? ? ? 解 (1) ? 2 (cos ? i sin ) ? 4 4 ? ?
10

10

5 5 ? ? ? ( 2 ) (cos ? ? i sin ? ) ? 32(cos ? i sin ) 2 2 2 2
? 32i

2? 2? ? ? (2) ? 2 (cos ? i sin ) ? 15 15 ? ?
2? 2? ? 2 (cos ? i sin ) 3 3
5

5

1 3 ? 32(? ? i) 2 2
? ?16 ? 16 3 i

?1 3 ? (3) ? ? i ? ? (3i) ?2 2 ?

20

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(cos(? ) ? i sin(? ) ? ? ?3(cos ? i sin ) ? 3 3 ? 2 2 ? ? ? 20? 20? ? ? ? ? ? ? ? ?(cos(? ) ? i sin(? ) ? ? ?3(cos ? i sin ) ? 3 3 ? ? 2 2 ? ?
20

4? 4? ? ? ? ? ? (cos ? i sin ) ? ?3(cos ? i sin ) ? 3 3 2 2 ? ?

5? 5? 1? 4? ? 4? ? ? 1 ? i sin ) ? ?cos( ? ) ? i sin( ? ) ? ? (cos 6 6 3? 3 2 3 2 ? 3

1 3 1 ? (? ? i ) ?? 3 ? 1i 3 2 2 6 6

解法二:

?1 3 ? i ? ? (3i) ? ? ?2 2 ?

20

? ? ? 1 ? ? ?(cos(? ) ? i sin(? ) ? ?(? i ) 3 3 ? 3 ?
20

1 ? 20? 20? ? ? (? i ) ?(cos( ? ) ? i sin(? )? 3 ? 3 3 ?

1 1 3 1 4? i) ? ? i (cos? i sin ) ? ? i (? ? 3 3 3 2 2 3 1 ?? ? i 6 6

( 3 ? 7 i)2 ? ?1 ? 2i) ( 例8 计算 (8 ? 6i)4
解 ( 3 ? 7 i) ?(?1 ? 2i) ? 4 (8 ? 6i)
2

3 ? 7 i ??1 ? 2i 8 ? 6i
? ( ?2) 2
4

2

? ?

( 3) ? ( 7)
2

2

?

? ? (?1)
2 2

2

8 ? (?6)
2

?

4

10 5 ? 10000

5 ? 1000

例9 已知 n ? N *,求证:(cos ? ? i sin ? ) n ? cos n? ? i sin n? .

证明  左边= ?cos ?) i sin(?? )? (- ?

n

= ? cos ? n?) i sin(?n? )? ( ?

? cos n? ? sin n? ? 右边

(cos 3? ? i sin 3? )3 ?(cos 2? ? i sin 2? ) 7 例10 求证: ? cos ? ? i sin ? . 6 (cos 4? ? i sin 4? )

(cos9? ? i sin 9? )? (cos14? ? i sin14? ) 证明  左边= (cos 24? ? i sin 24? ) (cos 23? ? i sin 23? ) = (cos 24? ? i sin 24? )

? cos(?? ) ? i sin(?? )
? cos? ? i sin ? ? 右边



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