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江西省万载中学高二数学北师大版必修五第三章《平均值不等式》学习指南(无答案)

江西省万载中学高二数学北师大版必修五第三章《平均值不等式》学习指南(无答案)

江西省万载中学高二数学北师大版必修五第三章《平均值不等式》学习指南(无答案)

万载中学高二数学《平均值不等式》学习指南

一、学习目标:能正确理解五个均值不等式的意义并能熟练运用解决有关问题

二、学习内容——平均值不等式及其运用

1、定理 1:对任意实数 a 和 b,有 a2+b2≥2ab

问:⑴当且仅当

时,a2+b2=2ab,当且仅当

时,a2+b2>2ab

⑵能否将此不等式写作 a2+b2≥2|ab|≥2ab?若这样的形式成立,那么 a 和 b 的取值范围有无变化?

⑶定理 1 的证明你会几种方法?除了课本上两种证法之外,能否根

据下图进行证明?(图中矩形 ABCD 的相邻两边长分别为 AB=a 和

AD=b,不妨设 a≥b,在 CD 上取点 E,使 DE=AD,连结 AE 并延长 D

AE 交 BC 的延长线于 F)

2、定理 2:对任意两个正数 a 和 b,有 a ? b ? ab 2

问:⑴当且仅当

时, a ? b ? ab ,当且仅当 2

a ? b ? ab 2

b
A 时,

F E
C

a

B

⑵a 和 b 中至少有一个为零时,这个不等式成立否?a 和 b 中至少有一个为负数时,这个不等式成立

否?举例说明



⑶你能用三种不同的方法证明定理 2 吗?

证法 1(用定理 1):



证法 2(用 ( a ? b )2 ? 0 ):



证法 3(用几何法,图见课本图 1-7):



⑷定理 2 的文字表述为:两个正数的

平均数不小于它们的

平均数。

⑸能否根据定理 2 和非负数性质推导下列不等式列成立?

①2 ? 1?1 ab

ab ? a ? b ? 2

a2

? 2

b2

(a.b

?

R?

)

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② a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? ab(a, b ? R) 2

江西省万载中学高二数学北师大版必修五第三章《平均值不等式》学习指南(无答案)

3、定理 3:对任意正数 a,b,c 有 a3+b3+c3≥3abc

问:⑴当且仅当

时,a3+b3+c3=3abc,当且仅当

时,a3+b3+c3>3abc

⑵能否将定理 3 中“正数”的条件改为“非负数”?能否改为“任意实数”?

⑶除了课本 P11 的证法外,你能用“差比法”证明定理 3 么?

证明(差比法):(a3+b3+c3)-3abc=

定理 4:对任意正数 a,b,c,有 a ? b ? c ? 3 abc 3

问:⑴当且仅当

时, a ? b ? c ? 3 abc ,当且仅当 3


时, a ? b ? c ? 3 abc 3

⑵能否将定理 4 中“正数”的条件放宽到“非负数”?

⑶若将定理 4 中的条件放宽到全体实数,不等式两边的式子还有意义否?不等式还成立否?举例说

明。

⑷根据定理 3 证明定理 4。

证明:

⑸定理 4 的文字表述为:三个正数的

平均值,不少于它们的

平均值。

⑹定理 4 的变式形式为



定理 2 和 4 的推论:对几个正数 a1,a2,……,an(n≥2,n∈N+),有 a1 ? a2

? ? ? ? ? an n

?n

a1a2 ? ? ? an

问:⑴当且仅当

时,等号成立?何时左边大于右边?



⑵能否将条件“n 个正数”放宽到“n 个非负数”?

⑶此推论的变式形式为



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江西省万载中学高二数学北师大版必修五第三章《平均值不等式》学习指南(无答案) 三、定理的运用举例 例 1(课本 P10 例 1) 证明:



2:已知

a,b,c∈R+,且

a+b+c=1,求证: (a

?

1)2 a

?

(b

?

1)2 b

?

(c

?

1)2 c

?

100 3

证明:



3:已知

1 x

?

2 y

? 1,且

a,y∈R+,求证:x+2y≥9

证明:

例 4:已知 a,b,c 为不全相等的正数,且 abc=1,求证: a ? b ? c ? 1 ? 1 ? 1 abc
证明:

四、巩固练习
1、已知 a>0,b>0,a+b=1,求证 1 ? 1 ? 4 ab

2、已知 a,b,c 都是非负实数,求证: ab ? bc ? ca ? a ? b ? c

3、已知 a,b∈R+,a+b=1,求证:

a?1 ? 2

b?1 ?2 2

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江西省万载中学高二数学北师大版必修五第三章《平均值不等式》学习指南(无答案)
4、已知 a,b,c,d,m,n 均为正实数, p ? ab ? cd , q ? ma ? nc ? b ? d ,求证 p≤q mn

5、若 a≥0,b≥0, a2 ? b2 ? 1,求证: a 1 ? b2 ? 3 2

2

4

6、已知

a,b,x,y∈R+,且

x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤

1 4

(a+b)2

7、已知 a,b,c 均为正实数,且 a,b,c 成等比数列,求证 a2+b2+c2>(a-b+c)2

8、若

x∈(2,+∞),求证 3x ?

1 (x ? 2)3

? 10

五、奥赛练习

1、设 x1,x2,……,xn 均为正实数,求证: 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 2( 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 )

x1 x2

xn

x1 ? x2 x2 ? x3

xn?1 ? xn xn ? x1

2、设

x,y,z∈N+,求证: ??? ?

x2 ? y2 ? z2 x? y? z

? x? y? z ???

?

xx y yzz

六、知识框图

定理 1

定理 2





平均不等式

定理 3





定理 4

推论

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