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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 函数模型及其应用练习 理-课件

高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 函数模型及其应用练习 理-课件

第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用练习 理
[A 组·基础达标练] 1.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间

t(小时)的函数关系用图象表示为(

)

答案 B 解析 根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为 B. 2.[2016·福州模拟]在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:

x y
A.y=a+bx C.y=ax +b 答案 B
2

-2.0 0.24

-1.0 0.51

0 1

1.0 2.02

2.0 3.98
x

3.0 8.02 )

则 y 关于 x 的函数关系与下列函数最接近的(其中 a,b 为待定系数)是( B.y=a+b D.y=a+

b x

解析 由 x=0 时,y=1,排除 D;由 f(-1.0)≠f(1.0),排除 C;由函数值增长速度不 同,排除 A.

3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12),4 m,不考虑树的粗细,现在用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃

ABCD.设此矩形花圃的面积为 S m2,S 的最大值为 f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数 u
=f(a)的图象大致是( )

答案 C
1

解析 设 CD=x,则 S=x(16-x)(4<x<16-a),
? ?64,0<a≤8, Smax=f(a)=? ? ?a?16-a?,8<a<12.

故选 C.

4.[2014·湖南高考]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的 增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A. )

p+q
2

B.

?p+1??q+1?-1 2

C. pq 答案 D

D. ?p+1??q+1?-1

解析 设两年前的年底该市的生产总值为 a,则第二年年底的生产总值为 a(1+p)(1+

q).设这两年生产总值的年平均增长率为 x,则 a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持
续增加,所以 x>0,因此 x= ?1+p??1+q?-1,故选 D. 5.[2015·北京朝阳区模拟]某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租 金定为 3000 元时, 这 70 套公寓能全租出去; 当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的 整数倍), 就会多一套房子不能出租. 设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修 等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为 ( ) A.3000 元 C.3500 元 答案 B 解析 由题意,设利润为 y 元,租金定为 3000+50x 元(0≤x≤70,x∈N). 则 y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2900+50x)(70-x) =50(58+x)(70-x) ≤50? B.3300 元 D.4000 元

?58+x+70-x?2, ? 2 ? ?

当且仅当 58+x=70-x, 即 x=6 时,等号成立, 故每月租金定为 3000+300=3300(元)时, 公司获得最大利润,故选 B. 6.[2015·深圳二模]某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月 增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已 知本年 9 月份两食堂的营业额又相等,则本年 5 月份( A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 答案 A 解析 设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m,甲食堂的营业额每月增加 a(a>0),乙食
2

)

堂的营业额每月增加的百分率为 x,由题意可得,m+8a=m×(1+x) ,则 5 月份甲食堂的营 业额 y1=m+4a,乙食堂的营业额 y2=m×(1+x) = m?m+8a?,因为 y1-y2=(m+4a) -
4 2 2 2

8

m(m+8a)=16a2>0,所以 y1>y2,故本年 5 月份甲食堂的营业额较高.
7.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全稿酬的 11%纳税.某人出版了一书共 纳税 420 元,这个人的稿费为________元. 答案 3800 解析 420<4000×11%, 所以稿费范围是(800,4000], 所以(x-800)×14%=420, 解得 x=3800. 8. [2015·安阳模拟]某类产品按工艺共分 10 个档次, 最低档次产品每件利润为 8 元. 每 提高一个档次,每件利润增加 2 元.用同样工时,可以生产最低档产品 60 件,每提高一个档 次将少生产 3 件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是________. 答案 9 解析 由题意,第 k 档次时,每天可获利润为:y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k +108k+378(1≤k≤10),配方可得 y=-6(k-9) +864,∴当 k=9 时,获得利润最大. 9.某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八 月份销售总额相等. 若一月份至十月份销售总额至少达 7000 万元, 则 x 的最小值是________. 答案 20 解析 七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%) , 则一月份到十月份的销售总额是 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ], 根据题意有 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) ]≥7000,即 25(1+x%)+25(1+
2 2 2 2 2

x%)2≥66,
令 t=1+x%,则 25t +25t-66≥0, 6 11 6 解得 t≥ 或 t≤- (舍去),故 1+x%≥ , 5 5 5 解得 x≥20.故 x 的最小值为 20.
2

10.[2016·长春模拟]某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用, 据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲

3

线. (1)写出第一次服药后,y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗有效.求服药一次后 治疗有效的时间是多长?

kt,0≤t≤1, ? ? 解 (1)由题意可设 y=??1?t-a ? ? ,t>1, ? ??2?
当 t=1 时,由 y=4 得,k=4.

?1?1-a 由? ? =4 得,a=3. ?2?
4t,0≤t≤1, ? ? 因此,y=??1?t-3 ? ? ,t>1. ? ??2?
? ?0≤t≤1, (2)由 y≥0.25 得,? ?4t≥0.25 ?

t>1, ? ? 或??1?t-3 ? ? ≥0.25, ? ??2?

1 解得 ≤t≤5. 16 1 79 因此,服药一次后治疗有效的时间是 5- = 小时. 16 16 11.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55~ 0.75 元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x-0.4)元成 反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元, 则电价调至多少时, 本年度电力部门的收益将比上 年度增加 20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解 (1)∵y 与(x-0.4)成反比例,

∴设 y=

k (k≠0). x-0.4 k

把 x=0.65,y=0.8 代入上式, 得 0.8= ,k=0.2. 0.65-0.4 ∴y= 0.2 1 = , x-0.4 5x-2 1 . 5x-2

即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= (2)根据题意,得?1+
2

? ?

1 ? ·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%). 5x-2? ?

整理,得 x -1.1x+0.3=0,
4

解得 x1=0.5,x2=0.6. 经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是 0.55~0.75, 故 x=0.5 不符合题意,应舍去. ∴x=0.6. ∴当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 12.[2015·徐州模拟]近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元,为了节能减排,决定安 装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积 x(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5.为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费

C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是 C(x)
= (x≥0,k 为常数).记 F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业 15 20x+100 (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 F(x)关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元? 解 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的电费, 即未安装太阳能

k

年共消耗的电费之和.

供电设备时企业每年消耗的电费为 C(0)= =24,得 k=2400, 100 2400 1800 所以 F(x)=15× +0.5x= +0.5x(x≥0). 20x+100 x+5 1800 (2)因为 F(x)= +0.5(x+5)-2.5 x+ 5 ≥2 1800 ·0.5?x+5?-2.5=57.5, x+5

k

1800 当且仅当 =0.5(x+5), x+5 即 x=55 时取等号,所以当 x 为 55 平方米时,F(x)取得最小值,最小值为 57.5 万元. [B 组·能力提升练] 1.某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为( )

A.5 C.9

B.7 D.11
5

答案 C 解析 前 m 年的年平均产量为 ,由各选项知求 , , , 的最大值,问题可转化为 m 5 7 9 11 求图中 4 个点 A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)与原点连线的斜率的最大值.由图 可知 kOC= 最大,即前 9 年的年平均产量最高.故选 C. 9

Sm

S5 S7 S9 S11

S9

2. [2014·浙江高考]如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训 练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准 目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°, 则 tanθ 的最大值是________.(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角) 答案 5 3 9

解析 过点 P 作 PN⊥BC 于 N, 连接 AN, 则∠PAN=θ , 如图. 设 PN=x m, 由∠BCM=30°, 得 CN= 3x m.在直角△ABC 中,AB=15 m,AC=25 m,则 BC=20 m,故 BN=(20- 3x) m.从

6

而 AN = 15 + (20 - 3 x) = 3x - 40 3 x + 625 , 故 tan θ = 1 = 1 .

2

2

2

2

2

PN2 x2 = 2= AN 3x2-40 3x+625

625 40 3 +3 2 -

x

x

?1 4 3?2 27 625? - ?+ ?x 125 ? 25

1 4 3 25 125 3 5 3 2 当 = 时,tan θ 取最大值 ,即当 x= 时,tanθ 取最大值 . x 125 27 12 9 3. 某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额, 拟在 2015 年进行一系列促销活动, 经过市场调查和测算,保健品的年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3-x 与 t+2 成 反比.如果不搞促销活动,保健品的年销量只能是 1 万件.已知 2015 年生产保健品的固定费 用为 5 万元, 每生产 1 万件保健品需再投入 40 万元的生产费用, 若将每件保健品的售价定为 “其生产成本的 150%”与“平均每件促销费用的 80%”之和,则当年生产的保健品正好能销 完. (1)将 2015 年的年利润 y(万元)表示为年促销费用 t(万元)的函数; (2)该企业 2015 年的年促销费用投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用) 解 (1)因为年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3-x 与 t+2 成反比, 所以可设 . 3-x

t+2=

k

k 4 由题意知,当 t=0 时,x=1,代入上式得 0+2= ,解得 k=4.所以 t+2= , 3-1 3-x
即 x=3- 4

t+2

.①

由题意知 2015 年的生产成本为 y1=5+40x, 销售收入为 y2=150%y1+80%t, 1 1 1 1 所以 2015 年的利润 y=y2-y1-t= y1- t= ×(5+40x)- t, 2 5 2 5 4 ?? 1 125 ? 80 t? 1 ? ? 将①代入上式得 y= ×?5+40×?3- ?- t= 2 -?t+2+5?(t≥0). t + 2? 2 ? ? ?? 5 ? ? (2) 由 (1) 知 t≥0 , 所 以 80 t ? 80 +t+2? - 2 ≥2 + = ? 5 ? t+2 5 5 ?t+2 ? 16 - 2 38 = 5 5

?当且仅当 80 =t+2,即t=18时取等号?. ? ? t+2 5 ? ?
125 38 549 549 所以 y≤ - = , 所以当年促销费用投入 18 万元时, 年利润 y 取得最大值, 为 2 5 10 10 万元. 4. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综 合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=?

? 22x -a?+2a+2,x∈[0,24],其中 ? 3 ?x +1 ?

a 是与气象有关的参数,且 a∈[0,1],若用每天 f(x)的最大值作为当天的综合放射性污染指
数,并记作 M(a).
7

(1)令 t=

2x ,x∈[0,24],求 t 的取值范围; x +1
2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标? 解 (1)当 x=0 时,t=0; 2x 2 = ≤1(当 x=1 时取等号),所以 0<t≤1,综上,t 的取值范 x2+1 1 x+ x

当 0<x≤24 时,0<

围是[0,1]. 2 (2)当 a∈[0,1]时,记 g(t)=|t-a|+2a+ , 3 2 ? ?-t+3a+3,0≤t≤a, 则 g(t)=? 2 ?t+a+3,a<t≤1, ? 因为 g(t)在[0,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增, 且 g(0) = 3a + 1 ? ?g?1?,0≤a≤2, ? 1 ?g?0?,2<a≤1, ? 2 5 ? 1? , g(1) = a + , g(0) - g(1) = 2 ?a- ? . 故 M(a) = 3 3 ? 2?



5 1 a+ ,0≤a≤ , ? ? 3 2 M(a)=? 2 1 3a+ , <a≤1. ? ? 3 2 1 所以当且仅当 0≤a≤ 时,M(a)≤2. 3 1 1 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤1 时超标. 3 3

8


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