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线性代数试卷B

线性代数试卷B


甘肃农业大学成人高等教育考试试卷
考试时间

A、充分条件 得分

B、充要条件

C、必要条件

D、无关条件

2015 级第 1 学年期终考试 机械设计制造及其自动化(专升本)线性代数(B 卷)
线 注意事项:1. 考生务必将自己姓名、学号、专业名称写在指定位置; 2. 密封线和装订线内不准答题。

二、填空题(每题 3 分,共 15 分)

?1 0 1? ? ? 6.设 A ? ? 0 2 0 ? ,则 A2 ? 2 A = ?1 0 1? ? ?



题号
学号:











总分
? 1 1? 7.已知 ? ? ?1,2,3?, ? ? ?1, , ?, 设 A ? ? T ? , 则 A ? ? 2 3?

分数
线

; ; 向 ?,4 4 ?, 5 , 6 ? , 则 该 4 ,量 5,组 6 ,的 7 秩 , ? 3 ?

8.设 A 是三阶方阵,且 A ? ?1 ,则 A* ? 2 A?1 ? 一、单项选择题(每题 3 分 共 15 分) 9 . 已 知 向 量 组 ?1 ? ?1 , 2 , 3 42 ? ,? ?, ? 为 ;

得分

2, ,3 4? , ? 3? ?5 ,

1.满足下列条件的行列式不一定为零的是(


) 。

A、行列式的某行(列)可以写成两项和的形式; B、行列式中有两行(列)元素完全相同;

? 1 ?1 1 ? ?? ? ? ? 10. 已知 A ? ? 2 4 ?2 ? , B ? ? 0 ? ? 3 ?3 5 ? ?0 ? ? ?

0 0? ? 2 0 ? ,且 A 于 B 相似,则 ? ? 0 2? ?



专业、年级:

C、行列式中有两行(列)元素成比例; D、行列式中等于零的个数大于 n2 ? n 个.


得分 三、计算题(每题 10 分,共 50 分) ,当满足( )时,是正定二次型。 D、 ? ? 1

2. 二次型 A、 ? ? ?1

2 2 f ( x1, x2 , x3 ) ? (? ?1) x12 ? ? x2 ? ? ? ?1? x3

B、 ? ? 0 )。

C、 ? ? 1

1 ? a1
11.求行列式 Dn ?

1

1

1 1 1 1 ? an (a1a2 an ? 0) 的值。

3. 设 A, B 为同阶可逆方阵,则(


A、 AB ? BA C、存在可逆矩阵 C, 使C AC ? B
T

B、存在可逆矩阵 P, 使P AP ? B D、存在可逆矩阵 P, Q, 使PAQ ? B ) 。

?1

1 1 1

1 ? a2 1 1 1 ? a3 1 1

姓名

4.向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是( A、错误!未找到引用源。均不为零向量 B、错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关 C、错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例


D、错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向 量线性表示 5.零为方阵 A 的特征值是 A 不可逆的( ) 。

? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 0 ? 12.已知 3 阶非零矩阵 B 的每一列都是方程组 ?2 x1 ? x2 ? ? x3 ? 0 的解, ? 3x ? x ? x ? 0 ? 1 2 3

①求 ? 的值;②证明 B ? 0 .

得分

四、 解答题(共 10 分)

16. ? ? (1,3, ?3)T ,?1 ? (1,2,0)T ,?2 ? (1, a ? 2, ?3a)T , ?3 ? (?1, ?b ? 2, a ? 2b)T , 试讨论 a , b 为何值时 (1) ? 不能用 ?1 ,? 2 ,? 3 线性表示; (2) ? 可由 ?1 ,? 2 ,? 3 唯一地表示,并求出表示式; (3) ? 可由 ?1 ,? 2 ,? 3 表示,但表示式不唯一,并求出表示式。

?3 1 1? ?1 1 0? ? ? ? ? 13.设 3 阶矩阵 X 满足等式 AX ? B ? 2 X ,其中 A ? 0 1 2 , B ? 1 0 2 , 求矩阵 X 。 ? ? ? ? ?0 0 4? ? 2 0 2? ? ? ? ?

?3? ?1? ? ?1 ? ? 3? ? ?4 ? ?1? ? 3? ? ?3 ? ? 5? ? ?4 ? 14.求向量组 ?1 ? ? ? ,? 2 ? ? ? ,? 3 ? ? ? ,? 4 ? ? ? , ? 5 ? ? ? 的秩及最大无关组。 ?0? ? 2? ? ?2 ? ? 3? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 3? ? ?3 ? ? 4? ? ?2 ?

得分

五、 证明题(每题 5 分,共 10 分) 未找到引用源。 是一组 n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: ,?n 错误!

17.设 ?1,?2 ,

任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。

? 0 0 1 ? ? x2 ? ? ?? ? 15. 设 f ( x1 , x2 , x3 ) ? ( x1 , x2 , x3 ) ? 3 0 0 ? ? x3 ? ? 4 3 0 ?? x ? ? ?? 1 ?
(1)求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 所对应的矩阵 A ; (2)求 A 的特征值和对应的特征向量。

18.设 A 为对称矩阵, B 为反对称矩阵,且 A, B 可交换, A ? B 可逆,证明: ? A ? B ?? A ? B ? 是正
?1

交矩阵。



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