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高一数学必修一综合同步题目 分节训练

高一数学必修一综合同步题目 分节训练


高一必修一函数综合同步练习
有小题训练部分 也有大题训练 总体综合能力较强 附有答案 建议训练 高三的同学也可以训练哦

一 函数概念
1、与函数 A. C.

y ? ?2x3 有相同图象的一个函数是(
B. D.



y ? ? 2x3
y ? ?x ?2x

y ? x ?2x

y ? x2 ?

y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平移是( 1 A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 B.沿 x 轴向右平移 个单位 2 1 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位 D.沿 x 轴向左平移 个单位 2 f (2 x ) 3、若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? 的定义域是 x ?1 A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1) ? (1,4] D. (0,1) 1 1 4、若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? 的值域是( ) 2 f ( x) 1 10 5 10 10 ] ] ] A. [ , 3] B. [2, C. [ , D. [3, 2 3 2 3 3
2、为了得到函数

2 x



x2 5、已知函数 f(x)= 1 ? x2
6、已知

,那么 f(1)+f(2)+f(

1 1 1 )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=_____. 2 4 3


?1, x ? 0 ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 f ( x) ? ? ?? 1, x ? 0 y2 2 ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的取值范围。 7、已知 ? x ? 2 ? ? 4
2 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x

8、已知

函数性质部分错题库
1.函数 2.函数

f ( x) ? 1 ? f ( x) ?

1 x?m

在 (1, ??) 上递减,则 m 的范围是____________.

1. 2. 3.

2 的定义域是 (??,1) ? [2,5) ,则其值域是____________. x ?1 3.设函数 f ( x ) 的定义域为 R ,有下列三个命题: 若存在常数 M ,使得对任意的 x ? R ,有 f ( x) ? M ,则 M 是函数 f ( x ) 的最大值; 若存在 x0 ? R ,使得对任意的 x ? R ,且 x ? x0 ,有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值; 若存在 x0 ? R ,使得对任意的 x ? R ,有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值;
这些命题中,真命题有____________. 4.已知函数 f ( x ) 在区间[a,c]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则

f ( x) 在区间[a,b]上的最小值是____________.

2 且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) , x ? ( ,2 时, f ( x) ? 2 x , f ( ? ____________. 当 则 7) f ( x) 在 R 上是奇函数, 0) 6.如果函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 ( ??, 0) 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是

5.已知函数

____________. 7.已知函数 f ( x ) , g ( x) 均为奇函数,且 F ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ? 2 在 (0, ??) 上有最大值 5 (ab ? 0) ,则 F ( x ) 在

1. 2.

(??, 0) 上的最小值为____________. 8.已知定义在 (?5,5) 上的偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上是单调增函数, 若 f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围是____________. 9.已知定义在 (?5,5) 上的奇函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上是单调增函数, 若 f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ? 0 ,则 a 的取值范围是____________. 10.设函数 f ( x ) 对于任意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 。 证明 f ( x ) 是奇函数。 若 f (2 x ? 5) ? f (6 ? 7 x) ? 4 ,求 x 的取值范围。

指数函数部分错题库
1.下列各式中正确的是(
2 3 2 3

)

1 1 1 2 1 2 3 3 B. ( ) < ( ) < ( ) 3 2 2 5 2 2 1 1 1 1 D. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 5 2 2 1 1 2 .若a> 0,且a≠1,f(x) 是奇函数,则g(x) =f(x)[ x + ] a ?1 2 (
A.是奇函数 B.不是奇函数也不是偶函数 C.是偶函数 D.不确定 3.函数 y=2-x 的图像可以看成是由函数 y=2-x+1+3 的图像平移后得到的,平移过程是( A.向左平移 1 个单位,向上平移 3 个单位 B.向左平移 1 个单位,向下平移 3 个单位 C.向右平移 1 个单位,向上平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,向下平移 3 个单位

1 1 1 1 A. ( ) < ( ) < ( ) 3 2 5 2 2 1 1 1 1 2 C. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 5 2 2

)

)

y ?b

x

y

y ? cx y ? dx

y ?a ,y ?b ,y ?c ,y ?d 在同一坐标系中的图像如图所示,则 a, b, c, d 的大小顺序是( ) A. a ? b ? c ? d B. a ? b ? d ? c C. b ? a ? d ? c 5.若 ? 1 ? x ? 0 ,那么下列各不等式成立的是( ) ?x x x x x ?x A.2 ? 2 ? 0.2 B.2 ? 0.2 ? 2 C.0.2 x ? 2 ? x ? 2 x 1 x 1 x 6.若方程 ( ) ? ( ) ? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是 4 2 1 1 ? )x3 7.已知函数 f ( x) ? ( x 2 ?1 2
4.设 a, b, c, d 都是不等于 1 的正数,
x x x x

y ? ax

D. b ? a ? c ? d

x o

D.2 ? 2
x

?x

? 0.2

x

(1)求函数的定义域; (2)讨论函数的奇偶性; (3)证明: 8.设 0 ?

f ( x) ? 0
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。 x ?2 9.函数 y ? a ? 1.(a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点( ) A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2) 范
( 10.函数f(x) = 2 (a ?1)x 是定义域为R上的减函数,则实数a的取值 A.a∈R B.a∈R 且 a≠±1 C.-1<a<1 D.-1≤a≤1
2

x ? 2 ,求函数 y ? 4

范围是

)

对数函数部分错题库 1、计算下列各式的值: (1) 2(lg 2)2 ? lg 2 ? lg5 ? (lg 2)2 ? lg 2 ?1

(2)

1 log 2 (2 x ? 2 x2 ? 1) ? log 2 ( x ? 1 ? x ? 1) 2

log 7?log7 8?log5 3 (3) 5 2

2、设函数

(1)求 f ( x) 定义域; (2)若 f ( x) >0,求 x 的取值范围; f ( x) ? log1 | log1 x | ,
2 2

3、函数 f ( x) = lg

1 ? 2x ? a ? 4x 在 ( ?? , 1] 上有意义,求实数 a 的取值范围。 3

4、已知 f ( x) = loga a x ? 1 (a>0且 a≠1) (1)求定义域; (2)讨论 f ( x) 的单调性;

?

?

5、若方程 ? lg ax ? lg ax2 =4所有解都大于1,求 a 的取值范围。

?

?

幂函数易错题库 1. 下列命题中正确的是 n A.当 n=0 时,函数 y=x 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) C.幂函数的图象不可能出现在第四象限 n n D.若幂函数 y=x 是奇函数,则 y=x 在其定义域上一定是增函数 2.

(

)

函数f ?x ? ? x 3的图像是

2

(

)

3. 已知幂函数 f(x)=x 满足 3f(2)=f(4),则 f(x)的表达式为________. 4. 求下列函数的定义域、值域和单调区间.

n

5. 比例下列各组数的大小. (1) ? 8
? 7 8

1 和?( )8 ; 9

7

2 2 ? 5 , (3.8) 3 (2) (4.1)

3 5 和(?1.9)

.

6. 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
2

(1)y=x 5 ; (2)y=x

?

3 4

; (3)y=x .

-2

7.已知函数y ? x m

2

? 2 m ?3 m 3

0 ? m ? ? ? 的图像关于y轴对称,且在(,? ?)上单调递减,求满足
*

? a ? 1?

?

m 3

? ? 3 ? 2a ?

?

的a的范围。

答案: 集合部分

1-5 6.20

DDACA 7. ?0, 2,3, 4,5? 8.(1)a>1 (2)a=0or1 (3)a=0

9.解:(1)因 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故 A、B 都是由奇数构成的,即 A=B. (2)因 A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, 又 x=4n=2· 2n, 在 x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在 x=4n 中,2n 只能是偶数. 故集合 A、B 的元素都是偶数.但 B 中元素是由 A 中部分元素构成,则有 B A. 10.解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B ? A. 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立,

?m ? 1 ? 2m ? 1, 需? 可得 2≤m≤3.综上所得实数 m 的取值范围 m≤3. ?m ? 1 ? 5
(2)当 x∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以,A 的非空真子集个数为 2 8-2=254. (3)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立. 则①若 B≠ ? 即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件;

?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 1 ? 2m ? 1, ②若 B≠ ? ,则要满足条件有: ? 或? 解之,得 m>4. ?m ? 1 ? 5 ?2m ? 1 ? ?2
综上有 m<2 或 m>4.
函数概念部分

1-4 5、
7 2

CDBB
3 6、 ? x | x ? ? ? ? ? 2? 28 7、 ?1, ? ? ? ? 3?

8、 f ( x) ? lg

2 ( x ? 1) x ?1

函数性质部分 指数函数部分 对数函数部分

1.(1)原式 ? lg 2(2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2) 2 ? 2 lg 2 ? 1 ? lg 2(lg 2 ? lg 5) ? | lg 2 ? 1| ? lg 2 ? 1 ? lg 2 ?1

(2)原式 ? log 2 ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 ? x ? 1 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ?1

? ?

x ?1 ? x ?1

?

? ?

x ?1 ? x ?1

?

2

? log 2

?

x ?1 ? x ?1

x ? 1 ? x ? 1 ? log 2

?

?

x ?1 ? x ?1

?

? log 2 2

(3)原式 ? 5 ? 5log5 3 ? 33 ? 27
3

lg 7 lg 8 lg 3 ? ? lg 2 lg 7 lg 5

?x ? 0 ? ? x ? 0 且 x ?1 。 2、解: (1)依题意有 ? ? log 1 x ? 0 2 ?

(2)由 f ( x) ? 0 ? log 1 log 1 x ? 0 ? 0 ? log 1 x ? 1
2 2 2

? ?1 ? log 1 x ? 0 或 0 ? log 1 x ? 1
2

2

?

1 ? x ? 1或1? x ? 2 2

3、解:依题意可知,当 x ? (?? , 1] 时,
?? 1 ? x 即 a ? ? ?? ? ?? 4 ? ?

1 ? 2x ? 4x a ?0 3

x ?1? ? ? ? ? ? 对 x ? (?? , 1] 恒成立 ? 2? ? ?

?? 1 ? ? 1 ? 记 g ( x) ? ? ?? ? ? ? ? ?? 4 ? ? 2 ? ?
x

x

? ? , x ? (?? , 1] ,则 a ? g ( x)max ? ?

?? 1 ? x ? 1 ? x ? ? g ( x) ? ? ?? ? ? ? ? ? 在 ( ?? , 1] 上为增函数 ?? 4 ? ? 2 ? ? ? ?
3 ?1 1? ? 当 x ? 1 时, g ( x)max ? ? ? ? ? = ? 4 ? 4 2? ?a ? ? 3 4

4、解: (1)由 a x ? 1 ? 0

得 ax ? 1

当 a ? 1 时, x ? 0 当 0 ? a ? 1 时, x ? 0
? 定义域是: a ? 1 时, x ? ? 0, ?? ? ; 0 ? a ? 1 时, x ? ? ??, 0?

(2)当 a ? 1 时,设 0 ? x1 ? x2 则 ax ? ax
2 1

即 ax ?1 ? ax ?1
2 1

?a ? 1

? log a (a x2 ? 1) ? log a (a x1 ? 1)

即 f ( x2 ) ? f ( x1 )
?a ? 1 时, f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数

当 0 ? a ? 1 时,设 x1 ? x2 ? 0 则有 a x ? a x
1 2

? log a (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1)

即 f ( x2 ) ? f ( x1 )
? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ? ??, 0 ? 上也是增函数

5、解:方程 (lg ax)(lg ax2 ) ? 4 变形为 (lg a ? lg x) ? (lg a ? 2lg x) ? 4 即: 2lg 2 x ? 3lg a ? lg x ? lg 2 a ? 4 ? 0 设 ? ? lg x ,则 ? ? R 故原题化为方程所有的解大于零
?9 lg 2 a ? 8lg 2 a ? 32 ? 0 ? 即 ?3lg a ? 0 ? 2 ?lg a ? 4 ? 0

解得 0 ? a ?

1 100

幂函数部分 1.答案:C 解析:A 中,n=0,y=1(x≠0). 1 B 中,y= 不过(0,0)点.

x x

1 D 中,y= 不是增函数.故选 C. 2 ∴x∈R,且 0< <1,故选 C. 3

2.答案:C 3.

解析:由题意知 3×2 =4 ,∴3=2 ,∴n=log23. 1 1 1 4.解:(1)2x-1≥0,x≥ . ∴定义域为[ ,+∞),值域为[0,+∞).在[ ,+∞)上单调递增. 2 2 2 (2)x+2≠0,x≠-2,∴定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域为(-1,+∞). 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减. 5.解析:(1) ? 8
7 8 ? 7 8

n

n

n

1 1 1 1 1 ? ?( ) 8 ,函数 y ? x 8 在(0, +∞)上为增函数,又 ? ,则 ( ) 8 ? ( ) 8 , 8 8 9 8 9
7

7

7

7

7

从而 ? 8

?

1 ? ?( ) 8 . 9
2 5 >1
2 5

2 5 (2) (4.1)

= 1;0< (3.8)

?

2 3

<1

?

2 3

=

3 5 1; (?1.9)

3 5 <0,∴ (?1.9)

< (3.8)

?

2 3

2 5 < (4.1)

.

6.解: (1)函数 y=x ,即 y= 5 x 2 ,其定义域为 R,是偶函数,它在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0] 上单调递减. (2)函数 y=x 上单调递减. (3)函数 y=x ,即 y= (0,+∞)上都单调递减. 7.解:先根据条件确定 m 的值,再利用幂函数的增减性求 a 的范围. ∵函数在(0,+∞)上递减, ∴m -2m-3<0,解得-1<m<3. 又 m∈N ,∴m=1,2.
* 2 -2

?

3 4

,即 y=
4

1 x3

,其定义域为(0,+∞) ,它既不是奇函数,也不是偶函数,它在(0,+∞)

1 x2

,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,是偶函数.它在区间(-∞,0)和

又函数图象关于 y 轴对称,∴m -2m-3 为偶数,故 m=1,

2

∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 3-2a>0>a+1, 2 3 解得 <a< 或 a<-1. 3 2 解答题 1. 判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ? 单调性.

k 2 ,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的 x

2. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0, 求 a 的取值范围.

3. 利用函数的单调性求函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域;

4.

已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5? .
2

①当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;

②求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数.

1. 解:当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是增函数,当 k ? 0 , y ? kx ? b 在 R 是减函数;

k 在 (??,0),(0, ??) 是减函数, x k 当 k ? 0 , y ? 在 (??,0),(0, ??) 是增函数; x b b 2 ] 是减函数,在 [ ? , ??) 是增函数, 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a b b 2 ] 是增函数,在 [ ? , ??) 是减函数. 当 a ? 0 , y ? ax ? bx ? c 在 ( ??, ? 2a 2a
当k ? 0, y ?

??1 ? 1 ? a ? 1 ? 2. 解: f (1 ? a) ? ? f (1 ? a2 ) ? f (a 2 ?1) ,则 ? ?1 ? 1 ? a 2 ? 1 , ?1 ? a ? a 2 ? 1 ?

? 0 ? a ?1
3. 解: 2 x ? 1 ? 0, x ? ?

1 1 1 ,显然 y 是 x 的增函数, x ? ? , ymin ? ? , 2 2 2

1 ? y ? [? , ??) 2
4. 解: (1)a ? ?1, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2, 对称轴

x ? 1, f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (5) ? 37
∴f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1 (2)对称轴 x ? ? a , 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x ) 在 ? ?5,5? 上单调

a ∴ ? 5 或 a ? ?5 .

17. 已知函数 f(x)=x +2ax+2,

2

x ? ?? 5,5? .

(1)当 a=-1 时,求函数的最大值和最小值; (2) 若 y=f(x)在区间 ?? 5,5? 上是单调 函数,求实数 a 的取值范围。

18.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (Ⅰ )若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围.

(Ⅱ )若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.

17.解: (1)最大值 37, 最小值

1

(2)a ? 5 或 a ? ?5

18. )设 f ( x) =x2+2mx+2m+1,问题转化为抛物线 f ( x) =x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区 (Ⅰ 间(-1,0)和(1,2)内,则

1 ? ?m ? ? 2 , ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f (?1) ? 2 ? 0, ?m ? R, ? ? 5 1 ?? 1 解得 ? ? m ? ? . ? 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0. ? ? ?m ? ? 5 . ? 6 ?
(Ⅱ )若抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内,则有

∴ m ?? ? , ? ? .

? 5 ? 6

1? 2?

?m ? ? 2 , ? f (0) ? 0, ? ? f (1) ? 0, 1 1 ? ? 即 ? ?m ? ? , 解得 ? ? m ? 1 ? 2 . ? 2 2 ? ?? ? 0, m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ?0 ? ?m ? 1. ? ?? 1 ? m ? 0. ?

?

1

∴ m?? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? . ? 2 ?

20.已知 f ( x) ? 9 ? 2 ? 3 ? 4, x ? ?? 1,2?
x x

(1)设 t ? 3 , x ? ?? 1,2? ,求 t 的最大值与最小值;
x

(2)求 f (x) 的最大值与最小值;

20、解: (1)? t ? 3 x 在 ?? 1,2? 是单调增函数

t max ? 32 ? 9 , t min ? 3 ?1 ?

1 3

x (2)令 t ? 3 ,? x ? ?? 1,2? ,? t ? ? ,9? 原式变为: f ( x) ? t 2 ? 2t ? 4 , 3

?1 ? ? ?

?1 ? 此时 x ? 1 , f ( x) min ? 3 , ? f ( x) ? (t ? 1) 2 ? 3 , t ? ? ,9? , 当 t ? 1 时, ? ? ?3 ?
当 t ? 9 时,此时 x ? 2 , f ( x) max ? 67 20. 若 0≤x≤2,求函数 y= 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值

20. 解: y ? 4

x?

1 2

1 2 ? 3 ? 2 x ? 5 ? (2 x) ? 3 ? 2 x ? 5 2
1 2 1 1 2 t ? 3t ? 5 = (t ? 3) ? 2 2 2
(1 ? t ? 4 )

x 令 2 ? t ,因为 0≤x≤2,所以 1 ? t ? 4 ,则 y=

因为二次函数的对称轴为 t=3,所以函数 y= 数. ∴ 当 t ? 3 ,即 x=log 2 3 时

1 2 t ? 3t ? 5 在区间[1,3]上是减函数,在区间[3,4]上是增函 2 1 y min ? 2

当 t ? 1 ,即 x=0 时

y max ?

5 2

19. 已知函数 f ( x) 是定义域在 R 上的奇函数,且在区间 (?? , 0) 上单调递减, 求满足 f(x +2x-3)>f(-x -4x+5)的 x 的集合
2 2

19.解: ? f ( x) 在 R 上为偶函数,在 ( ??, 0) 上单调递减 ? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数 又 f (? x2 ? 4 x ? 5) ? f ( x2 ? 4 x ? 5)

? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 0 , x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 1 ? 0 由 f ( x2 ? 2x ? 3) ? f ( x2 ? 4 x ? 5) 得 x2 ? 2 x ? 3 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 解集为 {x | x ? ?1} .

? x ? ?1

18. (本小题满分 10 分) 已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 是偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? ln x 2 ? 2 x ? 2 ,(1)当 x ? 0 时, 求 f ? x ? 解析式;(2)写出 f ? x ? 的单调递增区间。

?

?

19. (本小题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出。当每辆车的 月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?

(2) 是多少?

当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益

20、 (本小题满分 12 分)
?4 ? x 2 ( x ? 0) ? 已知函数 f ? x ? ? ? 2( x ? 0) , ?1 ? 2 x( x ? 0) ?

(2)求 f ? a 2 ? 1? (a ? R), f ? f ? 3? ? 的值;

(3)当 ?4 ? x ? 3 时,求 f ? x ? 取值的集合.

18. (本小题 10 分) (1) x ? 0 时, f ? x ? ? ln x 2 ? 2 x ? 2 ; (2) (?1,0) 和 ?1,?? ? 19. (本小题 12 分) 解: (1)租金增加了 600 元, 所以未出租的车有 12 辆,一共出租了 88 辆。……………………………2 分 (2)设每辆车的月租金为 x 元, (x≥3000) ,租赁公司的月收益为 y 元。
x ? 3000 x ? 3000 x ? 3000 )? ? 50 ? (100 ? ) ?150 50 50 50 则: …………………8 分 x2 1 ? ? ? 162 x ? 21000 ? ? ( x ? 4050) 2 ? 37050 50 50 y ? x(100 ?

?

?

当x ? 4050时,   ymax ? 30705

………………………………………11 分

1 ? y ? ax2 ? bx 的顶点横坐标的取值范围是 (? ,0) ……………………12 分 2 20. (本小题 12 分) 解: (1) 图像(略) ………………5 分

(2) f (a2 ? 1) ? 4 ? (a2 ? 1)2 ? 3 ? 2a2 ? a4 ,
f ( f (3)) = f (?5) =11,………………………………………………9 分

(3)由图像知,当 ?4 ? x ? 3 时, ?5 ? f ( x) ? 9 故 f ? x ? 取值的集合为 ? y | ?5 ? y ? 9? ………………………………12 分

三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性(1) f ( x) ?

1 ? x2 x?2 ?2

(2) f ( x) ? 0, x ???6, ?2? ? ?2,6?

2. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 且对任意 a, b ? R , 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 恒成立,证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。

3.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f (x) 的奇偶性;
2

(2)求 f (x) 的最小值。

三、解答题 1.解: (1)定义域为 ? ?1,0? ? ? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ?

1 ? x2 , x

∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ?

1 ? x2 为奇函数。 x

(2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数。 2.证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴ f ( x )? f ( 1 ? x 1
2

x? 2 ) ? x

f 1x ( ?

2

x? )

(f 2 x? )

(f 2 x )

∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 3.解:∵ f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 ?? 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1
而 f ( x) ? g ( x) ?
2 4.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1为偶函数, 2 当 a ? 0 时, f ( x)? x ? | x? a| ? 1 为非奇非偶函数;
2 2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2 1 1 3 当 a ? 时, f ( x ) m i n? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x) m i 不存在; n 2

3 , 4

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 , 4

1 时, f ( x) i n? f ( a) 2 a ? , ? 1 m 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? a ? 。 2 2 4
当a ? ?

? 2? x x ? 1 1 10.设函数 f ( x ) ? ? , 求满足 f ( x ) = 的 x 的值. 4 ?log4 x x ? 1

11.已知 f ( x) ? 2x , g ( x) 是一次函数,并且点 (2, 2) 在函数 f [ g ( x)] 的图象上,点 (2,5) 在函数 g[ f ( x)] 的图象上,求 g ( x) 的解析式.

12.若 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值.

13.⑴已知 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ,且 2 f ( x ) ? f ( ) ? x ,试判断 f ( x) 的奇偶性。 ⑵函数 f ( x) 定义域为 R ,且对于一切实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,试判断 f ( x) 的奇偶性。

1 x

抽象函数

14.光线通过一块玻璃,其强度要损失 10% ,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为 a ,通过 x 块 玻璃后强度为 y . (1)写出 y 关于 x 的函数关系式;

(2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的

1 以下? ( lg 3 ? 0.4771) 3

15. 已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值;

?2 x ? b f ( x) ? x ?1 是奇函数。 2 ?2

(Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性;

(Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

参考答案: 10.解:当 x∈(﹣∞,1)时,由 2 = 当 x∈(1,+∞)时,由 log4x= 综上所述,x= 2 11. 解:? g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)=kx+b (k ? 0) ∴f ? g ( x)? =2 ∴依题意得
kx ? b
﹣x

1 ,得 x=2,但 2 ? (﹣∞,1) ,舍去。 4

1 ,得 x= 2 , 2 ∈(1,+∞)。 4

g ? f ( x)? =k ?2 +b
x

?22 k ?b ? 2 ? 2k ? b ? 1 ? k ? 2 ? 即? ?? ? 2 ?k ?2 ? b ? 5 ?4k ? b ? 5 ?b ? ?3 ?

∴ g ( x) ? 2 x ? 3 .………12 分
x? 1 2

12. 解: y ? 4

1 2 ? 3 ? 2 x ? 5 ? (2 x) ? 3 ? 2 x ? 5 2

x 令 2 ? t ,因为 0≤x≤2,所以 1 ? t ? 4

则 y=

1 2 1 1 2 t ? 3t ? 5 = (t ? 3) ? 2 2 2

(1 ? t ? 4 )

因为二次函数的对称轴为 t=3,所以函数 y= 数. ∴ 当 t ? 3 ,即 x=log 2 3 时 当 t ? 1 ,即 x=0 时

1 2 t ? 3t ? 5 在区间[1,3]上是减函数,在区间[3,4]上是增函 2

y min ? 5 2

1 2

y max ?

13.⑴∵ f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ,且 2 f ( x ) ? f ( ) ? x 令①式中 x 为

1 x



1 1 1 得: 2 f ( ) ? f ( x ) ? ② x x x 2x2 ?1 解①、②得 f ( x ) ? , ∵定义域为 {x | x ? 0} 关于原点对称, 3x 2(? x)2 ? 1 2 x2 ?1 2x2 ?1 ?? ? ? f ( x) ,∴ f ( x) ? 又∵ f (? x) ? 是奇函数. 3x 3(? x) 3x

⑵∵定义域关于原点对称, 又∵令 x ? y ? 0 的 f (0) ? f (0) ? f (0) 则 f (0) ? 0 , 再令 y ? ? x 得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) , ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,∴原函数为奇函数. 14.解析: (1) y ? a(1 ?10%) x ( x ? N ? ). ………4 分 (2) ? y ? a, ? a(1 ? 10%) x ? a, ?0.9x ? , ………8 分

1 3

1 3

1 3

x ? log 0.9

1 ? lg 3 ? ? 10.4, ………10 分 3 2lg 3 ? 1

∴ x ? 11 . ………12 分

15.Ⅰ)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,



b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x ) ? ………………………..3 分 2?2 2 ? 2 x ?1 1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 1 2x2 ? 2 x1 ? x2 ? x1 2x1 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ∴ 2 2 ? 2 1 >0 又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1) >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
x x

∴ f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数。 (Ⅲ)因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2 2 因 f ( x) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有:

3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

三、典型解答题

1.(12 分)已知 (考点:复合函数单调区间求法)

,求函数

得单调递减区间.

2.(12 分)已知



,求

.

(考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想) 3.(14 分)在经济学中,函数 的边际函数为 ,定义为 ,某公司每 (单位元),其成本函数为

月最多生产 100 台报警系统装置。生产 台的收入函数为 (单位元),利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 及其边际利润函数 ;

②求出的利润函数

及其边际利润函数

是否具有相同的最大值;

③你认为本题中边际利润函数

最大值的实际意义.

(考点:函数解析式,二次函数最值)

4. (14 分)已知函数 使得 在

,且 上为减函数,并且在

, 上为增函数.

,试问,是否存在实数



(考点:复合函数解析式,单调性定义法)

三、3. 解: 函数 故函数的单调递减区间为 4. 解: 已知 中 . 为奇函数, 即 ,得 5.解: , =





中 . .

, 也即



; ,故当 因为 为减函数,当 62 或 63 时, 74120(元)。

时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.

边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 6.解: .

由题设当

时, , , 时, , , .











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