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高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题含答案

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题含答案

函数及其表示
(一)知识梳理 1.映射的概念
设 A、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x,在
集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射,记作 f(x).
2.函数的概念 (1)函数的定义:
设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的 任意数 x,在 集合 B 中都有 唯一确定 的数 y 和它对应,则这样的对应关系叫做从 A 到 B 的一个函数,
通常记为___y=f(x),x∈A (2)函数的定义域、值域
在函数 y ? f (x), x ? A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的
值相对应的 y 值叫做函数值, 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

(二)考点分析 考点 1:映射的概念
例 1.下述两个个对应是 A 到 B 的映射吗?
(1) A ? R , B ? {y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ;

(2) A ? {x | x ? 0}, B ? {y | y ? R}, f : x ? y ? ? x .

例 2.若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a,b, c}, a,b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有
映射有 个

个, B 到 A 的

例 3.设集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {?2, ?1, 0,1, 2},如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对

M 中的每个元素 x 与它在 N 中的象 f (x) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是( )

( A) 8 个

(B) 12 个

(C) 16 个

(D) 18 个

考点 2:判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1) f (x) ? x2 , g(x) ? 3 x3 ;

(2) f (x) ?

x x



g

(

x)

?

?1 ???

1

x ? 0, x ? 0;

(3) f (x) ? x x ? 1 , g(x) ? x2 ? x ;

(4) f (x) ? x2 ? 2x ?1, g(t) ? t 2 ? 2t ?1

(5) f (x) ? 2n?1 x2n?1 , g(x) ? (2n?1 x)2n?1 (n∈N*);

考点 3:求函数解析式 方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数 f [g(x)]的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f (x)
题型 1:用待定系数法求函数的解析式
例 1.已知函数 f ? x? 是一次函数,且 f [ f (x)] ? 9x ? 4 ,求 f ? x? 表达式.

例 2.已知 f ? x? 是一次函数且 2 f ?2? ?3 f ?1? ? 5,2 f ?0? ? f ??1? ?1,则f ?x? ?





A. 3x ? 2

B. 3x ? 2

C. 2x ? 3

D. 2x ? 3

例 3.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f (x)>2x+5.
例 4.已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,且 f (x)+g(x) 为奇函数,求函数 f(x)的表达式.

题型 2:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例 1.已知二次函数 f (x) 满足 f (2x ? 1) ? 4x2 ? 6x ? 5 ,求 f (x)
? ? 例 2.已知 f x ?1 ? x ?1,则f ?x ? ? _____________。

例 3.已知

f

(1 ? 1?

x)=1? x 1?

x2 x2

,则

f

(x) 的解析式可取为

题型 3:求抽象函数解析式
例 1.已知函数 f (x) 满足 f (x) ? 2 f ( 1 ) ? 3x ,求 f (x) x
例 2、已知: 2 f (x) ? 3 f (?x) ? x ?1,求 f ? x? 表达式.

例 3.设函数 f (x) 与 g (x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f (x) 是偶函数, g (x) 是奇函数,且

f

(x)

?

g(x)

?

1 x ?1 ,求

f

(x)



g(x)

的解析式.

考点 4:求函数的定义域

题型 1:求有解析式的函数的定义域

(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范

围,实际操作时要注意:①分母不能为 0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数

应为非负数;④零指数幂中,底数不等于 0;⑤负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥若解析

式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使

得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题

的定义域不要漏写。

例 1.函数 f ? x? ? x2 ? 4 ? 1 的定义域为(



x?3

A.?2,? ?? ???,? 2?

B.?2,3? ?3,? ??

C. ???,? 2? ?2,3? ?3,? ??

D. ???,? 2?

例 2、函数 f (x) ? (x ? 1)0 的定义域是( ) x ?x
A.?x | x ? 0? B. ?x | x ? 0? C. ?x | x ? 0且x ? ?1?

D. ?x | x ? 0且x ? ?1?

题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域
例 1.已知 y ? f (x ? 2) 的定义域是[a,b] ,求函数 y ? f (x) 的定义域
例 2.已知 y ? f (2x ?1) 的定义域是(-2,0),求 y ? f (2x ?1) 的定义域
例 3、已知函数 y ? f (x ? 1) 的定义域为[-2,3],则 y ? f ?2x ? 1?的定义域是
_________

考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
例 1、 y ? ?x 2 ? 2x ? 3

例 2、 y ? ?2x2 ? 8x ? 5 (1) x ?[?1,1] (2) x ?[1,4] (3) x ?[4,8]

(2)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 y ? 2x ? 1 的值域 x2 ? 2x ? 2

例 3、 y ? 2x 2 ? 2x ? 3 x2 ? x ?1

例 4、 y ? x ?1 x2 ? x ?1

(3)换元法:通过等价转化换成常见函数模型,例如二次函数

例 5、 y ? x ? 1? 2x

例 6、 f ( x) ? 2x ? 3 ? 4x ? 13

(4)分段函数分别求函数值域,
例 7、 y ? x ? 3 ? x ? 5



8、函数

f

(x)

?

??2x

? ??

x2

? ?

x2 (0 ? x 6x(?2 ?

? 3) x ? 0)

的值域是(



A. R B.??9, ??? C.??8,1? D.??9,1?

(5)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ? 3x ? 2 的值域 4x ?3



9、

y

?

1? x2

x2 ?1



10、设函数

y

?

1 1? 1

的定义域为

M

,值域为

N

,那么

x





( A) M ?{x x ? 0}, N ?{y y ? 0}

(B) M ?{x x ? 0}, N ?{y y ?R}

(C) M ?{x x ? 0且x ? ?1,或x ? 0}, N ?{y y ? 0或0 ? y ?1或y ?1}

(D) M ?{x x ? ?1或?1? x ? 0或x ? 0}, N ?{y y ? 0}

1.2 函数及其表示练习题(2)

一、选择题

1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )



y1

?

(x ? 3)(x ? 5) x?3



y2

?

x

?5;

⑵ y1 ? x ? 1 x ?1 , y2 ? (x ?1)(x ?1) ;

⑶ f (x) ? x , g(x) ? x2 ;

⑷ f (x) ? 3 x4 ? x3 , F (x) ? x 3 x ?1 ;

⑸ f1(x) ? ( 2x ? 5)2 , f2 (x) ? 2x ? 5 .

A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶

C. ⑷

D. ⑶、⑸

2. 函数 y ? f (x) 的图象与直线 x ?1 的公共点数目是( )

A. 1 B. 0

C. 0 或1

D. 1或 2

? ? 3. 已知集合 A ? ?1, 2,3, k?, B ? 4,7, a4, a2 ? 3a ,且 a ? N*, x ? A, y ? B

使 B 中元素 y ? 3x ?1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( )

A. 2,3 B. 3, 4 C. 3,5 D. 2,5

?x ? 2(x ? ?1)

4.

已知

f

(x)

?

? ?

x

2

(

?1

?

x

?

2)

,若

f

(x)

?

3 ,则

x

的值是(



??2x(x ? 2)

A. 1

B. 1或 3 2

C. 1, 3 或 ? 3 2

D. 3

5. 为了得到函数 y ? f (?2x) 的图象,可以把函数 y ? f (1? 2x) 的图象适当平移,

这个平移是( )
A. 沿 x 轴向右平移1个单位 C. 沿 x 轴向左平移1个单位

B. 沿 x 轴向右平移 1 个单位 2
D. 沿 x 轴向左平移 1 个单位 2

6.



f

(x)

?

?x ? 2, (x ? 10)

? ?

f

[

f

(x

?

6)],(

x

?

10)



f

(5)

的值为(



二、填空题

1.

设函数

f

(x)

?

?1 ?? 2 ?? 1 ?? x

x

?1(x ? 0), 若f
(x ? 0).

(a)

?

a.

则实数

a

的取值范围是

.

2.

函数

y

?

x?2 x2 ? 4

的定义域

.

3. 若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) ,且函数的最大值为 9 ,

则这个二次函数的表达式是

.

4. 函数 y ? (x ?1)0 的定义域是_____________________. x ?x

5. 函数 f (x) ? x 2 ? x ? 1的最小值是_________________.

三、解答题
1. 求函数 f (x) ? 3 x ?1 的定义域. x ?1

2. 求函数 y ? x2 ? x ?1 的值域.
3. x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1)x ? m ?1 ? 0 的两个实根,又 y ? x12 ? x22 , 求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域.

4. 已知函数 f (x) ? ax2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在[1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、b 的值.



· 星

o

m


T



e

·

s



o

o

o

m

n




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