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空间元素的位置关系(垂直)

空间元素的位置关系(垂直)


空间元素的位置关系(垂直)
2012.11.23

一.教学目标:
1.熟悉空间垂直的三种形式:线线垂直,线面垂直,面面垂直; 2.熟练掌握三种垂直的证明方法; 3.培养学生逻辑推理与空间想象能力.

二.知识梳理:
(一)证明线线垂直的结论(用符号表示) 1.两平行线中一条与第三条直线垂直,则另一条也与第三条直线垂直. 即 2.直线与平面垂直,则垂直与平面内的任一直线. .

即 . 3.平面内一条直线与斜线在平面内的射影垂直,则必与斜线垂直. 即 (二)证明线面垂直的结论(用符号表示) 1.直线与平面内的两条相交直线垂直,则垂直于平面. .

即 . 2.如果两平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 即 3.如果两平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 即 (三)面面垂直的结论(用符号表示) 1.如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直. 即 2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两平面互相垂直. 即 . .

.

.

1

三.典例分析:
题型一.证明线线垂直 例 1.如图,已知 PA ? 矩形 ABCD 所在平面, M , N 分别是 AB, PC 的中点. 求证: MN ? CD .

D
变式训练:

1 如图,面 ABCD ? 面 ABE , BC ? AD , 2 BC // AD , BC ? AB , AB ? BE , F 为 DE 中点. 求证: CF ? BD .

C A F B

E

S

题型二.证明线面垂直 例 1. RT ?ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC , D 为斜边 AC 中点. (1)求证: SD ? 面 ABC ; (2)若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

A

D B

C

2

变式训练: 如图,已知 PA ? 矩形 ABCD 所在平面, M , N 分别是

AB, PC 的中点. ?PDA ? 45? .
求证: MN ? 平面 PCD .

题型三.证明面面垂直 例 3.在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面是等腰三角形,
C A B

AB ? AC , 侧面 BB1C1C ? 底面 ABC , 过侧面 BB1C1C
的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M ,若 AM ? MA1 . 求证:截面 MBC1 ? 侧面 BB1C1C .
M C1 A1 B1

E

变式训练: 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC , P, Q 分别为线段
B C P

AB, CD 的中点, EP ? 平面 ABCD .
(1)求证: DP ? 平面 EPC ; (2)求证:平面 AEQ ⊥平面 DEP .
A

Q D

3

四.课堂检测 1.如图,在四面体 ABCD 中, AB ? CD, AC ? BD 求证: AD ? BC .

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 , 若 F 为 PC 的中点. 求证: PC ? 平面 AEF .

3.在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , DC ? 2 , AB // CD , AB ? BC , AB ? BC ? 1 , 点 E 在 PB 上. 求证:平面 AEC ? 平面 PAD ;

4



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