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高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大版选修4

高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大版选修4


§2 排序不等式 1.了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单问题. 2.体会运用经典不等式的一般思想方法. 1.定理 1 设 a, b 和 c, d 都是实数, 如果 a≥b, c≥d, 那么______≥ad+bc, 此式当且仅当______(或 c=d)时取“=”号. 【做一做 1】若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是 ( ). 1 A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D. 2 2.(1)顺序和、乱序和、逆序和: 设实数 a1,a2,a3,b1,b2,b3 满足 a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3,则 a1b1+a2b2+a3b3≥a1bj1+ a2bj2+a3bj3≥______________,其中 j1,j2,j3 是 1,2,3 的任一排列方式.上式当且仅当 a1 =a2=a3(或 b1=b2=b3)时取“=”号. 通常称 a1b1+a2b2+a3b3 为__________,a1bj1+a2bj2+a3bj3 为________,a1b3+a2b2+a3b1 为________(倒序和). (2)定理 2(排序不等式): 设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn,则(顺序和)__________≥(乱序 和)__________________≥(逆序和)________________. 其中 j1,j2,…,jn 是 1,2,3,…,n 的任一排列方式.上式当且仅当 a1=a2=…=an(或 b1=b2=…=bn)时取“=”号. 1 1 1 a2 【做一做 2】设 a1,a2,…,an 是 n 个互不相等的正整数,求证: + +…+ ≤a1+ 2+ 2 3 n 2 a3 3 2 +…+ 2. an n 答案: 1.ac+bd a=b 【做一做 1】A ∵a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 =(a1-a2)(b1-b2)>0, 1 ∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1,且 a1b1+a2b2> >a1b2+a2b1. 2 1 又∵1=a1+a2≥2 a1a2,∴a1a2≤ . 4 1 ∵0<a1<a2,∴a1a2< . 4 1 同理 b1b2< , 4 1 1 1 ∴a1a2+b1b2< + = , 4 4 2 1 ∴a1b1+a2b2> >a1a2+b1b2, 2 ∴a1b1+a2b2 最大. 2.(1)a1b3+a2b2+a3b1 顺序和 乱序和 逆序和 (2)a1b1+a2b2+…+anbn a1bj1+a2bj2+…+anbjn a1bn+a2bn-1+…+anb1 【做一做 2】分析:利用排序不等式来证明. 1 证明: 设 b1, b2, …, bn 为 a1, a2, …, an 的一个排列, 且 b1<b2<…<bn, 因为 b1, b2, …, bn 是 n 个互不相等的正整数, 故 b1≥1,b2≥2,…,bn≥n. 1 1 1 又∵1> 2> 2>…> 2, 2 3 n a2 a3 an b2 bn 1 1 由排序不等式,得 a1+ 2+ 2+…+ 2≥b1+ 2+…+ 2≥1×1+2× 2+…+n× 2=1+ 2 3 n 2 n 2 n 1 1 +…+ , 2 n 1 1 1 a2 a3 an ∴ + +…+ ≤a1+ 2+ 2+…+ 2. 2 3 n 2 3 n 1.对排序


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