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2014高等数学下试题及参考答案

2014高等数学下试题及参考答案


华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2013~2014 学年第 2 学期 考试类型: (闭卷)考试 学号


考试科目:高等数学 AⅡ 考试时间: 年级专业 三 四 总分 120 分钟

姓名 一 二

题号 得分 评阅人



得分

(估计不考或考的可能性比较小的题目已删除)

线

一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程 xy ' ? y ln y 的通解 。 。 。

2. 设有向量 a ? (4,3,0) , b ? (1, ?2, 2) ,则数量积 a ? b ? 3.过点 (-1,1, 0) 且与平面 3x+2 y-z ?13 ? 0 垂直的直线方程是 4.设 z ? sin( xy 2 ) ,则
?z ? ?y



得分 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1 . 设 L 为 直 线 x ? 0, y ? 0, x ? 1 及 y ? 1 所 围成 的 正 方 形 边 界, 取正 向 , 则

?

L

( x3 ? xy )dx ? ( x 2 ? y 2 )dy 等于

( C.
1 2



A. ?1

B. 1

D.

1 4

2.已知 a ? i ? j ? k ,则垂直于 a 且垂直于 x 轴的单位向量是() A. ?(i ? k ) B. ?
2 ( j ? k) 2

C. ?

2 ( j ? k) 2

D. ?

3 (i ? j ? k ) 2

1

(xy) 3.设 z ? ln ,则 dz

x ?1 y ?1

?
C. dx ? dy





A. dy ? dx 4.对于级数 ?
?

B. dx ? dy

D. 0 ( B.当 p ? 1 时绝对收敛 D.当 0 ? p ? 1 时发散 (
?

(?1) n ,有 p n ?1 n



A.当 p ? 1 时条件收敛 C.当 0 ? p ? 1 时绝对收敛 5.设 0 ? un ? A. ? u n
n ?1 ?

1 (n ? 1, 2, ) ,则下列级数中必定收敛的是 n



B. ? (?1) n un
n ?1

?

C. ? u n
n ?1

?

2 D. ? (?1) n un n ?1

得分 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1.计算二重积分 ?? arctan
D

y 0 ? y ? x} 。 d? ,其中 D 是 {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1, x

3.设由方程 xyz ? e z 确定隐函数 z ? z ( x, y ) ,求全微分 dz 。 4.判定级数 ?
nn 的敛散性。 n n ?1 2 n !
?

5.使用间接法将函数 f ( x) ? 6.求微分方程 y '? x cos x ?

4 展开成 x 的幂级数, 并确定展开式成立的区间。 4 ? x2 y 满足初始条件 y x
x?

?
2

??

?
2

的特解。

7.计算二重积分 ?? x yd? ,其中 D 是由曲线 y ? x 和 y ? x2 所围成的闭区域。
D

得分 四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分) 2、要造一个容积等于定数 k 的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,才能 使它的表面积最小。

2

华南农业大学期末考试试卷(A 卷)
2013~2014 学年第 2 学期 考试科目:高等数学 AⅡ参考答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)


1. y ? eCx
1 x

2. (6, -8, -11)

3.

x ?1 y ?1 z ? ? 3 2 ?1

4. 2 xy cos( xy 2 )

5. ? dx ?x f ( x, y )dy
0 2


1.5CM

二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.C 2.B 3.B 4.B 5.D 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1.计算二重积分 ?? arctan
y 0 ? y ? x} 。 d? ,其中 D 是 {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1, x

线

D

解:在极坐标中 D 为 {(? , r ) 0 ? ? ?

?
4

, 0 ? r ? 1} ………………3 分

?? arctan x d? ? ?? ? rd? dr ………………5 分
D D

y

? ? 4 ? d? ? rdr ………………6 分
0 0

?

1

?

?2 ………………7 分 64
?u ?u , 。 ?x ?y

2.设 f , g 均为连续可微函数, u ? f ( x, xy) g ( x ? xy) ,求 解:

?z ? ( f1' ( x, xy ) ? yf 2' ( x, xy )) g ( x ? xy ) ? (1 ? y ) f ( x, xy ) g ' ( x ? xy ) …4 分 ?x

?u ? xf 2' ( x, xy) g ( x ? xy) ? xf ( x, xy) g ' ( x ? xy) ………………7 分 ?y

3.设由方程 xyz ? e z 确定隐函数 z ? z ( x, y ) ,求全微分 dz 。 解:设 F ( x, y, z) ? xyz ? e z ………………1 分

Fx ? yz, Fy ? xz, Fz ? xy ? ez ………………4 分
3

Fy F ?z yz ?z xz ………………6 分 ?? x ? z , ?? ? z ?x Fz e ? xy ?y Fz e ? xy
dz ? z ( ydx ? xdy) ………………7 分 e ? xy
z

4.判定级数 ? 解: ? ? lim

nn 的敛散性。 n n ?1 2 n !

?

un?1 (n ? 1)n?1 2n n! ………………4 分 ? lim n?1 n ?? u n?? 2 (n ? 1)!nn n

1 1 e ? lim (1 ? ) n ? ? 1 ………………………………6 分 n ?? 2 n 2

所以级数 ?

nn 发散………………………………7 分 n n ?1 4 n !

?

5.使用间接法将函数 f ( x) ? 解:

4 展开成 x 的幂级数, 并确定展开式成立的区间。 4 ? x2

1 ? 1 ? x ? x2 ? (?1 ? x ? 1) 1? x 1 2 ? 1 ?x ?x ? ( ? 1 ? x 1 ? ) ……………… 1分 1? x 4 1 1 1 f ( x) ? ? ( ? ) ………………3 分 2 4? x 2 1? x 1? x 2 2

?1 ?

x2 x4 ? ? 4 16

xn2 ? 2n 2

?………………5 分

展开式成立的区间为 (?2, 2) ………………7 分

6.求微分方程 y '? x cos x ? 解:原方程化为 y '?

y 满足初始条件 y x

x?

?
2

??

?
2

的特解。

y ? x cos x x
1 1

y?e ?

? p ( x ) dx

dx ? dx p ( x ) dx (? Q( x)e? dx ? C) ? e ? x (? x cos x ? e ? x ? C) ………………2 分

? x( s i n x? C ……………… ) 5分

由y

x?

?
2

??

?
2

,得 C ? ?2 ,特解为 y ? x(sin x ? 2) ………………7 分

7.计算二重积分 ?? x yd? ,其中 D 是由曲线 y ? x 和 y ? x2 所围成的闭区域。
D

4

解: D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1, x2 ? y ? x} ………………2 分

?? x yd? ? ? dx ? 2 x ydy ………………4 分
D 0 x

1

x

??


2 7 ( x 4 ? x 4 )dx ………………5 分 0 3
1

?

6 ………………7 分 55

1.5CM



四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分) 1.1. L 是连接以 (?1, 0) 为起点和 (1, 2) 为终点的一条曲线,问当 a 为何值时,曲 线积分 ? (6 xy 2 ? y 3 )dx ? a( xy 2 ? 2 x 2 y)dy 与积分路径无关,并计算此时的积分值。
L

线

解:令 P ? 6xy 2 ? y3 , Q ? a( xy 2 ? 2x2 y) ,则
?Q ?P ? a( y 2 ? 4 xy ), ? 12 xy ? 3 y 2 ………………2 分 ?x ?y



?Q ? P ? ,得 a ? ?3 ,曲线积分与路径无关………………3 分 ?x ? y

选择路径 L ? L1 ? L2, L1 : y ? 0(?1 ? x ? 1), L2 : x ? 1(0 ? y ? 2) ,………………5 分

?

L

(6 xy 2 ? y3 )dx ? a( xy 2 ? 2 x 2 y)dy ? ? ?3( y 2 ? 2 y)dy ? 4 ………………7 分
0

2

2.要造一个容积等于定数 k 的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,才能使 它的表面积最小。 解:设水池的长、宽、高分别为 x, y , z ,水池的表面积为 A ,则
A ? xy ? 2 xz ? 2 yz, xyz ? k ………………2 分

令 F ? xy ? 2 xz ? 2 yz ? ? ( xyz ? k ) ………………4 分
? Fx ? y ? 2 z ? ? yz ? 0 ? F ? x ? 2 z ? ? xz ? 0 ? y ………………5 分 ? ? Fz ? 2 x ? 2 y ? ? xy ? 0 ? xyz ? k ?

5

解得 x ? y ? 3 2k , z ?

3

2k ………………7 分 2

3. 设 f ( x) 在 | x |? 1 上 有 定 义 , 在 x ? 0 某 领 域 有 一 阶 连 续 的 导 数 且
lim
x ?0

? ? f ( x) 1 1 n -1 ? a ? 0 ,求证: (1) ? f ( ) 发散; (2) ? (-1) f ( ) 收敛。 x n n n ?1 n ?1

解:因为 lim
x ?0

f ( x) 1 ? a ? 0 ,所以当 n 充分大后 f ( ) ? 0 ………………1 分 n x

? 1 又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性,所以可认为 ? f ( ) 是正项级 n n ?1

数………………2 分

1 f( ) f ( x) n ? a ? 0 ………………3 分 (1)因为 lim ? lim x ?0 n ??? 1 x n
? 1 1 发散,所以 f ( ) 发散………………4 分 ? ? n n ?1 n ?1 n
?

(2)因为 lim
x ?0
x ?0

f ( x) ? a ? 0 ,所以 lim f ( x ) ? 0 x ?0 x

又 lim f ( x) ? f (0) (连续) ,所以 f (0) ? 0 ………………5 分 所以 f '(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) f ( x) ? lim ?a?0 x ? 0 x x
x ?0

又 f '( x ) 在 x ? 0 连续,得 lim f ?( x) ? f ?(0) ? a ? 0
1 由极限性质得,当 n 充分大时, f ( ) 单调递减………………5 分 n 1 又由 lim f ( x) ? f (0) 得 lim f ( ) ? 0 x ?0 n ??? n
? 1 n -1 由莱布尼兹判别法得 ? (-1) f ( ) 收敛。………………7 分 n n ?1

6



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