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2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)空间向量及其运算(B)

2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)空间向量及其运算(B)

9.6 空间向量及其运算(B) 巩固·夯实基础
一、自主梳理 1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相 等的向量. 空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广. 2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是:存在唯一的实数对 x、y,使 p=xa+yb. 3.空间向量基本定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一 的有序数组 x、y、z,使 p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c 叫做基向量,(x,y,z)叫 做 p 关于基底{a,b,c}的坐标. 4.把|a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a、b 的数量积,记作 a·b,即 a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,其性质 有:
(1)a⊥b ? a·b=0;

(2)cos〈a,b〉= a ? b (a、b 均为非零向量); | a || b |

(3)a2=a·a=|a|2;

(4)|a·b|≤|a|·|b|.

二、点击双基

1.在以下四个式子中正确的有( )

a+b·c a·(b·c) a(b·c) |a·b|=|a||b|

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.0 个

解析:根据数量积的定义,b·c 是一个实数,a+b·c 无意义.实数与向量无数量积,故 a·(b·c)

错,|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|,只有 a(b·c)正确.

答案:A

2.设向量 a、b、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( )

A.{a+b,b-a,a}

B.{a+b,b-a,b}

C.{a+b,b-a,c}

D.{a+b+c,a+b,c}

解析:由已知及向量共面定理,易得 a+b,b-a,c 不共面,故可作为空间的一个基底,故选 C.

答案:C

3.在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,向量 AB' 、 AD' 、 BD 是( )

A.有相同起点的向量 C.共面向量

B.等长的向量 D.不共面向量

解析:∵ AD' - AB' = BD' = BD ,∴ AB' 、 AD' 、 BD 共面.
答案:C 4.已知 a=(1,0),b=(m,m)(m>0),则〈a,b〉=____________________. 答案:45°

5.已知四边形 ABCD 中, AB =a-2c, CD =5a+6b-8c,对角线 AC、BD 的中点分别为 E、F,

则 EF =_______________.
解析:∵ EF = EA + AB + BF ,
又 EF = EC + CD + DF ,
两式相加,得 2 EF =( EA + EC )+( AB + CD )+( BF + DF ).
∵E 是 AC 的中点,
故 EA + EC =0. 同理, BF + DF =0.
∴2 EF = AB + CD =(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.
∴ EF =3a+3b-5c.
答案:3a+3b-5c 诱思·实例点拨 【例 1】证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条件是:对于空间任一
点 O,存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1,使得 OA =x OB +y OC +z OD .
剖析:要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件,自然想到共面向量定理. 解:依题意知,B、C、D 三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点 A、B、C、D
间任一点 O,存在实数 x1、y1,使得 OA = OB +x1 BC +y1 BD
= OB +x1( OC - OB )+y1( OD - OB )=(1-x1-y1) OB +x1 OC +y1 OD , 取
x=1-x1-y1,y=x1,z=y1,则有 OA =x OB +y OC +z OD ,且 x+y+z=1.
链接·提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向
量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件,可用以证明 点共(线)面.本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用. 【例 2】 已知空间四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,用向量法证明 BD⊥AC.
剖析:我们选择一组基向量,将目标向量用基向量线性表示,从而将向量的运算转化为三个基向 量间的运算.
证明:设 AB=b,AC=c,AD=d,且 b2=d2,

(b-c)2=(d-c)2, ∴b·c=d·c.
而 BD · AC =(d-b)·c=d·c-b·c=0,
∴BD⊥AC. 讲评:合理选择基向量是利用向量解题的基本技能之一,同学们在学习中应加强这方面的训练. 【例 3】在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求 B、D 间的距离. 解:如图,因为∠ACD=90°,
所以 AC · CD =0.同理, BA · AC =0.
因为 AB 与 CD 成 60°角,
所以〈 BA , CD 〉=60°或 120°.
因为 BD = BA + AC + CD , 所以 BD 2= BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · AC +2 BA · CD +2 AC · CD
= BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · CD =3+2×1×1×cos〈 BA , CD 〉
??4, ?BA,CD? ? 60?, =?
??2, ?BA,CD? ? 120?.
所以| BD |=2 或 2 ,即 B、D 间的距离为 2 或 2 .
【例 4】在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BD1 交平面 ACB1 于点 E,求证:
(1)BD1⊥平面 ACB1;
1 (2)BE= 2 ED1.
证明:(1)我们先证明 BD1⊥AC.

∵ BD1 = BC + CD + DD1 , AC = AB + BC ,

∴ BD1 · AC =( BC + CD + DD1 )·( AB + BC )= BC · BC + CD · AB

= BC · BC - AB · AB =| BC |2-| AB |2=1-1=0.
∴BD1⊥AC.同理可证 BD1⊥AB1,于是 BD1⊥平面 ACB1.

(2) 设 底 面 正 方 形 的 对 角 线

AC 、 BD

交于点

M,则 BM

1
=
2

BD = 1
2

B1D1 ,即

2 BM = B1D1 .对于空间任意一点 O,设 OB =b, OM =m, OB1 =b1, OD1 =d1,则上述等式

可改写成

2(m-b)=d1-b1



b1+2m=d1+2b.记

b1 ? 2m 1? 2

=

d1 ? 1?

2b 2

=e.此即表明,由

e

向量所对应的

点 E 分线段 B1M 及 D1B 各成λ (λ =2)之比,所以点 E 既在线段 B1M(B1M ? 面 ACB1)上又在
线段 D1B 上.所以点 E 是 D1B 与平面 ACB1 的交点.此交点 E 将 D1B 分成 2 与 1 之比,即 D1E∶

EB=2∶1.所以

BE=

1 2

ED1.

链接·聚焦

利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角

等问题.


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