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2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象讲义新人教A版

2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象讲义新人教A版

5.4 三角函数的图象与性质
最新课程标准:(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些 三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.(2)借助图象理
解正弦函数、余弦函数在[0,2π ]上,正切函数在???-π2 ,π2 ???上的性质.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法

函数

y=sin x

y=cos x

图象

图象 画法

五点法

五点法

关键

(0,0),???π2 ,1???,(π ,0),???32π ,-1???, (0,1),???π2 ,0???,(π ,-1),???32π ,0???,

五点

(2π ,0)

(2π ,1)

状元随笔 1.关于正弦函数 y=sin x 的图象

(1)正弦函数 y=sin x,x∈[2kπ ,2(k+1)π ],k∈Z 的图象与 x∈[0,2π ]上的图形 一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等.
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由 y=sin x,x∈[0,2π ]图象向左右平移 得到(每次平移 2π 个单位).
2.“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方 法作图较精确,但较为烦琐. (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法. 提醒:作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在 x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用.

[教材解难]
1.教材 P196 思考 如图,在直角坐标系中画出以原点 O 为圆心的单位圆,⊙O 与 x 轴正半轴的交点为 A(1,0).在单位圆上,将点 A 绕着点 O 旋转 x0 弧度至点 B,根据正弦函数的定义,点 B 的纵 坐标 y0=sin x0.由此,以 x0 为横坐标,y0 为纵坐标画点,即得到函数图象上的点 T(x0,sin x0).
2.教材 P197 思考 由诱导公式一可知,函数 y=sin x,x∈[2kπ ,2(k+1)π ],k∈Z 且 k≠0 的图象与 y =sin x,x∈[0,2π ]的图象形状完全一致.因此将函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象不断 向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度),就可以得到正弦函数 y=sin x,x∈R 的图象. 3.教材 P198 思考
在函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象上,以下五个点:(0,0),???π2 ,1???,(π ,0), ???32π ,-1???,(2π ,0)
4.教材 P198 思考
对于函数 y=cos x,由诱导公式 cos x=sin???x+π2 ???得,y=cos x=sin???x+π2 ???,x∈R. 而函数 y=sin???x+π2 ???,x∈R 的图象可以通过正弦函数 y=sin x,x∈R 的图象向左平移π2 个
单位长度而得到.所以,将正弦函数的图象向左平移π2 个单位长度,就得到余弦函数的图象. 5.教材 P200 思考 能.以函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象为基础,将图象上的每一个点都向上平移一
个单位长度,所得图象即函数 y=1+sin x,x∈[0,2π ]的图象. 能.以函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象为基础,作它关于 x 轴对称的图象,所得图
象即函数 y=-cos x,x∈[0,2π ]的图象.
[基础自测]
1.以下对正弦函数 y=sin x 的图象描述不正确的是( )

A.在 x∈[2kπ ,2(k+1)π ](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同

B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间

C.关于 x 轴对称

D.与 y 轴仅有一个交点

解析:画出 y=sin x 的图象,根据图象可知 A,B,D 三项都正确.

答案:C

2.不等式 sin x>0,x∈[0,2π ]的解集为( )

A.[0,π ] B.(0,π )

C.???π2 ,3π2 ???

D.???π2 ,32π ???

解析:由 y=sin x 在[0,2π ]的图象可得.

答案:B

3.下列图象中,是 y=-sin x 在[0,2π ]上的图象的是( )

解析:函数 y=-sin x 的图象与函数 y=sin x 的图象关于 x 轴对称,故选 D.

答案:D

4.用“五点法”作函数 y=cos 2x,x∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是

________.

解析:令 2x=0,π2 ,π ,32π 和 2π ,得 x=0,π4 ,π2 ,34π ,π .

答案:0,π4

,π2

3 ,4π

,π

题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材 P199 例 1] 例 1 画出下列函数的简图:

(1)y=1+sin x,x∈[0,2π ];

(2)y=-cos x,x∈[0,2π ].

解析:(1)按五个关键点列表:

x

0

π 2

π

3π 2



sin x 0 1 0 -1 0

1+sin x 1 2 1

0

1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

(2)按五个关键点列表:

x

0

π 2

π

3π 2



cos x

1

0 -1 0

1

-cos x -1 0

1

0 -1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

用五点法作图关键先找出 5 个关键点,再用平滑的曲线连接.
教材反思 作形如 y=asin x+b(或 y=acos x+b),x∈[0,2π ]的图象的三个步骤

跟踪训练 1 画出函数 y=3+2cos x 的简图. 解析:(1)列表,如下表所示

x

0

π 2

π

3π 2



y=cos x

1 0 -1 0

1

y=3+2cos x 5 3

1

3

5

(2)描点,连线,如图所示:

利用五点作图法画简图.

题型二 正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]

例2

根据正弦曲线求满足

sin

x≥-

3 2 在[0,2π

]上的

x

的取值范围.

【解析】

在同一坐标系内作出函数 y=sin

x 与 y=-

3 2 的图象,如图所示.

观察在一个闭区间[0,2π

]内的情形,满足 sin

x≥-

3 2的

x∈???0,43π

???∪???53π

,2π

???,

所以满足

sin

x≥-

3 2 在[0,2π ]上的

x

的范围是{x

0≤x≤43π 或53π ≤x≤2π }.(或

???0,43π ???∪???53π ,2π ???)

在同一坐标系内作 y=sin x 与 y=- 23的图象,利用图象求 x 的范围.

方法归纳 利用三角函数图象解 sin x>a(或 cos x>a)的三个步骤 (1)作出直线 y=a,y=sin x(或 y=cos x)的图象. (2)确定 sin x=a(或 cos x=a)的 x 值.

(3)确定 sin x>a(或 cos x>a)的解集. [注意] 解三角不等式 sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出 x∈[0,2π ] 范围内 x 的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集.
跟踪训练 2 根据余弦曲线求满足 cos x≤12的 x 的取值范围. 解析:作出余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象,如图所示,由图象可以得到满足 条件的 x 的集合为π3 +2kπ ,5π3 +2kπ ,k∈Z.

在同一坐标内作 y=cos x 与 y=12的图象,利用图象求 x 的范围.

课时作业 33

一、选择题

1.下列对函数 y=cos x 的图象描述错误的是( )

A.在[0,2π ]和[4π ,6π ]上的图象形状相同,只是位置不同 B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间

C.关于 x 轴对称

D.与 y 轴只有一个交点

解析:观察余弦函数的图象知:y=cos x 关于 y 轴对称,故 C 错误.

答案:C

2.下列各点中,不在 y=sin x 图象上的是( )

A.(0,0)

B.???π2 ,1???

C.???3π2 ,-1??? D.(π ,1)

解析:y=sin x 图象上的点是(π ,0),而不是(π ,1).

答案:D

3.点 M???π2 ,-m???在函数 y=sin x 的图象上,则 m 等于( )
A.0 B.1

C.-1 D.2

解析:点 M 在 y=sin x 的图象上,代入得-m=sinπ2 =1,

∴m=-1.

答案:C

4.在同一平面直角坐标系内,函数 y=sin x,x∈[0,2π ]与 y=sin x,x∈[2π ,4π ]

的图象( )

A.重合

B.形状相同,位置不同

C.关于 y 轴对称 D.形状不同,位置不同

解析:根据正弦曲线的作法过程,可知函数 y=sin x,x∈[0,2π ]与 y=sin x,x∈[2π ,

4π ]的图象位置不同,但形状相同. 答案:B

二、填空题

5.下列叙述正确的有________.

(1)y=sin x,x∈[0,2π ]的图象关于点 P(π ,0)成中心对称; (2)y=cos x,x∈[0,2π ]的图象关于直线 x=π 成轴对称; (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线 y=1 和 y=-1 所夹的范围.

解析:分别画出函数 y=sin x,x∈[0,2π ]和 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象,由图象

观察可知(1)(2)(3)均正确.

答案:(1)(2)(3)

6.关于三角函数的图象,有下列说法:

(1)y=sin|x|与 y=sin x 的图象关于 y 轴对称;

(2)y=cos(-x)与 y=cos|x|的图象相同;

(3)y=|sin x|与 y=sin(-x)的图象关于 x 轴对称;

(4)y=cos x 与 y=cos(-x)的图象关于 y 轴对称.

其中正确的序号是________.

解析:对(2),y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,故其图象相同;

对(4),y=cos(-x)=cos x,

故其图象关于 y 轴对称,由作图可知(1)(3)均不正确.

答案:(2)(4)

7.直线 y=12与函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的交点坐标是________.

解析:令 sin x=12,则 x=2kπ +π6 或 x=2kπ +56π (k∈Z),又∵x∈[0,2π ],故 x

=π6 或56π .

答案:???π6 ,12???,???56π ,12???

三、解答题

8.利用“五点法”作出函数 y=1-sin x(0≤x≤2π )的简图.

解析:(1)取值列表:

x

0

π 2

π

3π 2



sin x 0 1 0 -1 0

1-sin x 1 0 1

2

1

(2)

9.根据 y=cos

x 的图象解不等式:-

3 2 ≤cos

x≤12,x∈[0,2π

].

解析:函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象如图所示:

根据图象可得不等式的解集为?????x???π3 ≤x≤5π6 或7π6 ≤x≤53π

???.
??

[尖子生题库]
10.利用图象变换作出下列函数的简图: (1)y=1-cos x,x∈[0,2π ]; (2)y=|sin x|,x∈[0,4π ]. 解析:(1)首先用“五点法”作出函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的简图,再作出 y=cos x,

x∈[0,2π ]关于 x 轴对称的简图,即 y=-cos x,x∈[0,2π ]的简图,将 y=-cos x, x∈[0,2π ]的简图向上平移 1 个单位即可得到 y=1-cos x,x∈[0,2π ]的简图,如图 1 所 示.
(2)首先用“五点法”作出函数 y=sin x,x∈ [0,4π ]的简图,再将该简图在 x 轴下 方的部分翻折到 x 轴的上方,即得到 y=|sin x|,x∈[0,4π ]的简图,如图 2 所示.


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