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概率计算的归类分析

概率计算的归类分析


概率计算的归类分析
湖南
一、按概率的定义计算 例 1、检验某条自动生产流水线上的 1000 件产品,发现有 10 件不合格品,求该生产线 上每件产品不合格的概率。 解:由自动生产流水线生产每件产品,可看成是在相同条件下重复进行试验,不合格品 的频率可认作为不合格品的概率,故

周友良

刘炜宇

10 ? 0.01 1000 答:该生产线上每件产品不合格的概率为 0.01 P?
例 2、有 10 支球队随机地分成两组进行比赛,其中有 2 支种子队,求(1)每组分到 1 支种子队(设为事件 A)的概率是多少?(2)2 支种子队分在同一组(设为事件 B)的概 率是多少?
5 5 解:10 支球队平均分成 2 组共有 C10 C5 种分法,

(1)每组分到 1 支种子队的的分法有 种,于是

P ? A? ?

4 5 5 2C84C4 = 5 5 C10C5 9 9

3 5 (2)2 支种子队分在同一组的分法 2C8 C5 种,
3 5 2C8 C5 4 P ? B? ? 5 5 ? C10C5 9

二、按概率的公式与性质计算 例 3、设某公司拥有两支获利是独立的股票,且甲种股票获利的概率为 0.8,乙种股票 获利的概率为 0.7,求(1)两种股票都获利的概率;(2)两种股票至少有一种股票获利的概 率. 解: 依题意, 设 A 表示“甲种股票获利”, B 表示“乙种股票获利”, 且 A 与 B 独立, P(A)=0.8, P(B)=0.7,则由乘法公式与加法公式 (1) 两种股票都获利的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42。 (2) 两种股票至少有一种股票获利的概率 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.7-0.42=0.88。 三、由随机变量的概率分布计算 例 4、设某药物对某疾病的治愈率为 p=0.8,现在 10 个患此种病的病人同时服用此药, 求至少有 6 人治愈的概率. 解:设 X 为治愈的病人数,则 X 务随机变量且服从参数 n=10,p=0.8 的二项分布,故
k P ? x ? 6 ? ? ? C10 ? 0.8k ? 0.210?k ? 0.97 i ?6 10

即至少 6 人治愈的概率为 0.97.
2 例 5、设连续型随机变量 X 服从正态分布 N 2, 3 求 P ?x ? 2? , P ?0 ? x ? 5? 2 解: 由于 X 服从非标准正态分布 N 2, 3 因此

?

?

?

?

x ?u

?

?

x?2 3

N ? 0,1? 于是可以查标准

正态分布表得

?x?2 ? (1) P ? x ? 2? ? P ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? 0.5 ? 3 ? ?0 ? 2 x ? 2 5 ? 2 ? (2) P ? 0 ? x ? 5 ? ? P ? ? ? ? ? ? ?1? 3 3 ? ? 3 ?? ? ?0.667 ? ? 0.84134 ? ?1 ? 0.74857 ? ? 0.59

注:求正态分布的概率往往是通过查标准正态分布函数表完成的! 四、概率的应用 依概率的大小作决策时,人们的信念是:在一次试验中概率较大的事件较可能出现,概 率很小的事件在一次试验中几乎不发生。 例 6、袋中装有 10 颗棋子,其中 5 颗白棋子,5 颗黑棋子,游戏规则规定:一次从中任 取 5 颗,若 5 颗子颜色全相同,则主持者付给摸棋子者 5 元,否则摸棋子者付给主持者 0.5 元.求主持者输掉 5 元的概率与赢得 0.5 元的概率. 解:设 X 表示主持者的赢钱数,由古典概率得, 输掉 5 元的概率

P ? x ? ?5? ?

2 1 ? 5 C10 126 2 125 ? 5 C10 126

赢得 0.5 元的概率

P ? x ? 0.5? ? 1 ?

故可认为主持者在每局中必赢无疑。这就是在街头上常见到的堵博游戏的解释。 例 7、设某公司拥有三支获利是独立的股票,且三种股票获利的概率分别为 0.8、0.6、 0.5,求(1)任两种股票至少有一种获利的概率;(2)三种股票至少有一种股票获利的概率. 解: 设 A、 B、 C 分别表示三种股票获利, 依题意 A、 B、 C 相互独立, P(A)=0.8, P(B)=0.6, P(C)=0.5,则由乘法公式与加法公式 (1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率

? ? ? ? ? ? P ? ABC ? ? P ? ABC ? ? 0.2 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.8 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.8 ?
P ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? P ABC ? P ABC ? 0.6 ? 0.5 ? 0.8 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7
(2) 三种股票至少有一种股票获利的概率

P ? A ? B ? C ? ? 1 ? P A ? B ? C ? 1 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.96
计算的结果表明, 投资于多支股票获利的概率大于每支股票的概率, 这就是投资决策中

?

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分散风险的一种策略。 由于篇幅的限制, 更多的应用举例在这里就不再介绍了, 请同学们在学习过程中注意总 结,值得推荐的是同学们可以考察体育彩票与福利彩票的中奖概率大小。



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