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高中数学第三章3.3双曲线3.3.2双曲线的简单性质课后训练案巩固提升含解析北师大版选修2_1

高中数学第三章3.3双曲线3.3.2双曲线的简单性质课后训练案巩固提升含解析北师大版选修2_1

3.2 双曲线的简单性质
课后训练案巩固提升 A组
1.已知双曲线=1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )

A.

B.

C.

D.

解析:∵c=3,a2+5=9,∴a=2.故 e=.

答案:C

2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程 3x±2y=0,则 a 的值为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:双曲线=1 的渐近线方程为 3x±ay=0,与已知方程比较系数得 a=2.

答案:C

3.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

解析:,∴e=.

答案:D

4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C

的圆心,则该双曲线的方程为( )

A. =1

B. =1

C. =1

D. =1

解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bx±ay=0,根据已知得=2,即

=2,解得 b=2,则 a2=5,故所求的双曲线方程是=1.故选 A.

答案:A

5.已知双曲线=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P(,y0)在该双曲 线上,则=( )

A.-12

B.-2

C.0

D.4

解析:∵y=x 为渐近线方程,则 b=2,即双曲线方程为 x2-y2=2.当 x=时, =1.又双曲线的半焦距为

2,∴=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+=-1+1=0.故选 C.

答案:C

6.导学号 90074078 设 F1,F2 分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为

()

A.3x±4y=0

B.3x±5y=0

C.4x±3y=0

D.5x±4y=0

解析:如图,

由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M 中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|. 又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c, 即|PM|=a+c. ∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2. 又 c2=a2+b2,∴, ∴渐近线方程为 y=±x,即 4x±3y=0.
答案:C

-1-

7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5∶4,则双曲线

的标准方程是

.

解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之

比为 5∶4,即 c∶b=5∶4.

又 c2=a2+b2,解得 c=5,b=4,

所以双曲线的标准方程是=1.

答案: =1

8.若双曲线的渐近线方程为 y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是

.

解析:由题意,得 c==3,由此解得 b=3,a=1,故所求双曲线的方程是 x2-=1.

答案:x2-=1

9.已知双曲线=1 的离心率为 2,焦点与椭圆=1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标



;渐近线方程为

.

解析:椭圆=1 的焦点坐标为(-4,0),(4,0),

∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线=1 中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=2.∴渐近线方

程为 x±y=0.

答案:(±4,0) x±y=0

10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)虚轴长为 12,离心率为;

(2)两顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y=±x;

(3)求与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程.

解(1)设双曲线的标准方程为=1 或=1(a>0,b>0).

由题意,知 2b=12, ,且 c2=a2+b2,

∴b=6,c=10,a=8.

∴双曲线的标准方程为=1 或=1.

(2)设以 y=±x 为渐近线的双曲线方程为=λ (λ ≠0). 当 λ >0 时,a2=4λ ,∴2a=2=6.∴λ =. 当 λ <0 时,a2=-9λ ,

∴2a=2=6.∴λ =-1.

∴双曲线的方程为=1 或=1.

(3)设与双曲线-y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0).

将点 M(2,-2)的坐标代入,得 k=-(-2)2=-2.

∴双曲线的标准方程为=1.

B组

1.已知 0<θ <,则双曲线 C1: =1 与 C2: =1 的( )

A.实轴长相等 B.虚轴长相等

C.离心率相等 D.焦距相等

解析:对于 θ ∈,sin2θ +cos2θ =1,因而两条双曲线的焦距相等,故选 D.

答案:D

2.过双曲线 M:x2-=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交

于点 B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是( )

A.

B.

C.

D.

解析:这里的 a=1,c=,故关键是求出 b2,即可利用定义求解.

易知 A(-1,0),则直线 l 的方程为 y=x+1,与两条渐近线 y=-bx 和 y=bx 的交点分别为 B,C.

又|AB|=|BC|,解得 b2=9,则 c=,故有 e=.

-2-

答案:A

3.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M,N 两点,以 MN 为直径

的圆恰好过双曲线的右顶点 B,则双曲线的离心率等于

.

解析:因为以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以 F1 是圆心,半径|MF1|=|F1B|=a+c.由左 焦点 F1(-c,0),知点 M(-c,a+c),将点 M 的坐标代入双曲线方程得=1,从而 a2(a+c)2=b4,开方得 a(a+c)=b2,可得 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去).

答案:2

4.设双曲线 C: -y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B.求双曲线 C 的离心率 e 的

取值范围.

解由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.

消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.

∴解得 a∈(0,1)∪(1,),

双曲线的离心率为 e=,

∵a∈(0,1)∪(1,),∴e∈∪(,+∞),即离心率取值范围为∪(,+∞).

5.导学号 90074079 过双曲线=1 的右焦点 F2 且倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为 坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|;

(2)求△AOB 的面积;

(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. (1)解由双曲线的方程得 a=,b=,∴c==3,F1(-3,0),F2(3,0),直线 AB 的方程为 y= (x-3).
设 A(x1,y1),B(x2,y2),由得 5x2+6x-27=0, ∴x1+x2=-,x1x2=-,

∴|AB|=|x1-x2| =

=.

(2)解直线 AB 的方程变形为 x-y-3=0.

∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d=.

∴S△AOB=|AB|·d=.

(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为 y=±x,而直线 AB 的斜率为,故点 A,B 不可能同在右支上,

假设点 A 在双曲线左支上,点 B 在双曲线右支上,由双曲线的定义得

|AF2|-|AF1|=2,|BF1|-|BF2|=2, ∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. 同理,若点 A 在双曲线右支上,点 B 在双曲线左支上,同样成立.

-3-


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