haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 理学 >>

第三章量子力学初步_图文

第三章量子力学初步_图文

第三章 量子力学初步
玻尔理论的困难,迫使新一代物理学家努力寻找更 完整、更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门 描述原子的崭新理论——量子力学在1924-1928年诞 生了! 本章将简要介绍:一些不同于经典物理的一些新思 想、新概念及简单应用。介绍只能?言犹未尽?。

3.1 波粒二象性及实验验证
1。经典物理中的波和粒子

?波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方 式。
?在经典物理中,无法同时用波和粒子这两个概念去 描述同一现象。 ?粒子可视为质点,具有完全的定域性,其位臵、动 量可精确测定。 ?波具有空间扩展性,其特征量为波长和频率,也可 精确测定。

波长测定的一个 方法:?拍频法?
已知v1,测定 ?v 即可测定v2,但 至少观察到一个 拍,至少需要时 间:
1 ?t ? ?v
v

?v ?

?

2

??

?x ? ?? ? ?

2

在该段时间波行 路程: x ? V?t ?

要无限精确地测准波长,就必须在无限扩展的空 间中进行观察。如果波被禁闭呢?

2.光的波粒二象性
1672年,牛顿,光的微粒说 1678年,惠更斯,光的波动说 19世纪末,麦克斯韦,光是一种电磁波 1905年,爱因斯坦,光量子 E ? h?
E, P ? v, ?

p ?

?

h

------光的波粒二象性

1923年,康普顿散射,再一次体现了光在传播中显示波动 性,在能量转移时显示粒子性的二象性特征。

3.德布罗意波粒二象性假设
?整个世纪以来,在辐射理论上,比起关注波动的研究 方法来,是过于忽略了粒子的研究方法; 在实物粒子理论 上,是否发生了相反的错误呢 ? 是不是我们关于‘粒子’ 的图象想得太多 ,而过分地忽略了波的图象呢??

法国物理学家德布罗意(Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
德布罗意指出任何物体都伴随以波, 不可能将物体的运动和波的传播分拆开来。 这种波称德布罗意物质波。德布罗意还给 出了动量的为P的粒子所伴随波的波长 λ 与P 的关系式,

h ?? P
。。。著名的德布罗意关系式。(1924年) 另外自由粒子的能量和所伴随的波的频率之间的关系为

E ? h?

2 p ? E 2 ? m0 c 4 c

例 在一束电子中,电子的动能为 200eV , 求此电子的德布罗意波长 ? ?

1 2 解 v ?? c, Ek ? m0 v 2

v?

2 Ek m0

2 ? 200 ?1.6 ?10?19 ?1 6 -1 v? m ? s ? 8.4 ?10 m ? s ?31 9.1?10

? v ?? c

h 6.63 ?10 ?? ? ? nm ?31 6 m0 v 9.1?10 ? 8.4 ?10

?34

? ? 8.67 ? 10 nm
?2

此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.

4.德布罗意假设的实验验证
1)关于实验方法和观察条件: 利用波的干涉和衍射等特征 仪器特征线度(障碍物和孔、缝的尺度)

? ? d 波动性显现

? ?? d 波动性隐匿

静质量愈小,波长愈大,容易满足条件。
me ? 0.511 MeV c
2

Ek ? 100 eV ? ? 1.23 ?

晶体原子间距

1924年de Broglie提出用晶体作光栅观察电子束衍射

2)戴维孙-革末实验(1927年)

电子束
54 eV 50?

检测器

干涉相长条件
?

d sin ? ? n? , n ? 1, 2, ?
h ?? ? 1.67 ? 2me Ek

散射强度
d

Ni单晶

电子的物质波经各晶体 原子散射后发生干涉

d ? 2.15 ?

理论值

n ? 1 ? ? 51?

3)汤姆孙实验(1927年)
电子束

X 射 线
衍射图样

多晶金属箔

与X光多晶衍射图样相同

1961年J? nsson

实验观察到电 子的多缝干涉

中子、质子、原子和分子的波动性相继被验证

单电子双缝实验 现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性
7个电子在观察屏上 的图像
100个电子在屏上的 图像

3000

20000
说明 ?一个电子?就具有的波动 性 随电子数目增多,在屏上 70000 逐渐形成了衍射图样

波粒二象性是普遍的结论:宏观粒子也具有波动性
例:m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹

h h 6.63 ?10?34 ?? ? ? ? 2.21?10 m P m? 0.01? 300
?34

h 太小了使得宏观物 体的波长小得难以测 量宏观物体只表现出 粒子性

m大

??0

或说 h ???
量子物理过渡到 经典物理

The Nobel Prize in Physics 1929

for his discovery of the wave nature of electrons

L. de Broglie (1892-1987)

The Nobel Prize in Physics 1937

C. Davisson G. P. Thomson (1881-1958) (1892-1975)

for their experimental discovery of the diffraction of electrons by crystals

3.2

测不准关系
电子的单缝衍射(1961年, 约恩逊成功的做出)

h 电子以速度?沿着y轴射向A屏,其波长为 ? ? ,经过狭缝时发生 p 衍射,到达C屏。第一级暗纹的位臵:

d sin? ? ?
x方向上,粒子坐标的不确定度为
d ?x ? 2

粒子动量的不确定度为
?p x sin? ? p

?px ? p sin?



? ? sin? ? ? d 2?x

大部分 电子落在 中央明纹

?p x ? ? ? p 2 ?x

2?x ? ?p x ? ?p ? h

?x ? ?p x ? h / 2

考虑更高衍射级次

?x ? ?p x ? h / 2

狭缝对电子束起了两种作用:一是将它的坐标限制在缝宽d 的范围内,一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两 种作用是相伴出现的,不可能既限制了电子的坐标,又能避免 动量发生变化。

如果缝愈窄,即坐标愈确定,则在坐标方向上的动量就愈不确定。 因此,微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。

?x ? 0

? ?x ? ?p

x

? h / 2?

?px ? ?

海森堡(Heisenberg)在1927年从理论上得到:

ΔPx Δx ? ?

2

Δt ΔE ? ?

2

ΔPx Δx ? ?
第1个式子说明:

2

Δt ΔE ? ?

2

第2个式子说明:

粒子在客观上不 粒子在客观上不 能同时具有确定 能同时在确定的 的坐标位臵 和相 时间具有相应确 应的动量(坐标- 定的能量(时间 动量测不准关系)-能量测不准关 系) 1901-1976,量子力学创立者之 一,1932年诺贝尔物理学奖

例1 设电子与 m ? 0.01kg的子弹均沿x方向运动,? x ? 500 m / s 精确度为 0.01% ,求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
?? x ? 500 ? 10 ?4 m / s ? 5 ? 10 ?2 m / s

?x ? ?p x ? ? / 2

?x ? ? / ?px ? ? / m?? x

电子: 子弹:

?x ? 2.3mm
?x ? 2.1?10 ?31 m

例 2 原子的线度约为 10-10 m ,求原子中电子速度 的不确定量。 原子中电子的位臵不确定量 10-10 m,由不确定关系
?x ? ?p x ? ? / 2

m?Vx ? ?x ? ? / 2

?Vx ? 5.8 ?10 m / s

?5

氢原子中电子速率约为 106 m/s。因此原子中电子的位 臵和速度不能同时完全确定,也没有确定的轨道。

3.3 波函数及其物理意义
1. 波函数
实物粒子的德布罗意波用波函数表示:

2.玻恩(M.Born)统计解释
关于 光的 干涉 极大 的解 释 波动说:干涉极大的 地方,光的强度有极 大值,而强度与振幅 统 的平方成正比。 一 于 粒子说:光强与来到 该处的光子数成正比。

光子在某处出 现的几率和该 处光振幅的平 方成正比

光子数 N? I ? E02

I大, 光子出现几率大 I小, 光子出现几率小

波函数的玻恩(M.Born)统计解释:

? ( x, y, z, t ) 表示t时刻,(x,y,z)处单位体积
2

内发现粒子的几率。称为几率密度。 经典波函数: 比较 物质波波函数: (1)? 可测,有直接物理意义 (2) ? 和 c ? 不同

(1) ? 不可测,无直接物理意义, | ? |2才可测,且有物理意义; (2) ? 和 c ? 描述相同的概率分布 (c是常数)。

用电子双缝衍射实验说明几率波的含义
电子的状态用波函数? 描述 ?只开上缝时 电子有一定的几率通过上缝 其状态用?1 描述 ?只开下缝时 电子有一定的几率通过下缝 其状态用?2描述 ?双缝齐开时 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 下缝各有一定的几 率 干涉项 总几率振幅 Ψ12 ? Ψ1 ? Ψ 2 总几率密度 P ?| Ψ12 |2 ?| Ψ1 ? Ψ 2 |2 12
? ? ?1 ? ? 2 ? ?1? ? ? ? 2 ?1 2 2 2

出现 干涉

3、波函数需要满足的条件 1). 波函数的单值、有限性、连续
根据波函数统计解释,在空间任何有限体积元中找到 粒子的几率必须为单值、有限、连续的 因为,粒子的几率在任何地方 只能有一个值; 不可能无限大; 不可能在某处发生突变。

? ? ?

以上要求称为波函数的标准化条件

2). 波函数的归一性

?

?

? 2 ? ? r , t ? dV ? 1
(? ? 全空间)

? 2 3 若 ? ?A ?r ? d r ? A

1/ A ……归一化因子
The Nobel Prize in Physics 1954 (shared with W. Bothe)

for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction

M. Born (1882-1970)

3.4 薛定谔方程
de Broglie波的存在虽然已被证实,但 还缺少一个描述它存在于时空中的波动 方程. 1926年, E.Schr? dinger创立波 动力学,其核心就是今天众所周知的薛 定谔方程,它在量子力学中的地位和作 用相当于牛顿力学中的牛顿方程,它描 述了量子系统状态的演化规律。

E. Schr? dinger (1887-1961) 1933年与狄拉 克分享诺奖

一般形式的薛定谔方程:
? ?2 2 ? ? i? ? (r, t ) ? ? ? ? ? V (r, t ) ?? (r, t ) ?t ? 2m ?

如果势场不显含时间t ,即V=V(r),则可分离变量: ? (r, t ) ? ? (r) f (t )
则可得定态薛定谔方程

? ?2 ? ? ? 2m ? V (r) ?? (r) ? E? (r) ? ?
波函数具有形式(定态波函数):

? (r, t ) ? ? (r)e

? iEt / ?

一般说来该方程不是对任意的E(能量)值才有解,只 对一系列特定、分立值才有解,故这些特定的E值可以用整 数n编序成En,表明能量是量子化的。可见能量量子化自然 蕴含在薛定谔方程中。

例1

一维无限深势阱中运动粒子的能量和波函数

U→∞

V ( x) ? { ?,
无限深势阱 (potential well)

0,

0? x?a x ? 0, x ? a x

在势阱内:受力为零,自由运动,势能为零 在势阱外:势能为无穷大

在势阱内(0<x<d),定态薛定谔方程(能量本征方程)可以写 d2 2mE ? ? 2 ? ?0 2 dx ? m是粒子质量,E>0,令 k 2? 2 E? 或k ? 2mE / ? 2m 方程化为 d 2? ? k 2? ? 0 dx2 它类似于谐振方程,其一般解是

? ( x) ? A sin Kx ? B cos Kx
式中A和B为待定常数。在势阱外(x≤0,x≥a)由于势壁无限高, 从物理上考虑,粒子是不会出现在该区域内的。按照波函数的 标准条件(连续性条件),阱壁上和阱外的波函数应为零。

根据波函数的标准条件,波函数应连续,

x ? 0 ? (0) ? B cos0 ? 0 ? B ? 0 x ? a ? (a) ? A sin Ka ? 0
A?0

sin Ka ? 0
n ? 0?)

n? ? ( x) ? A sin x a 当 n ? 0 时, ? ( x) ? 0

,( Ka ? n? n ? 1,2,3??

表明几率处处恒为0,即不存在粒子,这是不可能的。

波函数的归一化:

1 ? ? ? dx ? ?
2 ??

?

a

0

2a n? A sin xdx ? A ? 1 2 a
2 2

A?

2 a

? 2 n? sin x ? ? ( x) ? ? a a ?0 ?

0? x?a x ? 0, x ? a
? 2? 2 n2 E? 2? a n ? 1, 2,3,......

K?

n? a

?

2?E ?
2

? 能量是量子化的

最低能量不为零

n 趋于无穷时 能量趋于连续

一维无限深方势阱中粒子的波函数和几率密度
? (x )
? 4 ?x?

E4

? 4 ?x?

2

n?4

a ?4 ? 2
? 3 ?x?
2

? 3 ?x?

n?3

E3

2a ?3 ? 3
? 2 ?x?
2

? 2 ?x?

n?2

E2

?2 ? a
? 1?x?
2

? 1 ?x?

E1

n?1

?1 ? 2a

o

a

o

a

例2、 隧道效应及势垒贯穿
势垒 Ⅰ区 U ( x ) = 0 Ⅱ区 U ( x ) = U0 x≤0 0≤ x ≤ a Ⅰ Ⅰ

U0
Ⅱ Ⅲ Ⅲ

E

Ⅲ区 U ( x ) = 0

x≥a

0

a

经典:粒子动能 E < U0时,粒子不能越过势垒Ⅱ区而 到达Ⅲ区。或者说,在Ⅱ、Ⅲ区域发现粒子的 几率为零。 粒子动能 E 〉 U0时,粒子全部进入Ⅲ区域。

?3

量子力学结果:

E





0

a
? a 2 m (U 0 ? E ) ?

Ψ1

U0 ? ( a ) ? C e 2 Ψ2 Ψ3
隧道效应

E
Ⅰ区

0 Ⅱ区 a

Ⅲ区

x

波穿过势 垒后,将以 平面波的 形式继续 前进( ? 3 )

讨论 (1) E > U0 , R≠0, 即 粒子总能量大于 势垒高度,入射 E 粒子也并非全部 透射进入 III 区, 仍有一定概率被 反射回 I 区。
U0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

0

a

2 (k12 ? k2 ) 2 sin 2 (k2 a) R? 2 2 2 (k1 ? k2 ) sin 2 (k2 a) ? 4k12 k2

2m(U 0 ? E ) k ? 2 ?
2 2

2mE k ? 2 ?
2 1

(2) E < U0 , T≠0, 即粒子总能量小于势垒高度,入射 粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应,它 是粒子波动性的表现。

4k k T? 2 2 2 (k1 ? k2 ) sin (k a) ? 4k12 k2
如k2? ?? 1

2 2 1 2 2 2

16 E (U o ? E ) ?2 k2 x T? e 2 Uo

透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变 化,随着势垒的加宽、加高,透射系数减小。

粒子类型 粒子能量 1eV 电子 1eV 质子 1eV

势垒高度 势垒宽度 2eV 2eV 2eV 5×10-10m 2×10-10m

透射系数 0.024 0.51

2×10-10m 3×10-38

势垒宽度 、高度达到一定程度时, 穿透系数会非常的小,

此时量子概念过渡到经典物理范围

隧道效应的应用:量子力学隧道效应是许多物理现象 和物理器件的核心,如隧道二极管、超导Josophson 结、α衰变现象. 某些质子转移反应也与隧道效应有 关. U (1) 原子核的α 衰变
核内α粒子在核力作用下, 处于很低负势阱中的某一能 级上。在核外核力为零(短 程力),仅受库仑静电斥力 作用,在核边界上形成很高 的势垒。
238

35MeV

4.25MeV

?

U?

234

Th + He

4

0

R

r

理论及实验证明? 粒子通过隧道效应出来的

(2.)扫描隧道显微镜(STM) (Scanning Tunneling Microscopy) 1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了 隧道效应。电子利用隧穿本领从探针越过势垒到 达待测材料表面,形成隧道电流,记录这种电流 可以获得表面状态的信息 隧道电流i
A

隧道电流I与样品和针尖间的 距离d关系敏感

探针 d B 样品

U

i ? Ue
?

?A ? d

A—常量,U—样品与针尖间 的微小电压, —样品表面

STM 结构原理示意图

平均势垒高度

d变 i变 反映表面情况
图象处理系统

?
隧道扫描显微镜

扫描探针

1993年5月IBM的科学家M.Crommie 等在液氮温度用电 子束将单层的Fe原子 蒸发到Cu(111)表面,然后用STM针尖 将48个铁原子排成圆圈, 铁原子间距:9.5 ? 圆圈平均半径:71.3 ?· 圆圈由分立的 铁原子组成而不连续,却能围住圈内处于铜表面的电子,故 称作量子围栏(quantum corral)

例3 一维谐振子
势函数
1 2 1 U(x) ? kx ? m? 2 x 2 2 2

m — 振子质量,? — 固有频率,x — 位移

薛定谔方程: d 2? 2m 1 ? 2 [ E ? m? 2 x 2 ] ? 0 ? 2 dx ? 2 解为:
1 1 En ? (n ? )?? ? (n ? )h? 2 2

k ?? m

n = 0, 1, 2, …

讨论

能量量子化

En ? (n ? 1 )h? 2
普朗克量子化假设

(n ? 0, 1, 2, ??????)
En=nhv E0= 0

量子力学结果
室温下分子热运动动能kT ?E >> kT 宏观振子的能量相应的 n~1025 ?E~10-33J 能量取连续值!对应原理

En=(n+1/2)hv
能量间隔:

E0= hv/2
零点能

?E ? h?

?0

线 性 谐 振 子 波 函 数

n?0

?0
x

2

n?0

x

?1

n ?1

?1
x

2

n ?1

x
?2
n?2

?2
x

2

n?2

线 性 谐 振 子 位 置 几 率 密 度

x

3.5 氢原子的量子力学处理
1. 氢原子的定态薛定谔方程

氢原子中电子的电势能

? ? ? ?2 2 [ ? ? ? U(r )]? (r ) ? E?(r ) 2m e2

U ??

U和方向无关,为中心力场U( r ) 球坐标的定态薛定谔方程

4 ? 0r π

1 ? 2 ?? 1 ? ?? (r ) ? 2 (sin ? ) 2 r ?r ?r r sin ? ?? ?? 1 ?2? 2m e2 ? 2 ? (E ? )? ? 0 2 2 2 r sin ? ?? ? 4?? 0 r

2. 能量量子化
设波函数形式为 采用分离变量的方法可解得原子的能量为
E1 1 me En ? ? 2 ( 2 2 ) ? ? 2 n 8? 0 h n
4

主量子数——主量子数 n和能量有关 n = 1 ,2 ,3 ,……
me4 E1 ? ? ? ?13.6eV 2 2 2(4 ? 0 ) ? π

3. 角动量量子化
原子中电子的轨道角动量大小为

L ? l ? l ? 1? ? l ? 0,1, 2,??(n ? 1)

? 角量子数l——决定电子的轨道角动量 L 的大小
4. 角动量的空间量子化
解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是

Lz ? ml ? ml ? 0, ?1, ?2, ? ? l
磁量子数ml ——决定轨道角动量在Z方向投影
对同一个 l 角动量Z方向分量可能有 2l+1个不同值

例: l = 2 角动量大小为

L ? 2(2 ? 1) ? ? 6 ?
Z方向分量有5种取值

z Lz
2? ?
?? ? 2?

Lz ? ml ?
磁量子数有5种取值

? L? 6?

0

ml ? 0, ? 1,
取分立的5种取值

?2

即角动量在z 轴上仅能

对 z 轴旋转对称

Lz ? 0, ? ?, ? 2?

5. 电子的概率分布
本征波函数

? n,l ,ml(r ,? , ? ) ? Rnl(r )Ylml(? , ? )
径向 角向

角向波函数 电子在(n, l, ml)态下在空间 2 ( r , ? , ? ) 处出现的概率密度是 | ? nlml | 主量子数 n = 1 ,2 ,3 ,…… 角量子数 l ? 0,1, 2,??(n ? 1) 磁量子数 ml ? 0, ?1, ?2, ? ? l

(1)径向分布

在 r —— r ? dr 的球壳内找到电子的概率

Wn l (r )dr ? R n l (r ) r 2dr
?nl (r ) ? R n l (r ) r 2
2

2

径向概率密度:

(2)角分布
角向几率密度:

Wlm (? ,? )d? ? Ylm (? ,? ) d?
2
2

Wlm (? , ? ) ? Ylm (? , ? )
2 lm m

? Nlm P l
2

( m)

(cos? )e

im?

2

? N Pl (cos? )

角向几率与φ角无关,即几率函数为绕z轴旋转对称。

S态电子: ( ??0

)

l ? 0, m ? 0
2

W00 (? ,? ) ? Y00 (? ,? ) ?

1 4?

2

1 ? 4?

几率分布图:

P态电子(

? ?1

):

l ? 1,

m ? 0, ? 1
2

3 W10 (? ,? ) ? Y10 (? ,? ) ? cos2 ? 4? 2 3 W1 ?1 (? , ? ) ? Y1 ?1 (? , ? ) ? sin 2 ? 8?

d态电子(l=2):

f态电子(l=3):

按量子力学计算的结果,原子中的电子并不是沿着一定轨 道运动,而是按一定的几率分布在原子核周围而被发现, 人们形象地将这个几率分布叫做?几率云?。有时还将电

e 子电荷在原子内的几率分布 ?

2

称为?电子云?。因 的具体形式,

? nlm 此只要给出氢原子定态波函数 (r ,? , ? )
就可计算在此状态下的几率云密度。

6. 量子力学与波尔理论对氢原子处理的分 析比较 1)理论出发点不同
波尔理论从实验上得 到的原子的线状光谱 和原子的稳定性出发 量子力学则从实物粒 子的波粒二象性出发

这些实验事实都反映了微观体系 的性质,但物质的二象性更反映 微观体系的本质

2)处理问题的方式不同

波尔理论虽然由实验 事实看出了微观规律 与宏观规律有区别, 但仍采用了经典理论 ,而为了同实验事实 一致才机械地加入了 量子化条件。

量子力学采用解动力 学方程的方法,用波 函数描述体系的状态 。

3)一些结果有区别
波尔理论: 轨道描述, 量子数:n, n? , n? n ? 1, 2, 3..., n? ? 1, 2,..., n,

n? ? 0, ?1,... ? n?

角动量大小:P ? n? ?, P ? n? ? ? ?
量子力学: 几率大小, 量子数:n, l , m

n ? 1, 2, 3..., l ? 0,1, 2,..., n ? 1, m ? 0, ?1,... ? l
角动量大小:L ? l (l ? 1)?, Lz ? m?


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com