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实变函数期末考试卷A卷

实变函数期末考试卷A卷


实变函数
一、 判断题(每题 2 分,共 20 分)

1.若 A 是 B 的真子集,则必有 A ? B 。 2.必有比 a 小的基数。 3.一个点不是 E 的聚点必不是 E 的内点。 4.无限个开集的交必是开集。 5.若 E ? ? ,则 m * E ? 0 。 6.任何集 E ? R n 都有外测度。 7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。 8.可测集的所有子集都可测。

(×) (√) (√) (×) (×) (√) (×) (×)

9.若 f (x) 在可测集 E 上可测, f (x) 在 E 的任意子集上也可测。 则 (×) 10. f (x) 在 E 上可积必积分存在。 1.设 E 为点集, P ? E ,则 P 是 E 的外点.( × 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × 3. 设
?

(×) )



?En ?
n ??

是 一 列 可 测 集 , 且 En ?1 ? En , n ? 1,2,?, 则 ) )

m(? En ) ? limm( En ). (×
n ?1

4.单调集列一定收敛. (√

5.若 f ( x) 在 E 上可测,则存在 F? 型集 F ? E, m( E ? F ) ? 0 , f ( x) 在 F 上连续.( × )


二、填空题(每空 2 分,共 20 分) 1.设 B 是 R 1 中无理数集,则 B ? c
1 ? ? 1 1 2. 设 A ? ?1, , ,?, ,?? ? R1 , 则 A 0 ? n ? ? 2 3
{0}



?

, A' ?


? 1 1 , ), n ? 0,1,2,? ,则 ? An ? n ?0 n ?1 n ?1

3.设 An ? (?
{0}

(?1,1)

, ? An ?
n?1

?

。 至多可列 。 集。 集。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 5.设 E 是 [0,1] 上的 Cantor 集,则 mE ? 6.设 A 是闭集, B 是开集,则 A \ B 是
0



7.闭区间 [a, b] 上的有界函数 f (x) Rimann 可积的充要条件是 f (x) 是 [a, b] 上的几乎处处的连续函数 。 可积的。

8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是 Lebesgue 得分 阅卷人

三、计算题(每题 10 分,共 20 分)

1.计算 lim( R) ?
n ??

1

0

nx sin 3 nxdx 。 (提示:使用 Lebesgue 控制收敛定 2 2 1? n x

1 2

理)
1

nx 2 sin 3 nx (n ? 1,2,?) ,则 解:设 f n ( x) ? 2 2 1? n x
(1) 因 f n (x) 在 [0,1] 上连续,所以是可测的; (2) lim f n ( x) ? 0, x ? [0,1] ;
n ??



(3)因为
1 1 1

nx 2 nx 2 nx 2 1 ? F (x) sin 3 nx ? ? ? 2 2 2 2 2nx 2 x 1? n x 1? n x

显然 F (x) 在 [0,1] 上可积。于是由 Lebesgue 控制收敛定理,有

lim( R) ?
n ??

1

0

nx nx sin 3 nxdx ? lim( L) ? sin 3 nxdx ? 0 2 2 0 1 ? n2 x2 n ?? 1? n x
1

1 2

1 2

1 ? x, x为大于 的无理数; ? 2 2. 设 f ( x) ? ? x , x为小于 的无理数; 试计算 ? f ( x)dx 。 1 [ 0, 2 ] ?0, x为有理数, ?

解:因为有理数集的测度为零,所以

f ( x) ? x 2 a.e. 于 [0,1] , f ( x) ? x
于是

a.e. 于 [1,2] 。

?

[ 0, 2 ]

f ( x)dx ? ?

[ 0 ,1]

f ( x)dx ? ?
2

[1, 2 ]

f ( x)dx

? ? x 2 dx ? ? xdx ?
0 1

1

1 3 11 ? ? 3 2 6

四、证明题(每题 8 分,共 40 分)

1. 证明: A \ (? An ) ? ? ( A \ An )
n ?1 n ?1

?

?



证明: A \ (? An ) ? A ? ( ? An ) c
n ?1 n ?1

?

?

? A ? ( ? An )
c n ?1

?

= ? ( A ? An )
n ?1

?

c

? ? ( A \ An )
n ?1

?

2. 设 M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明
M 是至多可列集。

证明: 由有理数集的稠密性可知, 每一个开区间中至少有一个有理数, 从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合 A。因为这些开区间 是互不相交的,所以此有理数集 A 与开区间组成的集合 M 是一一对应 的。则 A 是有理数集的子集,故至多可列,所以 M 也是至多可列集。 3. 证明:若 m ? E ? 0 ,则 E 为可测集。 证明:对任意点集 T ,显然成立着

m?T ? m? (T ? E) ? m? (T ? E c ) 。
另一方面,因为 m ? E ? 0 ,而 T ? E ? E ,所以 m? (T ? E) ? m? E ,于 是 m? (T ? E ) ? 0 。又因为 T ? T ? E c ,所以 m?T ? m? (T ? E c ) ,从而

m?T ? m? (T ? E) ? m? (T ? E c ) 。
总之, m?T ? m? (T ? E) ? m? (T ? E c ) 。故 E 是可测集。

4. 可测集 E 上的函数 f (x) 为可测函数充分必要条件是对任何有理数

r ,集合 E[ f ( x) ? r ] 是可测集。



一、填空题(每小题 2 分,共 10 分)



D

)1、

? A \ B? ? C ? A \ ? B \ C ? 成立的充分必要条件是(
B、 B ? A D、 C ? A



A、 A ? B C、 A ? C ( A

)2、设 E 是闭区间 ?0,1? 中的无理点集,则( )
B. mE ? 0 D. E 是闭集

A. mE ? 1 C. E 是不可测集



C

) 设 E 是可测集,A 是不可测集,mE ? 0 , E ? A 是 ) 3、 则 (
B. 可测集但测度未必为零 D. 以上都不对

A. 可测集且测度为零 C. 不可测集



B

)4、设 mE ? ?? , ? fn ? x ?? 是 E 上几乎处处有限的可测函数

列, f ? x ? 是 E 上几乎处处有限的可测函数,则 ? fn ? x ?? 几乎处处收敛 于 f ? x ? 是 ? fn ? x ?? 依测度收敛于 f ? x ? 的( )
A. 必要条件 C. 充分必要条件 B. 充分条件 D. 无关条件



D

)5、设 f ? x ? 是 E 上的可测函数,则( )

A. f ? x ? 是 E 上的连续函数 B. f ? x ? 是 E 上的勒贝格可积函数 C. f ? x ? 是 E 上的简单函数 D. f ? x ? 可表示为一列简单函数的极限

设 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 实 值 连 续 函 数 , 则 对 于 任 意 常 数 a ,
E ? {x | f ( x) ? a} 是一开集,而 E ? {x | f ( x) ? a} 总是一闭集。



证明:若 x0 ? E, 则f ( x0 ) ? a ,因为 f ( x) 是连续的,所以存在 ? ? 0 ,使任意
x ? (??, ?) ,

| x ? x0 |? ? 就有f ( x) ? a ,
……………(5 分) 即 任 意

……………

x ? U( x0 , ? ), 就有x ? E, 所以U( x0 , ? ) ? E, E





集…………………………(10 分) 若 xn ? E , 且 xn ? x0 (n ? ?), 则f ( xn ) ? a , 由 于 f ( x ) 连 续 ,

f ( x0 ) ? lim f ( xn ) ? a ,
n ??

即 x0 ? E ,因此 E 是闭集。

1 ( , (2 , , 1 ? 求出集列 { An } 的上限集和下限 (1) A2 n1? ? 0 ,) 0,)A n2 , n n ? 设 n 集 证 明 :

l

n ??

An ?

? ……………………………………………………………………… i m

(5 分) 设 x ? (0, ?) , 则存在 N, x ? N , 使 因此 n ? N 时,0 ? x ? n , x ? A2n , 即 所以 x 属于下标比 N 大的 一切偶指标集,从而 x 属于无限多 An ,得 x ? lim An ,
n ??







l

n ??

An ?

? 所以

n ??

An ?

? ……………………………………… i m

…………(7 分)

lim An ? ? ………………………………………………………………………
n ??

…………(12 分) 若有 x ? lim An ,则存在 N,使任意 n ? N ,有 x ? An ,因此若 2n ? 1 ? N
n ??

时,


x ? A2 n ?1 , 即0 ? x ?
n ??

1 , 令n ? ?得0 ? x ? 0 , 此 不 可 能 , 所 以 n

lim An ? ? ………………(15 分)

(2)可数点集的外测度为零。

证明: 证明:设 E ? {xi | i ? 1, 2,? 对任意 ? ? 0 ,存在开区间 I i ,使 xi ? Ii , }
且 | I i |?

?
2i

(8 分)

所 以

? Ii ? E , 且
i ?1

?

?| I
i ?1

?

i

|??

, 由

? 的 任 意 性 得

m* E ? 0 ………………………………(15





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