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2014年山东省高考文科数学试题Word版

2014年山东省高考文科数学试题Word版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学
本试卷分第I卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分,考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:

1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、 考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑;如果改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号、答 案写在试卷上无效。 3. 第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡 各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉 原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正 带,不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

第I卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 已知 a, b ? R, i 是虚数单位. 若 a ? i = 2 ? bi ,则 (a ? bi)2 ?

(A) 3 ? 4i

(B) 3 ? 4i

(C) 4 ? 3i

(D) 4 ? 3i

(2) 设集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 0}, B ? {x |1 ? x ? 4} ,则 A B ? (A) (0, 2] (3) 函数 f ( x) ? (A) (0, 2) (B) (1, 2) (C) [1, 2) (D) (1, 4)

1 的定义域为 log 2 x ? 1

(B) (0, 2]

(C) (2, ??)

(D) [2, ??)

(4) 用反证法证明命题: “设 a , b 为实数,则方程 x3 ? ax ? b ? 0 至少有一 个实根”时,要做的假设是 (A) 方程 x3 ? ax ? b ? 0 没有实根 个实根 (C) 方程 x3 ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 (D) 方程 x3 ? ax ? b ? 0 恰好 有两个实根 (5) 已知实数 x, y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是 (A) x3 ? y3 (C) ln( x2 ? 1) ? ln( y2 ? 1) (B) sin x ? sin y (D)
1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

(B) 方程 x3 ? ax ? b ? 0 至多有一

(6) 已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图象如右图,则 下列结论成立的是
E

O

x

(A) a ? 0, c ? 1

(B) a ? 1, 0 ? c ? 1

(C) 0 ? a ? 1, c ? 1 (D) 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1 (7) 已知向量 a ? (1, 3), b ? (3, m) . 若向量 a, b 的夹角为 ,则实数 m ? (A) 2 3 (B)
3

? 6

(C) 0

(D) ? 3

(8) 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有 志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为
[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17] ,将其按从左到右的顺序分别编号为

第一组,第二组,??,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分 布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为
频率/组距
0.36

0.24 0.16
0.08
12

13

14

15

16

17 舒张压 / kPa

(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (9) 对于函数 f ( x) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的 是 (A) f ( x) ? x (B) f ( x) ? x3

(C) f ( x) ? tan x (10) 已知 x, y 满足约束条件 ?

(D) f ( x) ? cos( x ? 1)
? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 ?2 x ? y ? 3 ? 0,

z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 在该约束条件下取到最小值 2 5 时,a 2 ? b 2 的最小

值为 (A) 5 (B) 4 (C)
5

(D) 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11) 执行右面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输 出的 n 的值为 (12) 函数 y ? .
3 sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期为 2

开 输入 始 x

.

n?0

x3 ? 4 x ? 3 ? 0 否
x ? x ?1 n ? n ?1

(13) 一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正 是 输入 x 结 束 六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积 为 。

(14) 圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所 得弦的长为 2 3 ,则圆 C 的标准方程为 (15) 已知双曲线 。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c ,右顶点为 A,抛物 a 2 b2

线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
2c ,且 | FA |? c ,则双曲线的渐近线方程为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.

(16)(本小题满分 12 分) 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如右表所示. 工作人员用 分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 A 数量 50 B 150 C 100

(I)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (II)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同地区的概率. (17) (本小题满分 12 分)
?ABC 中,角

A,B,C 所对的边分别为 a, b, c . 已知

a ? 3,cos A ?

6 ? , B ? A? . 3 2

(I)求 b 的值; (II)求 ?ABC 的面积. (18)(本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,AP ? 平面PCD, AD∥BC , AB ? BC ? AD, E , F 分 别为线段 AD, PC 的中点.
1 2

(I)求证: AP∥平面BEF ; (II)求证: BE ? 平面PAC .

(19) (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中,已知公差 a1 ? 2 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? an ( n?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? …? (?1)n bn ,求 Tn .
2

(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ?
x ?1 ,其中 a 为常数. x ?1

(I)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)讨论函数 f ( x) 的单调性. (21)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 直线 y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为 (I)求椭圆 C 的方程; (II)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的 顶点). 点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交 于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使 得 k1 ? ?k2 ,并求出 ? 的值; (ii)求 ?OMN 面积的最大值.
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

4 10 . 5



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