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河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学(文)试题 Word版含答案

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河南开封市 2013 届高三第二次模拟考试

数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)—(24) 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标 号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔 迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠,不破掼。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,? , x n 的标准差;

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ],其中x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh, 其中S为底面面积 、h 为高;

1 Sh, 其中S为底面面积, h 为高; 3 4 球的表面积、体积公式: S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 , 其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式: V ?

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设 i 是虚数单位,则复数 z ? (

1 ? i 2013 ) = 1? i

A.-1 B.1 C. ?i D. 2 2.若集合 A={0,1},B= {-1,a ) ,则“a=l”是“A∩B={1}”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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3.曲线 y ? sin x ? e 在点(0,1)处的切线方程是
x

A. x ? 3 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. 3 x ? y ? 1 ? 0

4.若执行如图所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x ? 2, 则输出的数 S 等于

2 3 1 C. 3
A.

B.1 D.

1 2

5.已知等差数列 {an } 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2= A.-4 B.-6 C.-8 6.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 A.5 B.6 C.7 D.8 7.若 sin ? ? D.-10

4 ,sin ? ? cos ? ? 1, 则 sin 2? = 5 24 12 A. ? B. ? 25 25 4 24 C. ? D. 5 25
2 2

8.双曲线 kx ? y ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离心率是

A.

5 2

B.

3 2

C. 3

D. 5

? x 1 ?2 ? , x ? 4 9.函数 f ( x) ? ? 记a ? f (log x ? f ( x ? 2), x ? 4 ?

2

1 ), b ? 5, c ? 35, 则 2

A.a>b>c B.b<a<c C.a<c<b D.a>c>b 10.△ABC 中,∠A=60°,角 A 的平分线 AD 将 BC 分成 BD、DC 两段,若向量

???? 1 ??? ? ???? AD ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则角 C= 3
A.

?

6

B.

?

4

C.

?
2

D.

?
3

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11.已知三棱锥 O—ABC,A、B、C 三点均在球心为 O 的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°, 三棱锥 O—ABC 的体积为 A.64 ?

5 ,则球 O 的表面积是 4
C.

B.16 ?

32 ? 3

D.544 ?

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f ?( x) ?

1 ,则不等式 2

x2 ? 1 的解集为 f (x ) ? 2
2

A. (1,2)

B. (0,1)

C. (1,+∞)

D. (-1,1)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分.

?x ? 0 y ?1 ? , 则z ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 的取值范围 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
14.已知椭圆



x2 y 2 5 ,其中一个顶点坐标为(0,2) ,则 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 5 a b


椭圆的方程为

15.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ,若实数 m,n 满足 f (m) ? f (2n) ? 3, 则m ? n 的最小值 是____. 16.设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

, 则f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (6) ?



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? (I)求 ? 值及 f(x)的单调递增区间;

1 (? ? 0) 的最小正周期为 ? 2
2, B 为锐角,

(Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

A 3 ,求角 C 的大小. f( )? 2 2

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18. (本小题满分 12 分) 某产品按照行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ? 依次为 1,2,3,?,8,其 中 ? ? 5 为标准 A,? ? 3 为标准 B,产品的等级系数越大表明产品的质量越好。已知某 厂执行标准 B 生产该产品且该厂的产品都符合相应的执行标准, 从该厂生产的产品中随 机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:

该行业规定:产品的等级系数 ? ? 7 的为一等品;等级系数为 5 ? ? ? 7 的为二等品; 等级系数为 3 ? ? ? 5 为三等品。 (I)试分别估计该厂生产产品的一等品率、二等品率、三等品率各为多少? (II)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽取的 2 件产品等级系数都是 8 的概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AB=BC=1,CC1=2,AC1 与平面 BCC1B1 所成角 为 30°,AB⊥平面 BB1C1C。 (I)求证:BC⊥AC1; (Ⅱ)求三棱锥 A—A1B1C1 的高.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O
2

是坐标原点, OA ? OB ? 0. (I)试判断直线 AB 是否过定点?若过,求定点的坐标;

??? ??? ? ?

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(Ⅱ)当弦 AB 的中点到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时,求抛物线方程. 5

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x, g ( x) ? x ? a x (I)若 a ? R,判断函数 f ( x) 是否有极值?若有,求出极值;若无,说明理由; (II)若函数 f ( x)在(1, 2] 上是增函数,函数 g ( x) 在(0,1)上是减函数。 ①求函数 f ( x), g ( x) 的表达式; ②证明:当 x ? 0时, 方程f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解。

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,∠C 为钝角,点 E、H 是边 AB 上的点,点 K、M 分别是边 AC 和 BC 上的点,且 AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM. (I)求证:E、H、M、K 四点共圆; (Ⅱ)若 KE=EH,CE=3,求线段 KM 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点重合,极轴与 x 轴非负半轴重合,两个坐标系单位长度相同,己知 直线 l: ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程: ? ? 4 cos ? . ? y ? 1 ? t sin ?

(I)若直线 l 的斜率为-1,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的参数方程.

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24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | ?2 | x ? a | ( a ? 0). (I)当 a=l 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥4 对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围

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