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高中数学第一章统计1.1分层抽样与系统抽样第1课时系统抽样教案

高中数学第一章统计1.1分层抽样与系统抽样第1课时系统抽样教案


2.2

分层抽样与系统抽样
整体设计

教学分析 教学通过实例介绍了分层抽样与系统抽样及其步骤 .分层抽样是高考的热点,其抽样过 程中,在每一层常用简单随机抽样和系统抽样 ,因此建议改变教材的顺序,先学习系统抽样, 再学习分层抽样. 值得注意的是在教学过程中,教师适当介绍当

N 不是整数时,应如何实施系统抽样. n

三维目标 1.理解系统抽样,会用系统抽样从总体中抽取样本,了解系统抽样在实际生活中的应用,提 高学生学习数学的兴趣. 2.理解分层抽样,掌握其实施步骤,培养学生发现问题和解决问题的能力. 3.掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系, 提高学生的总结和归纳能力, 让 学生领会到客观世界的普遍联系性. 重点难点 教学重点:实施系统抽样的步骤,分层抽样及其步骤. 教学难点:当

N 不是整数,如何实施系统抽样,确定各层的入样个体数目,以及根据实际情 n

况选择正确的抽样方法. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 系统抽样 导入新课 思路 1.上一节我们学习了简单随机抽样,那么简单随机抽样的特点是什么?简单随机抽样 是最简单和最基本的抽样方法,当总体中的个体较少时,常采用简单随机抽样.但是如果总 体中的个体较多时,怎样抽取样本呢?教师点出课题:系统抽样. 思路 2.某中学有 5 000 名学生,打算抽取 200 名学生,调查他们对奥运会的看法,采用简 单随机抽样时,无论是抽签法还是随机数法,实施过程很复杂,需要大量的人力和物力,那 么有没有更为方便可行的抽样方法呢?这就是今天我们要学习的内容:系统抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查,除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的方法? (2)请归纳系统抽样的定义和步骤. (3)系统抽样有什么特点? 讨论结果: (1)可以将这 500 名学生随机编号 1—500,分成 50 组,每组 10 人,第 1 组是 1—10,第二 组 11—20,依次分下去,然后用简单随机抽样在第 1 组抽取 1 人,比如号码是 2,然后每隔 10 个号抽取一个,得到 2,12,22,…,492. 这样就得到一个容量为 50 的样本. 这种抽样方法称为系统抽样.

1

(2)一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫 作系统抽样. 其步骤是: 1°采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个体编号; 2°将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,l≤k); 3°在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,l≤k); 4°按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k), 再加上 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),这样继续下去,直到获取整个样本. 说明:从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而 把复杂问题简单化,体现了数学转化思想. (3)系统抽样的特点是: 1°当总体容量 N 较大时,采用系统抽样. 2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样 又称等距抽样,这时间隔一般为 k=[

N ]. n

3°预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的 基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号. 应用示例 思路 1 例 1 某工厂平均每天生产某种机器零件大约 10 000 件,要求产品检验员每天抽取 50 件零 件,检查其质量状况.假设一天的生产时间中生产机器零件的件数是均匀的,请你设计一个调 查方案. 解:我们可以采用系统抽样,按照下面的步骤设计方案. 第一步 按生产时间将一天分为 50 个时间段,也就是说,每个时间段大约生产

10000 =200 50

件产品.这时,抽样距就是 200. 第二步 将一天中生产出的机器零件按生产时间进行顺序编号 .比如,第一个生产出的零件 就是 0 号,第二个生产出的零件就是 1 号等. 第三步 从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法,抽取一件产品,比如是 k 号零件. 第四步 顺序地抽取编号分别为下面数字的零件:k+200,k+400,k+600,…,k+9 800.这样总 共就抽取了 50 个样本. 点评:系统抽样与简单随机抽样一样,每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是 等概率抽样,它是公平的.系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的,将总体均分后对 每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样. 变式训练 1.下列抽样不是系统抽样的是( ) A.从标有 1—15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品, 用传送带将产品送入包装车间前, 检验人员从传送带上每隔五分钟抽一 件产品检验 C.搞某一市场调查, 规定在商场门口随机抽一个人进行询问, 直到调查到事先规定的调查人 数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈

2

分析:C 中,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所 以不是系统抽样. 答案:C 2.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要 按 1∶5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. 分析:按 1∶5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:抽样过程是: (1)按照 1∶5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷5=59,我们把 259 名同学分成 59 组, 每组 5 人,第一组是编号为 1—5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6—10 的 5 名学生,依次下 去,59 组是编号为 291—295 的 5 名学生; (2)采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 l(l≤5); (3)按照一定的规则抽取样本,抽取的学生编号为 l+5k(k=0,1,2,…,58),得到 59 个个体作 为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,…,288,293. 3.为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩, 应采用什么抽样方法较恰当?简述抽 样过程. 解:适宜选用系统抽样,抽样过程如下: (1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2,3,…,1 000. (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体. (3)在第一部分的个体编号 1,2,3,…,20 中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如 18. (4)以 18 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到一个容量为 50 的样本:18,38, 58,…,978,998. 例 2 某装订厂平均每小时大约装订图书 362 册,要求检验员每小时抽取 40 册图书,检查其 质量状况.请你设计一个调查方案. 解:我们可以采用系统抽样,按照下面的步骤设计方案. 第一步 把这些图书分成 40 个小组,由于

362 的商是 9,余数是 2,所以每个组有 9 册书,还 40

剩 2 册书.这时,抽样距就是 9. 第二步 先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取 2 册书,不进行检验. 第三步 将剩下的书进行编号,编号分别为 0,1,…,359. 第四步 从第一组(编号分别为 0,1,…,8)的书中按照简单随机抽样的方法,抽取 1 册书,比 如说,其编号为 k. 第五步 顺序地抽取编号分别为下面数字的书:k+9,k+18,k+27,…,k+39×9.这样总共抽取 了 40 个样本. 点评:如果遇到

N 不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩 n

余的个体数能被样本容量整除. 变式训练 1.某校高中三年级有 1 242 名学生,为了了解他们的身体状况,准备按 1∶40 的比例抽取一 个样本,那么( ) A.剔除指定的 4 名学生 B.剔除指定的 2 名学生 C.随机剔除 4 名学生 D.随机剔除 2 名学生 分析:为了保证每名学生被抽到的可能性相等,必须是随机剔除学生,由于 2,所以要剔除 2 名学生.故选 D.

1242 的余数是 40

3

答案:D 2.从 2 008 个编号中抽取 20 个号码,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为( ) A.99 B.99.5 C.100 D.100.5 答案:C 3.为了了解参加某种知识竞赛的 1 003 名学生的成绩,请用系统抽样抽取一个容量为 50 的 样本. 分析:由于

1003 不是整数,所以先从总体中随机剔除 3 个个体. 50

解:(1)随机地将这 1 003 个个体编号为 1,2,3,…,1003. (2)利用简单随机抽样,先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表),剩下的个体数 1 000 能被样本容量 50 整除,然后再重新编号为 1,2,3,…,1000. (3)确定分段间隔.

1000 =20,则将这 1 000 名学生分成 50 组,每组 20 人,第 1 组是 1,2, 50

3,…,20;第 2 组是 21,22,23,…,40;依次下去,第 50 组是 981,982,…,1000. (4)在第 1 组用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤20). (5)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+20k (k=0,1,2,…,19),得到 50 个个体 作为样本,如当 k=2 时的样本编号为 2,22,42,…,982. 思路 2 例1 从已编号为 1—50 的 50 枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验, 若采用系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 分析: 用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=

50 =10,k 5

是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求. 答案:B 点评:利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来,从第 2 个号码开始, 每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数,这个常数就是分段间隔. 变式训练 某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为 了了解有关情况, 留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试, 这里运用的是_____________ 抽样方法. 答案:系统 知能训练 1.从学号为 0—50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学竞赛,采用系统抽样 的方法,则所选 5 名学生的学号不可能是( ) A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2,12,22,32,42 D.9,19,29,39,49 答案:A 2.采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本, 那么每个个体入样 的可能性为( ) A.

10 83

B.

1 83

C.

1 10

D.

1 80

答案:A

4

3.某单位的在岗工人为 624 人, 为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间, 决 定抽取 10%的工人调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 答案:先随机剔除 4 人,再按系统抽样抽取样本. 4.某学校有学生 3 000 人,现在要抽取 100 人组成夏令营,怎样抽取样本? 分析:由于总体人数较多,且无差异,所以按系统抽样的步骤来进行抽样. 解:按系统抽样抽取样本,其步骤是: ①将 3 000 名学生随机编号 1,2,…,3000; ②确定分段间隔 k=

3000 =30,将整体按编号进行分 100 组,第 1 组 1—30,第 2 组 31—60, 100

依次分下去,第 100 组 2971—3000; ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,0≤l≤30); ④按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 l 加上间隔 30 得到第 2 个个体编号 l+30, 再加上 30,得到第 3 个个体编号 l+60,这样继续下去,直到获取整个样本.比如 l=15,则 抽取的编号为:15,45,75,…,2985. 这些号码对应的学生组成样本. 拓展提升 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 000,001,002,…,999,打算从中抽取一 个容量为 50 的样本,按系统抽样方法分成 50 个部分,第一组编号为 000,002,…,019, 如果在第一组随机抽取的一个号码为 015,则抽取的第 40 个号码为______________. 分析:利用系统抽样抽取样本,在第一组抽取号码为 l=015,分段间隔为 k=

1000 =20, 50

则在第 i 组中抽取的号码为 015+20(i-1).则抽取的第 40 个号码为 015+(40-1)×20=795. 答案:795 课堂小结 通过本节的学习,应明确什么是系统抽样,系统抽样的适用范围,如何用系统抽样获取 样本. 作业 调查某班学生的身高情况,利用系统抽样的方法,样本容量为 40.这个班共分 5 个组,每 个组都是 8 名学生,他们的座次是按照身高高矮进行编排的.李立是这样做的,抽样距是 8,按 照每个小组的座次进行顺序编号.你觉得这样抽取的样本具有代表性吗? 分析:假设这个班的学生是这样编号(这个编号也代表他们的身高)的: 第一组 a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7<a8; 第二组 b1<b2<b3<b4<b5<b6<b7<b8; 第三组 c1<c2<c3<c4<c5<c6<c7<c8; 第四组 d1<d2<d3<d4<d5<d6<d7<d8; 第五组 e1<e2<e3<e4<e5<e6<e7<e8. 如果按照李立的抽样方法,比如在第一组抽到了 8 号,也就是 a8,那么所抽取的样本分别 为 a8,b8,c8,d8,e8.显然,这样的样本不具有代表性,它们代表的身高偏高.

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