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第九讲 立体几何一(生)

第九讲  立体几何一(生)


第 1 讲 空间向量及其运算 知 识 梳 理 1.空间向量 在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的长度或模. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在 λ ∈R,使 a=λ b. (2)共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有序实数对(x,y), 使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数 组{x,y,z}使得 p=xa+yb+zc. 3.两个向量的数量积 (1)非零向量 a,b 的数量积 a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λ a)·b=λ (a·b). 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 数量积 共线 垂直 模 夹角 坐标表示 ②交换律:a·b=b·a. ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

a·b a=λ b(b≠0) a·b=0 (a≠0,b≠0)
|a| <a,b>(a≠0,b≠0)

a1b1+a2b2+a3b3 a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3 a1b1+a2b2+a3b3=0
2 2 a2 1+a2+a3

cos<a,b>=

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a +a2 +a3· b1+b2+b3
2 1

考点一 空间向量的线性运算 【例 1】 如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别为 OA、BC 的中点,点 G 在线 → → → → → → 段 MN 上,且MG=2GN,若OG=xOA+yOB+zOC,则 x,y,z 的值分别为________________.

1

【训练 1】 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点.设 E 是棱 DD1 上的点, → 2→ → → → → 且DE= DD1,试用AB,AD,AA1表示EO. 3

第 2 讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 知 识 梳 理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 → → (1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l 的方向向量,与AB平 行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法 向量的方程组为?
? ?n·a=0, ?n·b=0. ?

2.空间位置关系的向量表示 位置关系 直线 l1,l2 的方向向量分别为 向量表示

l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α
α ∥β α ⊥β

n1∥n2?n1=λ n2 n1⊥n2?n1·n2=0 n⊥m?m·n=0 n∥m?n=λ m n∥m?n=λ m n⊥m?n·m=0

n1,n2.
直线 l 的方向向量为 n,平面 α 的法向量为 m 平面 α ,β 的法向量分别为

n,m.

考点一 利用空间向量证明平行问题 【例 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1C,B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

【训练 1】 (2013·浙江卷选编)如图,在四面体 A-BCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M
2

是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. 证明:PQ∥平面 BCD.

考点二 利用空间向量证明垂直问题

【例 2】如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上.已 知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC; (2)若点 M 是线段 AP 上一点,且 AM=3.试证明平面 AMC⊥平面 BMC.

【训练 2】 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,

D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点.求证:
(1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

3

考点三 利用空间向量解决探索性问题

【例 3】如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存 在,说明理由.

规律方法 立体几何开放性问题求解方法有以下两种: (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后再加以证明,得出结论; (2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已 知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点 P 的坐标,借助向量运算,判定关于 z0 的方程是否有解. 【训练 3】 如图所示,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱

SD 上的点.
(1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存 在,试说明理由.

基础巩固题组
4

一、选择题 1.已知平面 α ,β 的法向量分别为 μ =(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则( A.α ∥β B.α ⊥β C.α 、β 相交但不垂直 D.以上都不正确 ). ).

→ → → 2.若AB=λ CD+μ CE,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内

3.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点,向量 n=(1,1,1),则以 n 为方向向量的直线 l 与平面 ABC 的关系是( A.垂直 ). B.不垂直 C.平行 D.以上都有可能

4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为

BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为(
A.平行 B.异面

).

C.垂直 D.以上都不对

5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 在 EF 上,且

AM∥平面 BDE.则 M 点的坐标为(
A.(1,1,1) 二、填空题 B.? 2 ? ? 2 , ,1? 3 ?3 ?

). C.? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 , ,1?D.? , ,1? 2 4 ?2 ? ?4 ?

6.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且 α ⊥β ,则 x=________. 7.已知平面 α 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面 β 的一个法向量 n=(-1,-1,-1).则 不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是________. → → → 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2, → → → -1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;④AP∥BD.其中正确的是________. 三、解答题 9.如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E,F,G 分别 是线段 PA,PD,CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

10. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB =4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30°的角.
5

(1)求证:CM∥平面 PAD;

(2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD.

能力提升题组 一、选择题 → → → → → 1.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则 x+y 的 值为( A. 25 7 ). 6 B. 7 18 C. 7 D. 40 7

2.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点, 若平行六面体的各棱长均相等,则( ).

①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面 DCC1D1;④A1M∥平面 D1PQB1. 以上正确说法的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 3.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果 B1E⊥ 平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________. ).

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