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山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题

山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题


第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 1.已知集合 M ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? x x ? a , 若M ? N ,则实数 a 的取值范围是

?

?

?

?

A. ? ??, ?1? 2.若 z ?

B. ? ??, ?1?

C. ?3, ?? ?

D. ? 3, ?? ?

1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数是 i A. ?2 ? i B. 2 ? i C. 2 ? i

D. ?2 ? i 3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论: ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行; A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.“ cos ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的 3 2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为 A.7 B.9 C.11 D.13 6.某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据,根 据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为
1

$ y ? 8.5x ? 7.5 ,则表中的 m 的值为

A.50

B.55

C.60

D.65

7.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两个焦点,以 F1F2 为直径的圆与双曲线一个交点是 P, a 2 b2

且 ?F1 PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 A. 2 C.2 8.在椭圆 B. 3 D.5

x2 y 2 ? ? 1 内,通过点 M ?1,1? 且被这点平分的弦所在的直线方程为 16 9
B. 16 x ? 9 y ? 25 ? 0 D. 16 x ? 9 y ? 7 ? 0

A. 9 x ? 16 y ? 7 ? 0 C. 9 x ? 16 y ? 25 ? 0

9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有 4 种颜色可供使用, 则不同的染色方法总数有 A.48 种 B.72 种 C.96 种 D.108 种 10.若至少存在一个 x ? x ? 0? ,使得关于 x 的不等式 x ? 4 ? 2x ? m 成立,则实数 m 的取值范围为
2

A. ? ?4,5? C. ? 4,5?

B. ? ?5,5? D. ? ?5, 4?

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.100 名学生某次数学测试成绩 (单位: 分) 的频率分布直方图如图所示, 则测试成绩落在 ?60,80? 中的学生人数是_________. 12.函数 f ? x ? ?

1 ? ?1gx ? ? 3lg x ? 2
2

的定义域是_________.

13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为 的扇形,则该几何体的体积为__________.

? 3

14. 设 a, b, c 是 单 位 向 量 , 且 a ? b ? 0,则 a ? c ? b ? c 的 最 大 值 为
2

r r r

r r

?

r

r

??

r

r

?

________. 15.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若存在常数 ? ? 0,使 f ? x ? ? ? x 对一切实数 x 均成立,则称 f ? x ? 为 “条件约束函数”.现给出下列函数: ① f ? x ? ? 4x ;② f ? x ? ? x2 ? 2 ;③ f ? x ? ?

2x ; x ? 2x ? 5
2

④ f ? x ? 是定义在实数集 R 上的奇函数,且对一切 x1 , x2 均有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 .其中是“条件 约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C;且 b ? 4, A ? (I)求 a 的值; (II)设 f ? x ? ? 2 ? cos C sin x ? cos A cos x ? ,将 f ? x ? 图象上所有点的横坐标变为原来的 变)得到 g ? x ? 的图象,求 g ? x ? 的单调增区间.

?
3

,面积 S ? 2 3 .

1 (纵坐标不 2

17. (本小题满分 12 分) 某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛, 甲、乙两个代表队(每队 3 人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得 10 分,答错得 0 分.假设甲队中每人答对的概率均为

3 4 3 2 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否 4 5 4 3

相互之间没有影响,用 ? 表示乙队的总得分. (I)求 ? 的分布列和数学期望; (II)求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率.

18. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 10, AC ? 8, BC ? 6 , AA 1 ? 8 ,点 D 在线 段 AB 上. (I)若 AC1 / / 平面 B1CD ,确定 D 点的位置并证明; (II)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3
3

19. (本小题满分 12 分)
? 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ?1 ? 3an ? 2an ?1 n ? N , n ? 2 ,

?

?

(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 log 4 ? an ? 1? ,证明:对一切正整数 n, 有
2

1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? . b ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 2
2 1

20. (本小题满分 13 分) 已知抛物 C 的标准方程为 y ? 2 px ? p ? 0? ,M 为抛物线 C 上一动点, A? a,0?? a ? 0? 为其对称轴上一
2

?MON 点, 直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,
的面积为

9 . 2

(I)求抛物线 C 的标准方程; (II)记 t ?

1 1 ? ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点” ,试求出所有“稳定 AM AN

点” ,若没有,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 函数 g ? x ? ?

2 ? a ln x ? a ? R ? , f ? x ? ? x 2 ? g ? x ? , x

(I)试求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)若 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内有极值,试求 a 的取值范围; (III) a ? 0 时,若 f ? x ? 有唯一的零点 x0 ,试求 ? x0 ? . (注:? x ? 为取整函数,表示不超过 x 的最大整数,如 ?0.3? ? 0, ?2.6? ? 2, ??1.4? ? ?2 ;以下数据供参考:

ln 2 ? 0.6931,ln 3 ? 1.099,ln 5 ? 1.609,ln 7 ? 1.946 )

4

又∵ 0 ? B ? ? ∴ B ?

?
2

C?

?
6

??6 分

∴ f ( x) ? 2 ? cos C sin x ? cos A cos x) ? 2sin( x ? 将 f ( x) 图象上所有点的横坐标变为原来的 所以 g ( x) 的单调增区间为 2k? ? 即 k? ?

?
6

) ,???? 8 分

?
2

? 2x ?

?

1 ? ,得到 g ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,????9 分 2 6

?
6

? x ? k? ?

?
3

6

? 2 k? ?

?

2

, ????10 分

, (k ? Z ) ????11 分

? ?? ? g ( x) 的单调区间为 ? k? ? , k? ? ? , (k ? Z ) ????12 分 6 3? ?
(17)解: (Ⅰ)由题意知, ? 的所有可能取值为 0,10,20,30.????1 分

1 1 1 1 P(? =0) ? ? ? ? , 5 4 3 60 4 1 1 1 3 1 1 1 2 9 3 P(? =10) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = , 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 20 4 3 1 4 1 2 1 3 2 26 13 P(? =20) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = , 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60 30 4 3 2 24 2 P(? =30) ? ? ? = = . ????5分 5 4 3 60 5

? 的分布列为:
?
P
0
1 60

10
3 20

20
13 30

30
2 5

????6 分
5

所以 AC1∥平面 B1CD.

???????????????4 分 z C1 B1 A1

(Ⅱ) 由 AB ? 10, AC ? 8, BC ? 6 ,得 AC⊥BC, 以 C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. 则 B(6, 0, 0),A (0, 8, 0),A1(0, 8,8),B1(6, 0, 8). 设 D(a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) ,???????5 分 因为 点 D 在线段 AB 上,且 所以 a ? 4, b ?

1 BD 1 ? , 即 BD ? BA . AB 3 3

8 .???????7 分 3 8 所以 B1C ? (?6,0, ?8) , CD ? (4, , 0) . 3
平面 BCD 的法向量为 n 1 ? (0,0,1) . 设平面 B1CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

C B x D

A

y

? ?6 x ? 8 ? 0 ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ? , 8 4x ? y ? 0 ? 3 ?
所以 x ? ?

4 4 , y ? 2 , n2 ? ( ? , 2,1) . ???????10 分 3 3

6

设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , cos ? ?

a ?b a b

?

3 61 . 61

所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

3 61 .???????????12 分 61

(19)解: ? Ⅰ ? 由 an?1 ? 3an ? 2an?1 ,可得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ), ????2 分

a2 ? a1 ? 2, ??an?1 ? an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
即 an?1 ? an =2n. ????3 分

? an = ? an -an -1 ? + ? an -1 -an -2 ? + =2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 1, ? 2 ?1 ?

? ? a2 -a1 ? +a1

1 ? 2n 1? 2 ????6分
????7分 ????9分

?Ⅱ?由题意得bn ? 2 log 4 (2n )2 ? 2n.
1 1 1 1? 1 1 ? = 2 ? ? ? ? ?. bn ? 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
2

?

1 1 ? 2 ? b ? 1 b2 ? 1
2 1

+

1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? = ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? bn ? 1 2 ?? 3 ? ? 3 5 ?
2

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ? 对一切正整数n, 有 1 1 ? 2 ? b ? 1 b2 ? 1
2 1

+

1 1 ? . bn ? 1 2
2

????12分

(20)(I)由题意, S ?MON ?

1 1 p p2 9 ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? ? 2 2 2 2 2

?p?3
抛物线 C 的方程为 y ? 6x ---------------------------------------------------------------------3 分
2

(II) 设 M ( x1, y1 ),N ( x2 , y2 ) ,直线 MN 的方程为 x ? my ? a 联立 ?
2

?x ? m y ? a 2 ? y ? 6x

得 y ? 6my ? 6a ? 0

? ? 36m2 ? 24a ? 0 y1 ? y2 ? 6m , y1 y2 ? ?6a ,-----------------------------------------------------------------6 分 由对称性,不妨设 m ? 0 , (i) a ? 0 时,? y1 y2 ? ?6a ? 0 , ? y1,y2 同号, 1 1 1 1 又t ? ? ? ? 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |
7

1 ( y1 ? y2 )2 1 36m2 1 1 ? ? 2 (1 ? ) 2 2 2 2 1 ? m ( y1 y2 ) 1 ? m 36a a 1 ? m2 不论 a 取何值,t 均与 m 有关,即 a ? 0 时 A 不是“稳定点”; -------------------------9 分 (ii) a ? 0 时, ? y1 y2 ? ?6a ? 0 , ? y1,y2 异号, 1 1 1 1 又t ? ? ? ? 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 | ?t 2 ?

1 ( y1 - y2 )2 1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 1 ? m2 ( y1 y2 )2 1 ? m2 ( y1 y2 )2 2 a ?1 1 36m 2 ? 24a 1 3 ? ? ? ( 1 ? ) 1 ? m2 36a 2 a2 1 ? m2 3 2 所以,仅当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,t 与 m 无关,此时 A 即抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 对称轴上仅有 2 3 ?t 2 ?
焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13 分 (21)解: (I)由题意 g ( x) 的定义域为 (0,??)

g ?( x) ? -

2 a ax ? 2 ? ?? 2 x x x2
'

(i)若 a ? 0 ,则 g ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, (0,??) 为其单调递减区间; (ii)若 a ? 0 ,则由 g ( x) ? 0 得 x ? ?
'

2 , a

2 2 x ? (0,? ) 时, g ' ( x) ? 0 , x ? (? ,?? ) 时, g ' ( x) ? 0 , a a 2 2 所以 (0,? ) 为其单调递减区间; ( ? ,?? ) 为其单调递增区间;-----------------------4 分 a a
(II)? f ( x) ? x ? g ( x)
2

所以 f ( x ) 的定义域也为 (0,??) ,且

ax ? 2 2 x3 ? ax ? 2 f ( x) ? ( x ) ? g ( x) ? 2 x ? ? x2 x2
' 2 ' '

令 h( x) ? 2 x ? ax ? 2, x ?[0,??) (*)
3

则 h ( x) ? 6 x - a (**)----------------------------------------------------------------------------6 分
' 2

a ? 0 时, h' ( x) ? 0 恒成立,所以 h( x) 为 [0,??) 上的单调递增函数,又 h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? -a ? 0 ,
所以在区间 (0,1) 内 h( x) 至少存在一个变号零点 x0 , 且 x0 也是 f ( x) 的变号零点, 此时 f ( x) 在区间 (0,1) 内有极值. ----------------------------------------8 分
'

a ? 0 时 h( x) ? 2( x3 ? 1) ? ax ? 0, x ? (0,1) , 即在区间 (0,1) 上 f ' ( x) ? 0 恒成立 , 此时 , f ( x) 无极
值.
8

综上所述,若 f ( x) 在区间 (0,1) 内有极值,则 a 的取值范围为 (??,0) . --------------9 分 (III) ? a ? 0 ,由(II)且 f (1) ? 3 知 x ? (0,1] 时 f ( x) ? 0 , ? x0 ? 1 . 又由 (*) 及 (**) 式知 f ?( x ) 在区间 (1,??) 上只有一个极小值点 , 记为 x1 , 且 x ? (1, x1 ) 时 f ( x) 单调递减 ,

x ? ( x1,??) 时 f ( x) 单调递增,由题意 x1 即为 x0 ,

? f ( x0 ) ? 0 -----------------------------------------------------------------------------------------11 分 ?? ? f ?( x0 ) ? 0

? 2 2 ? x ? ? a ln x0 ? 0 ? ? 0 x0 2 ? 2 x0 ? ax0 ? 2 ? 0 ?
消去 a,得 2 ln x0 ? 1 ?

3 -------------------------------------------------------------------12 分 x ?1
3 0

a ? 0 时令 t1 ( x) ? 2 ln x( x ? 1), t2 ( x) ? 1 ?

3 ( x ? 0) , x ?1
3

则在区间 (1,??) 上为 t1 ( x) 单调递增函数, t2 ( x) 为单调递减函数, 且 t1 ( 2) ? 2 ln 2 ? 2 ? 0.7 ?

7 10 ? ? t2 (2) 5 7

t1 (3) ? 2 ln 3 ? 2 ? 1 ?

3 ? t2 (3) 26

?2 ? x0 ? 3 ? [ x0 ] ? 2 ------------------------------------------------------------------------------------------14 分

9



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